Построение инвариантов для полупрямых сумм алгебр Ли, страница 2

Ïóñòü f è g èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿàëãåáðû G. Òîãäà äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ G∗ ôóíêöèè fλ = f (x + λa) ègµ = g(x + µa) íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè.Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ïîëíûéêîììóòàòèâíûé íàáîð.  ÷àñòíîñòè èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [2]Òåîðåìà 4 (À.Â. Áîëñèíîâ). Ïóñòü R = G +ϕ V , è a ðåãóëÿðíûéýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà V .

Åñëè 1) G = sl(n), ϕ = ρk0 , ãäå ρ ïðåäñòàâëåíèå ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè, n 6= 0modp; 2) G = so(n), ϕ = ρk0 ; 3)G = sp(n, C), ϕ = ρk è k íå÷åòíî, ëèáî k > n, òî ñåìåéñòâî ñäâèãîâèíâàðèàíòîâ íà êîâåêòîð a ïîëíîå. Åñëè îãðàíè÷åíèÿ íà ÷èñëî ñëàãàåìûõíå âûïîëíåíû, òî ñåìåéñòâî ñäâèãîâ íå ïîëíîå.Êðîìå òîãî èìååòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ïîçâîëÿþùåå ðàñøèðèòüïðèìåíèìîñòü ìåòîäà ñäâèãà àðãóìåíòà [3]:Òåîðåìà 5 (Áðàèëîâ).

Ïóñòü R = G +ϕ V ïîëóïðÿìàÿ ñóììà. Òîãäà ñäâèãè èíâàðèàíòîâ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû R íàýëåìåíò y ∈ G∗ êîììóòèðóþò ñ êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè íà èäåàëåG.sÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü fλ = f ((x, a) + λ(y, 0)), à g ôóíêöèÿ íà èäåàëå,òî åñòü dg ∈ V . Çàïèøåì ïî îïðåäåëåíèþ ñêîáêó Ïóàññîíà ýòèõ ôóíêöèé:{fλ , g} = h(x, a), [d(x+λy,a) f, dg]i = h(x+λy, a), [d(x+λy,a) f, dg]i−h(λy, 0), [df, dg]i.(19)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, ïîñêîëüêó f ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì, àâòîðîå ïîñêîëüêó V èäåàë è ñëåäîâàòåëüíî [df, dg] ∈ V .

Çàìåòèì, ÷òî âäîêàçàòåëüñòâå íèãäå íå èñïîëüçóåòñÿ êîììóòàòèâíîñòü V .Ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ýòîãî ìåòîäà ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà[3].Òåîðåìà 6 (Áðàèëîâ). Íàáîð, ïîëó÷åííûé äîáàâëåíèåì êîîðäèíàòíûõôóíêöèé íà èäåàëå ê ñäâèãàì èíâàðèàíòîâ íà ýëåìåíò èç G áóäåò ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñäâèãè èíâàðèàíòîâ îáðàçóþò ïîëíîåñåìåéñòâî â Ha .Íàêîíåö, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ìåòîä, ÿâëÿþùèéñÿ íåêîòîðîé êîìáèíàöèåé ìåòîäà ñäâèãà àðãóìåíòà è ìåòîäà öåïî÷åê ïîäàëãåáð [2].Ëåììà 3. Ïóñòü h ôóíêöèÿ íà Ha∗ , π ∗ h åå ïîäíÿòèå äî ôóíêöèè íàR. Òîãäà ñäâèãè èíâàðèàíòîâ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðûR íà ýëåìåíò a êîììóòèðóþò ñ π ∗ h.4 Ñðàâíåíèå ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâÏðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìåòîäû äàþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûåðåçóëüòàòû. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå.

Ðàññìîòðèìàëãåáðó Ëè e(3) = so(3) + R3 . Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû íà so(3) (a, b, c),à êîîðäèíàòû íà R3 (x, y, z). Èíâàðèàíòû äëÿ ýòîé àëãåáðû Ëè õîðîøîèçâåñòíû:I1 = x2 + y 2 + z 2 ,I2 = ax + by + cz.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð íóæíî âûáðàòüåùå äâå ôóíêöèè. Åñëè ñëåäîâàòü ìåòîäó öåïî÷åê ïîäàëãåáð ìû äîëæíûâçÿòü ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé íà so(3). Îäíèì èç âîçìîæíûõ íàáîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé: f1 = a, f2 = a2 + b2 + c2 .Ìåòîä Áðàèëîâà äàåò äðóãîé ðåçóëüòàò.

