Презентация (Применение разрывного метода Галеркина для решения уравнений Навье-Стокса)

Применение разрывного метода Галёркинадля решения уравнений Навье-СтоксаУтиралов Д.ИДипломная работаНаучный руководитель: Тишкин В.Ф.Цель работы1)Разработка методики определения компонент тензора вязкихнапряжений на границе области с условием прилипания длячисленного решения задач газовой динамики разрывнымметодом Галеркина.2)Создание программного блока и последующая интеграция впрограммный комплекс для решения задач газовой динамики вдвумерной постановке на сетках с ячейками треугольной формы.3)Решение модельных задач.Формулы уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого газа.Рассмотрим уравнения Навье-Стокса, записанные как система уравнений первого порядкаtyyyx23F(u)F e (u)x((xyxxxyyxyyG (u, τ ) 0,F(u)τu, FevEuxxudiv vG e (u), G (u, τ )yuu2 p, Geuv( E p )u-тензор2 S ( v ),vuvv2 p( E p )vvS vv*2F v (u, τ )xG v (u, τ )y0F v (u, τ )0xxxy, G v (u, τ )xyuxxyyvxyuxyvвязких напряжений, его компоненты вычисляются, как2)(ux v y ) 2 ux32)(ux v y ) 2 v y3(u y vx )Где- коэффициент динамической вязкости, объёмная вязкость, ij (i, j x, y) - компонентытензора вязких напряжений.

В данной работе нерассматривается влияние теплопроводности, k 0 .yyПрименение разрывного метода Галеркина науравнениях Навье-СтоксаПокроем область, на которой ищется решение треугольной сеткойh{K i }iIНа каждом элементе K приближенное решение системы уравнений будем искать в видеполиномов Pk ( x) степени k с зависящими от времени коэффициентами:n 1u(x, t )h|KU i (t )si(x),x K si 0Разложение численного решения осуществляется по n функциям Pk ( x), являющихсябазисом для полиномиальных функций i (x) .

В нашей работе берутся полиномы 1-ойстепени с базисными функциями. Для ячейки с номером s они имеют видs0s1s21scx xxy ycsy( xcs , ycs ) - центр треугольника с номером sx, y- шаги сеткиПрименение разрывного метода Галеркина на уравнениях НавьеСтокса(продолжение)Возьмём к примеру уравнение неразрывности( u)xt( v)yK s приближенные значения параметров ищутся в видеВ каждом треугольнике22sih| K ssi,2siuh|K sui 0si,visvh|K si 0sii 0Согласно разрывному методу Галеркина коэффициенты разложенияs неизвестных ищутся из условияортогональности невязки уравнения всем базисным функциям i на треугольнике с номером s.Интегрируя по частям и используя формулу Грина, приходим к системе из 3-х уравнений для каждойиз базисных функций.si(Kssh( u ) hsxt( u)shKssix( u ) h , ( v) h ,2j 0( v)jKsshsidxdyyshsitKs0,i[( u ) hs nx ( v) hs n y ] is dSdxdyKs0, 2hsit( v) hs)dxdyyi1edxdyh (u ,u ,n)dSKs( u)Ksshsix( v)shsiydxdy,i0, 2Функции ( u ) h , ( v) h , h являются разрывными на границе треугольника.

Поэтому подынтегральнаяфункция в правой части заменяется функцией численного потока, которая зависит от состояния вобеих граничных ячейкой и нормали к граничной стороне.Граничные условия.Особую роль для решения задач газодинамики имеет постановка граничныхусловий. Значение параметров задач на границе определяется типом граничногоусловия.Основные типы граничных условий:1) свободное втекание2) свободное вытекание3) условие симметрии4) условие прилипанияВ данной работе расчет граничных условий осуществляется путем введенияфиктивных ячеек. Переменные в фиктивной ячейке определяются в зависимостиот типа граничных условий.Обозначим верхним индексом * параметры в приграничной ячейке.1) Для условия симметрии параметры имеют вид*p*2)pEu*uv*vДля свободного втекания и свободного вытекания параметры задаютсяE* E*в видеp*3)E*pu*uv*vДля условия прилипания значения в фиктивных ячейках ставятсятакие же, как и для условия симметрии.

