Линеаризация уравнений движения ЛА

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛАКак известно, для систем дифференциальных уравнений видаx&  F( x , u )процедура линеаризации состоит в выборе опорных функций xоп(t) и uоп(t), разложенииисходных уравнений в ряд Тейлора в окрестности этих функций, т.е. при x (t) = xоп(t) + x(t)и u (t) = uоп(t) + u(t), F  F x& оп  x&  F( x оп , u оп )   x   u  O 2 ( x, u ) x  x  x оп , u  u оп u  x  x оп , u  u опи записи получившихся уравнений относительно отклонений x(t) и u(t) от опорныхфункций F  F x&   x   u  F( x оп , u оп )  x& оп  O 2 ( x, u ) . x  x  x оп , u  u оп u  x  x оп , u  u опВ этих выражениях F(x,u), x (t) и u (t) - векторные функции соответствующихразмерностей, O2 ( x , u ) - остаток степенного ряда, содержащий все члены, в которыеотклонения от опорных функций x(t) и u(t) входят в степени выше первой.В результате для отклонений может быть записана система линейных уравнений видаx&  x   u   , F  F где    и  - матрицы соответствующих размерностей, а x  x  x u u  uопоп2  F( x оп , u оп )  x& оп  O (x , u ) - векторная функция, которую можно рассматривать каквозмущения, действующие на изменение отклонений от опорных функций.Очевидно, чем меньше остаток ряда и чем ближе xоп(t) к решению исходнойнелинейной системы при u (t) = uоп(t), тем с большим основанием линейную системуx&  x   uможно считать системой уравнений, описывающих изменения указанных отклонений x(t) иu(t).Таким образом, линеаризация дифференциальных уравнений предполагает, чторешение можно представить в виде суммы двух решений, одно из которых рассматриваетсякак базовое, или опорное, а второе является достаточно малым для того, чтобы в степенномразложении можно было бы с приемлемой точностью ограничится лишь членами рядастепени не выше первой (линейными членами).

Для уравнений движения это означает, чтодвижение представимо в виде опорной траектории и малых отклонений от неё(«возмущенного» движения). Если в качестве опорного выбирается решение исходнойнелинейной системы уравнений, то   O 2 ( x , u ) , а движение, описываемое xоп(t) и uоп(t),называется «невозмущенным». Линейные дифференциальные уравнения, являющиесярезультатом процедуры линеаризации, описывают только возмущенное движение, т.е.движение в отклонениях от опорного. Следует помнить, что результатом линеаризацииявляются и опорная траектория, и линейные уравнения возмущенного движения, а также то,что этот результат означает существование конечного интервала времени, в котором суммаопорного и возмущенного движений будут отличаться от траектории, соответствующейисходным уравнениям, не больше, чем на некоторую конечную величину. Однако, прилинеаризации в общем случае отсутствует ответ на вопросы, какой величины отклоненияможно принимать «малыми» и сколь длителен тот интервал, при котором точностьлинейного приближения можно считать удовлетворительной.

Остается открытым и вопрос овыборе опорных траекторий, от которого во многом зависит результат.Другими словами - хотя формально процедуру линеаризации можно провести почтивсегда, это не означает, что ее результат может быть использован при решении конкретной1задачи. Поэтому практически линеаризацию применяют, как правило, в сочетании с другимиметодами декомпозиции, когда корректность результата может быть проверена другими,«внешними» по отношению к линеаризации способами.В качестве примера можно рассмотреть результат линеаризации уравненийпространственного движения ЛА (для случая, когда изменения высоты и скорости можносчитать достаточно малыми по сравнению с изменением угловых параметров движения)R yag (sin  sin   cos  cos  cos  ),&   z  ( x cos    y sin  ) tg mV cos V cos Rg&   x sin    y cos   za  (cos  sin  cos   sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin ) ,mV V&  y sin   z cos  ,sin ( y cos   z sin  ) ,cos & x  ((Jy  Jz) y z + MFx)/ Jx ,& y  ((Jz – Jx) zx + MFy)/ Jy ,&   x & z  ((Jx – Jy) xy + MFz)/ Jz .В этой системе оставлены лишь уравнения, определяющие переменные, входящие вдругие уравнения.