 äàííîì ñëó÷àå íàì íå íóæíîäàæå ðàññìàòðèâàòü ñäâèãè èíâàðèàíòîâ, äîñòàòî÷íî äîáàâèòü ê íèì êîîðäèíàòû íà êîììóòàòèâíîì èäåàëå.  ýòîì ñëó÷àå ïîëíûé êîììóòàòèâíûéíàáîð áóäåò ñîñòîÿòü èç ôóíêöèéI1 = x2 + y 2 + z 2 ,I2 = ax + by + cz,f1 = x,f2 = y.Ñëåäóÿ ìåòîäó ñäâèãà èíâàðèàíòîâ ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ñäâèãè èíâàðèàíòîâ íà ýëåìåíò îáùåãî ïîëîæåíèÿ.

 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê âûáèðàòü ýëåìåíò, íà êîòîðûé áóäóò ñäâèãàòüñÿ èíâàðèàíòû ìîæíî ïîëó÷èòü(ñäâèãàÿ íà ýëåìåíò ex + ea ) íàáîðI1 = x2 + y 2 + z 2 ,I2 = ax + by + cz,f1 = x,f2 = a,ëèáî (ñäâèãàÿ íà ýëåìåíò ex + eb ) íàáîðI1 = x2 + y 2 + z 2 ,I2 = ax + by + cz,f1 = x,f2 = a + y.Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáð, õîòÿ è ÿâëÿåòñÿ íàèìåíåå óíèâåðñàëüíûì, äàåò íàèáîëåå èíòåðåñíûé ôèçè÷åñêè íàáîð.

Îðáèòàêîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû e(3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîêàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå ê ñôåðå, íà êîòîðîì âìåñòî êàíîíè÷åñêîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû çàäàíà ñòðóêòóðà ω = dp∧dq+εω0 , ãäå ω0 ôîðìà îáúåìíà ñôåðå, à ε íåêîòîðûé ïàðàìåòð, êîòîðûé ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç I1 èI2 .Èíâàðèàíò I1 ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë, èíòåãðàëI2 êàê èíòåãðàë ïëîùàäåé. Ôóíêöèÿ f2 = a2 + b2 + c2 êâàäðàò èìïóëüñà,èìåííî åå åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû. Íàáîðû,ïîñòðîåííûé ïî ìåòîäó Ñàäýòîâà (èëè ìåòîäó Áðàèëîâà) âêëþ÷àò â ñåáÿòîëüêî ëèíåéíûå ôóíêöèè, êîòîðûå íå çàäàþò íèêàêîé èíòåðåñíîé äèíàìèêè íà îðáèòàõ êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ.Ýòà ñèòóàöèÿ äîñòàòî÷íî îáùàÿ.

Äëÿ ëþáîé àëãåáðû Ëè âèäà 2 åå îðáèòà îáùåãî èìååò âèä ïðîèçâåäåíèÿ êîêàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ ê îðáèòåäåéñòâèÿ Φ è îðáèòû êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ â àííóëÿòîðå ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà.  ìåòîäå Ñàäýòîâà â êà÷åñòâå îñíîâû êîììóòàòèâíîãî íàáîðàèñïîëüçóþòñÿ êîîðäèíàòû íà îðáèòå, ëåæàùåé â V .  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå,êîãäà àííóëÿòîð ýëåìåíòà îáùåãî ïîëîæåíèÿ â ñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕêîììóòàòèâåí, ýòèõ êîîðäèíàò îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáûïîñòðîèòü ïîëíûé íàáîð è ìû ïîëó÷àåì íàáîð ñîñòîÿùèé èç èíâàðèàíòîâêîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé íà èäåàëå.5 ÈíâàðèàíòûÂñå ìåòîäû, îïèñàííûå â ðàçäåëå 3 äëÿ ïðèìåíåíèÿ òðåáóþò çíàíèÿ èíâàðèàíòîâ. Íèæå áóäóò îïèñàíû èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáð âèäà G +ϕk V k ,ãäå G îäíà èç êëàññè÷åñêèõ ïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè, à ϕ ïðåäñòàâëåíèåìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.5.1 Ãðóïïû sp +ϕ R2n è so(n) +ϕ Rn (îáùàÿ êîíñòðóêöèÿ)Ïðèâåäåì îáùóþ êîíñòðóêöèþ, èç êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü èíâàðèàíòûäëÿ sp +ϕ R2n è so(n) +ϕ Rn .Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ðàçìåðíîñòè n è íåâûðîæäåííóþáèëèíåéíóþ ôîðìó Λ íà íåì.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Λ ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñèììåòðè÷íîé ëèáî êîñîñèììåòðè÷íîé.Îáîçíà÷èì G ãðóïïó ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà V , ñîõðàíÿþùèõ ôîðìó Λ. Ýòó ãðóïïó ìîæíî ñ÷èòàòü âëîæåííîé â SL(n). Äëÿ Gîïðåäåëåíî åñòåñòâåííîå äåéñòâèå íà V , ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå R = G ⊗ V , îïåðàöèÿ â êîòîðîì îïðåäåëÿåòñÿ êàê(g, u) ◦ (h, v) = (gh, u + gv).(20)Çäåñü gv îáîçíà÷àåò äåéñòâèå g íà âåêòîð v . äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü ìàòè÷íóþ ðåàëèçàöèþ òàêîãî ïîëóïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ:1u..  C. , C ∈ G, u ∈ V.nu 0...0 1(21)Ýëåìåíòû àëãåáðû Ëè R ãðóïïû R â ìàòðè÷íîì âèäå èìåþò âèäu1..  ξ. , ξ ∈ G, u ∈ V.nu 0...0 0(22)Ýëåìåíòû êîàëãåáðû óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ìàòðèöXa1 . . .

