Построение инвариантов для полупрямых сумм алгебр Ли

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. ËîìîíîñîâàÏîñòðîåíèå èíâàðèàíòîâ äëÿ ïîëóïðÿìûõ ñóìì àëãåáð Ëè.Äèïëîìíàÿ ðàáîòà.Àâòîð: À.Ñ.ÂîðîíöîâÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: À.Ò. ÔîìåíêîÌîñêâà, 2007 ã1 ÂâåäåíèåÏóñòü G àëãåáðà Ëè. Äëÿ ôóíêöèé íà äâîéñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå G∗ìîæíî îïðåäåëèòü åñòåñòâåííóþ Ïóàññîíîâó ñòðóêòóðó, íàçûâàåìóþ ñêîáêîé ÏóàññîíàËè. Ãðàäèåíò ôóíêöèè f : G∗ → R ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòüêàê ýëåìåíò èç G è çàäàâàòü ñêîáêó Ïóàññîíà ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:{f, g}(x) = hx, [df, dg]i.(1)Îïðåäåëåíèå 1.

Ôóíêöèè f è g íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè, åñëè èõ ñêîáêàÏóàññîíà ðàâíà 0.Îïðåäåëåíèå 2. Íàáîð ôóíêöèé {fk : G → R} íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èíâîëþòèâíûì íàáîðîì, åñëè âñå ïîïàðíûå ñêîáêè Ïóàññîíà {fi , fj } = 0 è âíàáîðå ñîäåðæèòñÿ 12 (ind G + dim G) íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé.Ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü âòîðîå óñëîâèå â îïðåäåëåíèè ñëåäóþùèìîáðàçîì: íàáîð íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè íà ãðàäèåíòû ôóíêöèé èç ýòîãîíàáîðà íàòÿíóòî ìàêñèìàëüíîå èçîòðîïíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Ãèïîòåçà 1 (À.Ñ.

Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî ([1])). Ïóñòü G âåùåñòâåííàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè. Òîãäà íà G∗ ñóùåñòâóåò ïîëíûéêîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ.À.Ñ. Ìèùåíêî è À.Ò. Ôîìåíêî äîêàçàëè ýòó ãèïîòåçó äëÿ ïîëóïðîñòûõàëãåáð Ëè, çàòåì â ðÿäå ðàáîò ðàçëè÷íûõ àâòîðîâ áûëè ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ ñëó÷àåâ.  îáùåì âèäå ãèïîòåçà áûëà äîêàçàíàÑ.Ò. Ñàäýòîâûì [5], ýòî äîêàçàòåëüñòâî ïîäðîáíî ðàçîáðàíî â ðàáîòå [4].Öåëü ýòîé ðàáîòû èçëîæèòü íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì èíâàðèàíòîâ è ïîëíûõ êîììóòàòèâíûé íàáîðîâ äëÿ àëãåáð Ëè,èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû ñ êîììóòàòèâíîì èäåàëîì.  ðàçäåëå3 ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå êîíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèå íàéòè ïîëíûå êîììóòàòèâíûå íàáîðû äëÿ Ëè èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû, â ðàçäåëå7 îïèñàíû èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáð Ëè, èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììûêëàññè÷åñêîé ïîëóïðîñòîé àëãåáðû Ëè è êîììóòàòèâíîãî èäåàëà ïî ïðåäñòàâëåíèþ ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.2 Îáîçíà÷åíèÿ.

ßâíûå ôîðìóëû äëÿ ad∗ . ÔîðìóëàÐàèñàÐå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ è èíâàðèàíòîâäëÿ àëãåáð Ëè, èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû ñ êîììóòàòèâíûì èäåàëîì. Ýòó àëãåáðó áóäåì îáîçíà÷àòüR = G +ϕ V.(2)Ýëåìåíòû àëãåáðû áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ êàê ïàðû ýëåìåíòîâ (ξ, v), ξ ∈ G, v ∈V , ëèáî â âèäå ñóììû ξ + v .Êîììóòàòîð äëÿ òàêîé àëãåáðû îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéad (ξ1 ,v1 ) (ξ2 , v2 ) = [(ξ1 , v1 ), (ξ2 , v2 )] = ([ξ1 , ξ2 ], ϕ(ξ1 )v2 − ϕ(ξ2 )v1 ).(3)Äëÿ äâîéñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà R∗ èìååì åñòåñòâåííîå ðàçëîæåíèå â ïðÿìóþ ñóììó R∗ = G∗ + V ∗ , G∗ = V ⊥ , V ∗ = G⊥ .