Но необходимым условиемявляется u 0, v 0 на границе области. Дальше мы предлагаемспособ для задания компонентов тензоров вязкости в фиктивныхячейках с этим условием.Задание компонент тензора вязких напряженийв фиктивной ячейки на границе с условием прилипания.Допустим, что одна из граничных сторон с условием прилипания лежит на прямой y = 0. Впротивном случае можно воспользоваться преобразование координат.Для условие прилипания верно uДля точекuK0K1 и K 2иuK1Подставив координаты точек, получим систему равненийВычитая из 1-го уравнения 2-ое получаемОбозначимkycyu1 (0, v 0 => u0, v 0вершин треугольника выполнено020u00u0x1 x2) 0x( x1 xc )x(x x )u1 2 cxu1u1u2 (u2 (yc)yyc)y0Таким образом, можно прийти к следующей системе уравнений( u1 )0t( u0 )( u2 )ktt0Совершенно аналогично, проводярассуждения относительно другойкомпоненты скорости, получаемсистему( v1 )0t( v0 )( v2 )ktt0Задание компонент тензора вязких напряжений в фиктивнойячейки на границе с условием прилипания(продолжение).Рассмотрим следующие системы уравнений2( u )it Ksi 0uijKs2i 0ijjuvh h hxKs( v )it KsKsjphh h2h 2v (u + ,u - , τ , τ , n) j dShe2 (u + ,u - ,n) j dSdxdyyjdxdyh , xxjuvKsphh hxdxdy0Ks2vyh 2v (u + ,u - , τ , τ , n) j dSKsh h hxKshe3 (u + ,u - ,n) j dSdxdyjh , xyjyjdxdyh , xyjh , yyxKsydxdy0Распишем потоковые функций для подынтегральной функций, содержащих компоненты тензоравязких напряжений.

Индексом «+» обозначим параметры во внутренней ячейке, а «-» вовнешней.h 2vxxxx2xynxxy2xyh 3vnyxyyynx2yy2nyK2h , xxnxh , xynyjdSKsh , xxK1K2nxh , xynyjdSK3K2[K1h , xx2nxh , xy2ny ] j dSK1K2h , xyKsnxh , yynyjdSh , xyK1K2K3nxh , yynyjdSh , xx2h , xynx2ny ] j dSK2[K1[h , xy2nxh , yy2n y ] j dS[K1h , xy2nxh , yy2n y ] j dSЗадание компонент тензора вязких напряжений в фиктивнойячейки на границе с условием прилипания(продолжение2).Используя то, что нормаль к граничной стороне равна( u )0StA0 0.5xyЗдесь в обозначенияхимеются в виду именнокомпоненты тензора фиктивноготреугольника.d32( u )1 ( x xc )dxdyt Ksx2( u)2t( u )1 ( x xc )( y yc )dxdyt Ksx yI1Обозначим( x xc )( y yc )dxdyxyKs( u )2t0.5xy(yKsd ,A0 I1 ( y yc ) 2dxdyk S Ksy2A2Аналогично из уравнения для0.5yy3d ,I50.5yy3xd ,A1A1 0.5xy32yc )dxdyy2I23A0 I1 ( x xc )( y yc )dxdyk S Ksx yI4n (0, 1) , приходим к системе(yA2 0.5xy30.5xyxd ,( x xc )dxyc )dyI3на границе области0.53xyyd03xcI1x1I2x- интеграл к стороне, лежащей3ycI1yv приходим к системе относительноI60.5yy3yd0C0 I 4k SC0 I 4k SI 4 , I 5 , где( x xc )( y yc )dxdyxyKsC1yc ) 2dxdyy2ycI4y(yKsC21I5xxcI4xРазложение компонент тензора вязких напряжений по базису вфиктивной ячейке.Зная, значения интегралов I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5, можно найти значения коэффициентовразложения компонент тензораxy , yy внутри фиктивного треугольникапо базисным функциям1,01( x xc ),xxyiiyyii2( y yc )y2Имеем представлениеxy,i 02yyi 0Приходим к системе2 I1xyd32I23xyxdxdxy032I33xyydydxy032I43yyd3yyxd32I63yy3xdyy0ydydyy03( x xc )dxy131x1y33( x xc )dyy131x1xx( x xc ) xdyy13y ( x xc )dyy13(yyc )dxy2x( yyc ) xdy( yyc )d31yy ( x xc )dxy1xy21yx( x xc ) xdxy11x1x1dyy032I51x1dxy01y3xy203(yyy23-е и 6-е уравнение независимоот решения обращаются в 0 напрямой y = 0.

Поэтому значениекоэффициентов СЛАУ для этихуравнений задаем произвольно.yc ) d31y1yyy2x( yyc ) xdy( yyc )d3yy230Результаты-точный профиль Блазиуса-построенный, приближенныйпрофиль БлазиусаНа рис. изображены два графика точного профиля Блазиуса и приближенного профиляБлазиуса при x = 40.Постановка задачи(расчет течения сжимаемого газавдоль поверхности плоской пластины).Расчетная область задачи имеет форму прямоугольникаx [0.0,50.0]y [0.0,14.5]Граничные условия:свободное втекание, свободное вытекание, условие симметрии,условие прилипанияНачальные условия. Внутри области в начальный момент времени у нас заданы условия(0, x, y ) 1u (0, x, y ) 0.31.4v(0, x, y ) 00.01p(0, x, y ) 0.5ВыводыПромоделировано обтекание плоской пластины вязким слабо сжимаемымгазом. Проведено сравнение результатов расчета с профилем Блазиуса иполучено хорошее совпадение.Новый способ определения компонент тензора вязких напряженийсоответствует условию прилипания на границе области..