an0.. . , X ∈ G∗ , a ∈ V ∗ .00(23)Çäåñü G∗ îáîçíà÷àåò îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê V , à V ∗ îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê G. Ñïàðèâàíèå ýëåìåíòîâ àëãåáðû è êîàëãåáðû ñëåäïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàáîòàòü â êîîðäèíàòàõ óäîáíî èñïîëüçîâàòü òåíçîðíûåîáîçíà÷åíèÿ. Ýëåìåíòû V âåêòîðû, ýëåìåíòû V êîâåêòîðû, ýëåìåíòûG è G∗ ëèíåéíûå îïåðàòîðû íà V , òî åñòü òåíçîðû òèïà (1, 1).

Äåéñòâèåjýëåìåíòà C ∈ G íà âåêòîð u ∈ V ïðîñòî ñâåðòêà Ci ui . ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ íåòðóäíî óñòàíîâèòü, êàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò ìàòðèöû èç G è G. Óñëîâèå, ÷òî îïåðàòîðû èç G ñîõðàíÿþò ôîðìóΛ çàïèñûâàåòñÿ â âèäåΛij Cαi Cβj = Λαβ .(24)ßñíî, ÷òî äëÿ àëãåáðû G ýòî óñëîâèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäåΛiβ ξαi + Λαi ξβi = 0.(25)Íàøà öåëü îïèñàòü èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïûËè R â èíâàðèàíòíûõ òåðìèíàõ. Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ Ad∗ â âûáðàííûõ íàìè êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ îáîçíà÷åíèéáóäåì ìàòðèöó 21 çàïèñûâàòü â âèäå ïàðû ýëåìåíòîâ (C, u).

(Ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöû è 23 â âèäå ïàð (ξ, u) è (X, a)).Òåîðåìà 7. Ïóñòü Λij òåíçîð îáðàòíûé ê Λij , òî åñòü òàêîé, ÷òîΛij Λjk = δik . Òîãäà1Ad∗ (C,u) (X, a) = (CXC −1 + (ai uj − Λjα aα Λiβ uβ ), Cij aj )2(26)Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû âûïèñàòü ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ Ad∗ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îáùåé ôîðìóëîé äëÿ Ad∗ äëÿ ïîëóïðÿìûõ ñóìì âèäà G +ϕ V(ñì. [2]):Ad∗ (C,u) (X, a) = (Ad ∗C X + A(u, a), ϕ(C)a).(27)A â ýòîé ôîðìóëå îáîçíà÷àåò îòîáðàæåíèå A : V × V ∗ → G∗ , îïðåäåëÿåìîåðàâåíñòâîìhA(u, a), ξi = hϕ(ξ)u, ai.(28) íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷àåìhA(u, a), ξi = ξij ui aj = hξ, ui aj i.(29)Ìàòðèöà ui aj âîîáùå ãîâîðÿ íå ëåæèò â G∗ . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòüâûðàæåíèå äëÿ A(u, v) íóæíî ñïðîåêòèðîâàòü ýòó ìàòðèöó íà G∗ îðòîãîíàëüíî G.Ëåììà 4.