 äàëüíåéøåì áóäåò âñòðå÷àòüñÿ àííóëÿòîð ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà èç V â ñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ.Çàôèêñèðóåì äëÿ íåãî îáîçíà÷åíèåHa = Annϕ (a) = {ξ ∈ G|ϕ(ξ)a = 0}.(4)Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ad íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ad∗ :ad∗ (ξ,v) (x, a) = (ad ξ x + A(a, v), ϕ∗ (ξ)a).(5)Çäåñü A îòîáðàæåíèå A : V × V ∗ → G∗ , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåìhA(a, v), ξi = hϕ(ξ)v, ai.(6)Èíîãäà óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ãðóïïó Ëè G ×Φ V , äëÿ êîòîðîé àëãåáðàËè R ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â åäèíèöå. Óìíîæåíèå â ýòîéãðóïïå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé(g1 , v1 ) ◦ (g2 , v2 ) = (g1 g2 , v1 + Φ(g1 )v2 ).(7)Ïîëåçíà áóäåò òàêæå ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ Ad∗ :Ad∗ (g,v) (x, a) = (Ad∗ g x + A(a, v), Φ∗ (ξ)a).(8)Êîëè÷åñòâî èíâàðèàíòîâ êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ðàâíî êîðàçìåðíîñòè îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ â R∗ (òî åñòü èíäåêñó àëãåáðû R).

Ïîñ÷èòàòü èíäåêñ äëÿ ïîëóïðÿìîé ñóììû àëãåáðû Ëè ñ êîììóòàòèâíûì èäåàëîìïîçâîëÿåò òåîðåìà ÐàèñàÒåîðåìà 1 (Rais). Ïóñòü a ýëåìåíò îáùåãî ïîëîæåíèÿ a ∈ V (âñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ). Òîãäàind R = ind Ha + ind ϕ∗ .(9)Ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ∗ ýòî ïðåäñòàâëåíèå G â V ∗ , äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèþ ϕ, òî åñòü òàêîå, ÷òîhϕ(ξ)v, ai = −hv, ϕ∗ (ξ)ai.(10)3 Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâÍèæå áóäóò îáñóæäàòüñÿ äâà ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõíàáîðîâ: ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà è ìåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáð.3.1 Ìåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáðÌåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáð îñíîâàí íà ñëåäóþùåé ëåììå [2].Ëåììà 1. Ïóñòü H ⊂ G ïîäàëãåáðà.

Òîãäà ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîåîòîáðàæåíèå π : G∗ → H∗ . Åñëè ôóíêöèè f1 è f2 íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèèíà H∗ , òî π ∗ f1 è π ∗ f2 íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè íà G∗ .Åñëè ìû óìååì êàêèì ëèáî îáðàçîì ñòðîèòü ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð h1 , . . . , hk íà H, òî ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð íà G∗ ìîæíî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîäíÿòü ôóíêöèè gi íà G∗ è äîïîëíèòüíàáîð èíâàðèàíòàìè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïîëó÷åííûé íàáîð çàâåäîìî áóäåò êîììóòàòèâíûì (ôóíêöèè π ∗ gi íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèèñîãëàñíî ëåììå, a èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò âÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà) íî ìîæåò íå áûòü ïîëíûì. ñëó÷àå ïîëóïðÿìîé ñóììûR = G +ϕ V(11)èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ åñòåñòâåííàÿ öåïî÷êà: G ⊂ R. Ñôîðìóëèðóåì êðèòåðèé, ïîêàçûâàþùèé, â êàêîì ñëó÷àå íàáîð ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ òàêîéöåïî÷êè áóäåò ïîëíûì.Òåîðåìà 2.

Íàáîð ôóíêöèé íà R∗ , ïîëó÷àåìûé ñ ïîìîùüþ öåïî÷êè G ⊂R, áóäåò ïîëíûì, åñëè ïîëíûì áóäåò íàáîð ôóíêöèé íà G∗ , ïîëó÷àåìûéèç öåïî÷êè Ha ⊂ G (Ha ñòàáèëèçàòîð ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà a ∈ V ∗ âñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ).Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî äîêàçàòü èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ðàèñà è âû÷èñëÿÿêîëè÷åñòâî ôóíêöèé, êîòîðûå âîéäóò â íàáîð, íî ýòîì ñëó÷àå ïðèäåòñÿ äîïîëíèòåëüíî çàáîòèòüñÿ îá èõ íåçàâèñèìîñòè. Âìåñòî ýòîãî ìû ïðèâåäåìäîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ â äðóãèõ, áîëåå èíâàðèàíòíûõ òåðìèíàõ.Ðàññìîòðèì ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé íà G∗ è ïîäíèìåì èõ íà R∗ .

