Математические модели многофазных сред (Презентация)

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносовафакультет вычислительной математики и кибернетикикафедра вычислительных методовДипломная работа«Математические модели многофазных сред»Выполнил студент 506 гр.Сюков Михаил АлексеевичНаучный руководительд. ф.-м. н. С. И. МухинПостановка задачи.Рассматривается смесь, состоящая из N фаз. Уравнения сохранения массы, импульсаи энергии для каждой фазы:N∂ρi+∇ ρi v⃗i=∑ j −1 J ji ,∂tNd i v⃗ik kρi=∇ σi +ρi g⃗i+∑ j=1 ( P ji −J ji v⃗i ),dt2Nd i (ui +v i / 2)ρi=∇ (c i−qi )+ρi g i v⃗i+∑ j =1 (E ji −J ji (ui +v 2i / 2)) ,Nd i v⃗idtkkρ=∇σ+ρg+⃗∑ j,=1 ( P ji −J ji v⃗i )iii смесиiгде ρi − масса i−ой составляющейв единице объёмаdtv⃗i −скорость i−ой составляющей ,J ji −величина , характеризующая интенсивность перехода массы из j −ой в i− уюфазы ,σ kli −тензор внешних поверхностных сил ,g i −вектор массовых сил ,P ji −величина , характеризующая интенсивность обмена импульсом между j −ой и i−ой составляющими ,u i − удельная внутренняя энергия i−ой фазы ,c i− работа внешних поверхностных сил ,q i −приток тепла ,E ji −величина , характеризующаяинтенсивность обмена энергией между i−ой и j−ой фазами.Уравнения для частногослучая двухфазной смеси.Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости :∂ ρ1∂ρ∂ρ+v 1x 1 +v 1y 1 =J 21 ,∂t∂x∂yУравнение неразрывности для газа :∂ ρ2∂ρ∂ρ∂v∂v+v 2x 2 +v 2y 2 +ρ2 ( 2x + 2y )=J 12 ,∂t∂x∂y∂x∂yУравнение движения для проекции на ось Ox для обеих фаз :∂ ρ1,2 v 1,2 x ∂∂σ∂+ρ1,2 v 21,2 x +ρ1,2 v1,2 y v 1,2 x = J 21,12 v 2,1 x + 11,22 ,∂t∂x∂y∂xУравнение движения для проекции на ось Oy для обеих фаз :∂ ρ1,2 v 1,2 y ∂∂ σ 11,22∂2+ρ v v +ρ v =J 21,12 v 2,1 y +,∂y∂ x 1,2 1,2 x 1,2 y ∂ y 1,2 1,2 y∂yУравнение энергии для обеих фаз :22∂(ρ1,2 (u 1,2+(v 1,2+v∂x1,2 y )/ 2))+(ρ1,2 (u1,2 +(v 21,2 x +v 21,2 y )/ 2) v 1,2 x )∂t∂x22+∂(ρ1,2 (u1,2 +(v 1,2 x +v 1,2 y )/2)v 1,2 y )22= J 1221 (u 2,1 +(v 2,1 x +v 2,1 y )/ 2) ,∂yгде v ix−проекция скорости фазына ось Ox ,v iy −проекция скорости фазы на ось Oy.Разностная схема.v1x ρ1x−1 v 1y ρ1y−11 v 1x v1yρ =δt ( J 21+ρ1 ( − − )++)δt δ x δ yδxδyx−1y−1v 2yv 2x ρ2x−1 v 2y ρ2y−11 2 v 2x 2 v 2y v 2xt+1ρ2 =δt ( J 12+ρ2 ( −−++)++)δt δ xδyδxδyδxδy2x−1x−1 2y−1 y−1 y−1ρ1,2 v 1,2 x ρ1,2 v 1,2 x −ρ1,2 ( v1,2 x ) ρ1,2 v 1,2 x v 1,2 y −ρ1,2 v1,2 x v 1,2 y p x+1− p x−1δtt+1v1,2 x = t+1 ( J 21,12 v 2,1 x +−−−)δtδxδy2δ xρ1,2t+11x−1 x−1 x−12y−1y−1 2y+1y−1ρvρvv−ρvvρv−ρ(vδtp −Pt +11,2 1,2 y1,2 1,2 x 1,2 y1,21,2 x 1,2 y1,2 1,2 y1,21,2 y )v 1,2 y = t+1 ( J 21,12 v 2,1 y +−−−)δtδxδy2δ yρ1,2δtt+122x−1u 1,2 = t+1 ( J 21,12 (u 2,1 +(v 2,1 x +v 2,1 y )/ 2)+ f 1,2 (x , y)/δ t −( f 1,2 (x , y )v 1,2 x − f 1,2 ( x−1, j)v 1,2 x )/dxρ1,2y−1t +1t +1 2t+1 2­ ( f 1,2 (x , y)v 1,2 y − f 1,2 ( x , y−1)v 1,2 y )/ δ y−ρ1,2 ((v 1,2 x ) +(v1,2 y ) )/2 δt ) ,где f 1,2 ( x , y)=ρ1,2 (u 1,2+(v 21,2 x +v 21,2 y ) / 2)Граничные условия :ρ1,2 ( x , y ,0)=ρ( x , y ) ; v 1,2 x ( x , y ,0)=v x (x , y ) ; v 1,2 y (x , y ,0)=v y (x , y ) ; u1,2 ( x , y ,0)=u (x , y)ρ1,2 (0, y , t)=ρ0 ( y ,t ) ; v 1,2 x ( 0, y ,t )=v 0x ( y ,t ) ; v 1,2 y (0, y , t )=v y0 ( y ,t ) ; u1,2 ( 0, y ,t )=u 0 ( y , t )v 1,2 y ( x ,0 , t )=0 ; v1,2 y ( x , y m , t)=0 ; f ( x m−δ x , y , t )= f (x m , y ,t )Тестовые расчеты (1)ρ1 (t )ρ1 ( x , y ,0)=0ρ2 ( x , y ,0)=0v 1,2 x ( x , y ,0)=0v 1,2 y ( x , y ,0)=0xρ2 (t)ρ1 ( 0, y ,t )=ρ2 (0, y ,t )=constv1,2 x (0, y , t)=0v1,2 y ( 0, y , t )=0xТестовые расчеты (2)ρ1 (t )ρ1 ( x , y ,0)=ρ2 ( x , y ,0)=ρ1 (0, y , t)=ρ2 (0, y , t)=constv 1x (x , y ,0)=v 2x ( x , y ,0)=0v 1x (0, y , t)=v 2x (0, y , t)=constv1y (0, y , t)=v 2y (0, y , t)=v1x ( x , y ,0)=v 2x (x , y ,0)xv 1x (t )xРезультатыПолучены уравнения для различныхпредельных случаев механики двухфазныхсред различной природы.Выписаны уравнения движения двухфазнойжидкости в предположении, что одна из фаз— несжимаемая жидкость, вторая — газ.Построен численный алгоритм для решенияуравнений, описывающих движениедвухфазных сред, и проведены тестовыерасчеты, подтвердившие корректностьметода..