Ìàòðèöà Y1 = ui aj − Λiα aα Λβj uβ ëåæèò â G∗ , à ìàòðèöà âèäàY2 = ui aj + Λiα aα Λβj uβ ëåæèò â G⊥ .Îáà óòâåðæäåíèÿ ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü, ÷òî Y1 ëåæèò â G∗ íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ìàòðèöû Ȳ1 ∈ G,êîòîðàÿ èìååò òå æå êîîðäèíàòû, ÷òî è Y1 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå 25:Λik (Y1 )ij = Λik (ui aj − Λiα aα Λβj uβ ).(30)Åñëè ïîìåíÿòü ïîðÿäîê èíäåêñîâ ó Λik è ó Λβj âûðàæåíèå íå èçìåíèòñÿ,íî ïîñëå âñåõ ñâåðòîê ïîëó÷èìΛik (Y1 )ij = Λki ui aj − ak Λjβ uβ .(31)Àíàëîãè÷íî äëÿ Λji (Y1 )ik ïîëó÷àåìΛji (Y1 )ik = Λij ui ak − aj Λkβ uβ ,(32)à çíà÷èò Λik (Y1 )ij + Λji (Y1 )ik = 0.Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî Y2 îðòîãîíàëåí G. Ïóñòü ξ ∈ G. ÒîãäàhY2 , ξi = ξij (ui aj + Λiα aα Λβj uβ ).(33)Ïîëüçóÿñü 25 ïîëó÷àåìhY2 , ξi = ξij ui aj − Λiα aα Λji ξβj uβ = 0.(34)Äîêàçàííàÿ ëåììà îçíà÷àåò, ÷òî ïðîåêöèþ ai uj íà G ìîæíî çàïèñàòü ââèäå 21 (ai uj − Λjα aα Λiβ uβ ), ÷òî è òðåáîâàëîñü.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ èíâàðèàíòîâ Ad∗ ñîïîñòàâèìêàæäîìó ýëåìåíòó (X, a) ∈ G∗ ìàòðèöó ñëåäóþùåãî âèäà:M(X,a)1iΛ ai..

 X. .=ni Λ ai a1 . . . a n0(35)Òî åñòü â ïîñëåäíåé ñòðîêå çàïèøåì êîîðäèíàòû a, à â ïîñëåäíåì ñòîëáöåçàïèøåì êîîðäèíàòû âåêòîðà, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè ó a ïîäíÿòü èíäåêññ ïîìîùüþ Λ.Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ìàòðèöåé M(X,a) åñëè ìû äåéñòâóåì íà(X, a) ñ ïîìîùüþ Ad∗ . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîMAd∗ (C,0) (X,a) = C̄M C̄ −1 ,ãäå Ñ̄ îáîçíà÷àåò ìàòðèöó CC̄ = 0...0(36)0.. ..01(37)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòîâ âèäà (C, 0) èíâàðèàíòû ìàòðèöûM íå ìåíÿþòñÿ. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòîâ âèäà(E, u). Èç ÿâíîãî âèäà äëÿ Ad∗ ÿñíî, ÷òî ïîñëåäíèå ñòðîêà è ñòîëáåö îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ê êàæäîé ñòðîêå (ñòîëáöó) ìàòðèöû X ïðèáàâëÿåòñÿñ íåêîòîðûì âåñîì ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà (ñòîëáåö).ßñíî, ÷òî ïðè òàêîé îïåðàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè äèàãîíàëüíûå ìèíîðû ìàòðèöû M , ñîäåðæàùèå ïîñëåäíþþ ñòðîêó è ïîñëåäíèé ñòîëáåö.

Íàïîìíèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ëþáîé ìàòðèöû ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê ñóììû åå äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ. Äëÿ òîãî,÷òîáû ïîëó÷èòü ñóììó äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ ìàòðèöû M , ñîäåðæàùèõïîñëåäíþþ ñòðîêó è ñòîëáåö íóæíî èç ñóììû âñåõ åå äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ âû÷åñòü ñóììó ìèíîðîâ ìàòðèöû X ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà.Ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíàdet(M − λE) + λ det(X − λE)(38)ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû R.Èç äîêàçàòåëüñòâà ÿñíî, ÷òî îòâåò íå ñèëüíî èçìåíèòñÿ, åñëè âìåñòîäåéñòâèÿ G íà V ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî åãî êîïèé:Rk = G +ϕk V k .(39) ýòîì ñëó÷àå óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî ó âåêòîðîâ a è êîâåêòîðîâ u åñòü äîïîëíèòåëüíûé èíäåêñ ζ , ìåíÿþùèéñÿ îò 1 äî k .