Для определенности примем, что вектор тяги находится в плоскостисимметрии, линия действия тяги проходит через центр масс ЛА и составляет с продольнойосью ЛА угол , аэродинамические силы заданы коэффициентами в скоростной системекоординат (СК) cxa, cya, cza, а моменты - коэффициентами в связанной СК mx, my, mz, т.е.R ya  qSc ya  P sin(  ) , R za  qSc za  P cos(  ) sin  ,M Fx  qSlm x , M Fy  qSlm y  Lдв z , M Fz  qSba m z  Lдв y ,где LДВ - момент количества движения двигателя.Изменения сил при отклонениях управляющих органов принимаются пренебрежимоc yacмалыми, т.е. cyai  0 , czai  za  0 , где i  в , н , э . i iПри малых отклонениях для коэффициентов сил и моментов справедливыпредставления в линейной формеcxa = cxa0 + cxa, cya = cya0 + cya, cza = cza + cza,mx = mx + mx + mxxx + mxyy + mxээ+ mxнн,my = my + my + myxx + myyy + mzнн,mz = mz0 + mz + mzzz + mzвв,P = P0 + P.Систему уравнений, полученную в результате линеаризации, можно записать в виде &   a  &   a   & x  a mx  & y   a my & z  a mz &      0 &   0a a a xa xa ya y10a a a mxa mya mxxa myxa mxya myya mxza myz00a mz00a mzx01a mzya ya ya mzza za z00a a       0a       0 э0  x  a mx  э0   y   a my0   z   0 a       0a       000нa mxнa my000   э   н a mzв    в 0 0 00002Коэффициенты этих уравнений называются динамическими коэффициентами иопределяются выражениями:a   хоп sin  оп tg оп   уоп cos  оп tg оп g cos  оп sin  оп  sin  оп cos  оп cos  оп  cos  оп VPsin( оп  ) cos  оп mVqS c ya cos  оп ,mV1a    хоп cos  опcos 2  опPопcos( оп  ) cos  оп mV  уоп sin  оп1cos 2  опgsin  оп sin оп  cos  оп cos  оп cos оп sin  оп VPqS оп sin(  оп  ) sin  оп c ya sin  оп ,mVmVa  x   cos  оп tg оп ,a  y  sin  оп tg оп ,ga   sin  оп cos оп  cos  оп cos  оп sin оп  cos  оп ,Vga   cos  оп sin  оп cos оп cos  оп ,Va    хоп cos  оп   уоп sin  оп gsin  оп sin  оп sin оп  cos  оп sin  оп cos  оп cos оп  VPPqS c za ,cos( оп  ) sin  оп  оп sin( оп  ) sin  оп mVmVmVga   (cos  оп cos  оп sin оп  sin  оп cos  оп cos  оп cos оп VPqS  sin  оп sin  оп cos оп )  оп cos( оп  ) cos  оп c za ,mVmVa  x  sin  оп , a  y  cos  оп ,g(cos  оп sin  оп cos  оп  sin  оп sin  оп cos  оп sin  оп V cos  оп sin  оп sin оп ),ga   (sin  оп sin  оп sin  оп cos оп  cos  оп cos  оп cos оп ),VqSl qSl qSl  xam x , a mx mx ,a mxx mx ,mx JxJxJxJy  JzJ y  JzqSl  ya mxy mx ,a mxz  zoп  уоп ,JxJxJxJ  JxqSl qSl qSl  xamy ,a my my ,a myx  zmy , zoп my JyJyJyJya  3L ДВJ  Jxa myz  z, хоп JyJyJx  JyqSb a a mzx mz ,a mz  0 , уоп ,JzJzJx  JyL ДВqSb a  za mzz mz , хоп JzJzJza myy amza mzyqSl  ymy ,Jya  z  cos  оп ,a  y  sin  оп ,za  tgопsun оп ,a  y   tgоп cos  оп ,a 12(уоп cos  оп  zoп sin  оп ) ,cos опqSl  ээa mxmx ,Jxэ 0,a myнa mxнa mya  уоп cos  оп   zoп sin  оп ,a   tg оп ( zoп cos  оп   yoп sin  оп ) ,qSl  нmx ,JxqSl  нmy ,JyqSb a  Bmz .JzСравнение результатов численного интегрирования исходной нелинейной системы илинеаризованной (в качестве опорного движения выбирались решения исходной нелинейнойсистемы, а «возмущениями» являлись отклонения рулей или элеронов от их «опорных»значений на 10) показывает, что приемлемая близость решений сохраняется в пределаходной секунды, а затем расхождения приобретают не только количественный, но икачественный характер.

Другими словами, или указанные возмущения нельзя считать«малыми», или можно считать, что линеаризованная модель работоспособна лишь в теченииодной секунды. Причем последнее справедливо лишь для тех возмущений, для которыхпроводился эксперимент – для других период работоспособности линеаризованной моделиможет оказаться другим.вa mz4.