 êàæäîé òî÷êå R∗ ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî P , íàòÿíóòîå íà ãðàäèåíòû ýòèõôóíêöèé. Åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå â ñìûñëå ñêîáêè Ïóàññîíà íàR∗ ñîäåðæèò â ñåáå ïîäïðîñòðàíñòâî P è ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íàãðàäèåíòû èíâàðèàíòîâ àëãåáðû R, òî åñòü ÿäðî ñêîáêè Ïóàññîíà. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû íàáîð, ïîëó÷àåìûé äîáàâëåíèåì ê èñõîäíîìó íàáîðó áûë ïîëíûì ÿâëÿåòñÿ òî÷íîå ðàâåíñòâîP ⊥ = P + Ker({, }).(12)Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â êàæäîé òî÷êå R∗ .Ìîæíî çàìåíèòü ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóþùèì âêëþ÷åíèåì:G⊥ ⊆ G + Ker({, }).(13)Çäåñü G îáîçíà÷àåò ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà ãðàäèåíòû êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé íà G.

Ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó 12 â ñëåäóþùåìñìûñëå. Åñëè ìû âûáåðåì â G ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé è îáîçíà÷èì ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäàåìîå èõ ãðàäèåíòàìè P , òî èç 13 áóäåò ñëåäîâàòü 12.Îáðàòíîå (13 èç 12) î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ G⊥ ⊆ P ⊥è P ⊆ G. Âêëþ÷åíèå 13 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïî÷òè âî âñåõ òî÷êàõ R∗ . ýòèõ òåðìèíàõ òåîðåìà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèìîáðàçîì:Òåîðåìà 3. Ïóñòü R = G +ρ V .

Îáîçíà÷èì Ha ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç V . Åñëè äëÿ Ha ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå Ha⊥ ⊆Ha + G⊥ (çäåñü êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå áåðåòñÿ â ñìûñëå ñêîáêèÏóàññîíà íà G), òî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå G⊥ ⊆ G + R⊥ (çäåñü êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå áåðåòñÿ â ñìûñëå ñêîáêè Ïóàññîíà íà R∗ ).Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñêîáêè Ïóàññîíà â R â òî÷êå(x, a):{(ξ, u), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v − ρ(η)u, ai.(14)Âîçüìåì ôóíêöèþ èç êîñîîðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ ê G â R è îáîçíà÷èì åå ãðàäèåíò (η, v).

Äëÿ åå ãðàäèåíòà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå{(ξ, 0), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v, ai = 0 ∀ξ.(15)Âûáèðàÿ ξ ∈ Ann a ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ òàêèõ ξ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåh[ξ, η], xi = 0.(16)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî η ïðèíàäëåæèò ê êîñîîðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ(Ann a)⊥ . Ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî η ∈ Ann aëèáî η ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà äëÿ àëãåáðû G. ïåðâîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî èç 15 è η ∈ Ann a ñëåäóåò, ÷òî{(ξ, u), (η, v)} = 0,(17)òî åñòü (η, v) ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà äëÿ R.

Âî âòîðîì ñëó÷àå èç15 ïîëó÷àåìhρ(ξ)v, ai = 0.(18)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (0, v) ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà, îòêóäà ñëåäóåòâêëþ÷åíèå G⊥ ⊆ G + R⊥ .Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïèñàííàÿ êîíñòðóêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíàäëÿ àëãåáð Ëè so(n)+Rn , sl(n)+Rn è sp(n)+R2n . Äëÿ àëãåáð Ëè âèäà G+ϕkV k , k ≥ 2 (ãäå G îäíà èç êëàññè÷åñêèõ àëãåáð Ëè, à ϕ ïðåäñòàâëåíèåìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè) ýòà êîíñòðóêöèÿ íå ðàáîòàåò.3.2 Ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòàÎäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà. Åãî ïðèìåíåíèå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ëåììå [2]Ëåììà 2.