1626435353-d3ff166e666cf90a6b12a1c363845d09 (Билеты и вопросы)

Приложение 1. Экзаменационные билетыКаждый билет содержит задачу по одной из темА) «Метод обратной функции распределения»,Б) «Моделирование двумерного вектора»,В) «Метод дискретной суперпозиции»,Г) «Мажорантный метод исключения»,Д) «Выборка по важности»(соответствующие примеры подробно разобраны в разделе 14 данногопособия), а также один теоретический вопрос из следующего списка.В списке после формулировки вопроса жирным шрифтом (в квадратных скобках) указаны основные разделы данного пособия, которыеследует использовать при подготовке к ответу на экзамене. Кроме того,обычным шрифтом указаны разделы, где можно найти дополнительнуюинформацию и примеры, касающиеся данного вопроса.ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОКРАТНОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОММОНТЕ-КАРЛО1.1(1).

Общая схема метода Монте-Карло. Примеры применения общей схемы [1.4, 1.6].1.2(2). Обобщенная формула математического ожидания. Вычисление интеграла методом Монте-Карло. Сравнение с другими методами[1.5, 1.6, 1.8].1.3(3). Погрешность и трудоемкость метода Монте-Карло. Оценкатрудоемкости с помощью предварительных расчетов [1.7, 1.8, 1.9, 1.10].1.4(4). Оптимизация и простейшая параллелизация метода МонтеКарло [1.9, 1.10, 1.11].1.5(5). Преимущества и недостатки метода Монте-Карло [1.6, 1.7,1.8, 1.9, 1.11, 1.12, 2, 3.2, 4].1.6(6). Общая схема рандомизации численной математической модели [3.2, 6.4, 6.5, 14.3].1.7(7).

Метод условного математического ожидания [3.3].1.8(8). Метод расщепления и его оптимизация [3.4].1.9(9). Теорема о минимальной дисперсии для оценивателя интеграла. Выборка по важности [4.1, 4.2, 14.6].2851.10(10).1.11(11).1.12(12).1.13(13).1.14(14).Априорная оценка сверху для дисперсии [4.2, 14.6].Включение особенности в плотность [4.3, 6.5, 8.2, 8.3].Метод выделения главной части [5.1].Метод интегрирования по части области [5.2].Выборка по группам [5.3].ЧАСТЬ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВОТ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА.

ПРИЛОЖЕНИЯ: ПЕРЕНОСЧАСТИЦ И ИЗЛУЧЕНИЯ И ДР.2.1(15). Простейшая модель переноса частиц. Вероятностные распределения в модели переноса частиц [6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6].2.2(16). Вывод марковского уравнения Фредгольма второго рода длясуммарной плотности столкновений. Ряд Неймана [6.1, 7.1].2.3(17). Теоремы Леви и Лебега и их применения в теории методовМонте-Карло [7.2, 7.4, 8.5].2.4(18). Линейный функционал от решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода как сумма интегралов бесконечно возрастающей кратности. Оцениватель для отдельного слагаемого [7.2, 7.3].2.5(19). Классическая цепь Маркова, прикладная однородная цепьМаркова и их моделирование [2.8, 6.1, 7.4].2.6(20).

Основной оцениватель и оцениватель по поглощениям длялинейного функционала [6.6, 7.4, 7.5].2.7(21) Несмещенность основного оценивателя и оценивателя по поглощениям [7.4, 7.5].2.8(22). Прямое моделирование. Конечность математического ожидания номера состояния обрыва прикладной однородной цепи Маркова[8.3, 8.4].2.9(23). Дисперсия основного оценивателя и оценивателя по поглощениям.

Оптимальные плотности [8.5].2.10(24). Двойственное представление функционала. Локальный оцениватель метода сопряженных блужданий и его применения [8.1, 8.2].2.11(25). Функциональный локальный оцениватель и его применения[8.2].2.12(26). Проекционные и сеточные функциональные алгоритмы метода Монте-Карло и их оптимизация [8.6, 8.7].286ЧАСТЬ 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИН, ВЕКТОРОВ И ФУНКЦИЙ3.1(27). Свойства стандартной случайной величины. Двоичное представление стандартной случайной величины. Генераторы стандартныхслучайных чисел [2.3, 9.2, 9.3].3.2(28). Метод вычетов.

Равномерность и корреляция соседних членов последовательности метода вычетов [9.3, 9.4].3.3(29). Свойство периодичности, тестирование и использование метода вычетов для моделирования стандартных случайных чисел [9.1,9.5, 9.6].3.4(30). Стандартный алгоритм моделирования дискретных случайных величин и его средние затраты: случаи большого и малого числазначений [6.5, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4].3.5(31). Специальный метод моделирования равномерного дискретного распределения.

Квантильный метод [10.5, 10.6].3.6(32). Метод Уолкера [10.7].3.7.(33). Метод обратной функции распределения. Элементарные плотности распределения [2.5, 2.6, 6.5, 11.3, 11.6, 11.7, 14.2].3.8(34). Условная плотность распределения. Моделирование случайного вектора [2.1, 2.2, 2.3, 2.7, 14.3].3.9(35). Выбор и конструирование вероятностных плотностей распределения в алгоритмах метода Монте-Карло [2.8, 14.1, 14.2, 14.3,14.4, 14.5].3.10(36).

Методы интегральной и дискретной суперпозиции. Модифицированный метод дискретной суперпозиции [3.1, 11.1, 11.2, 11.3,11.4, 11.7, 14.4].3.11(37). Мажорантный метод исключения. Двусторонний метод исключения [11.5, 11.6, 11.7, 14.5].3.12(38). Моделирование гамма- и бета-распределений [12.1, 12.2,12.3, 12.4].3.13(39).

Моделирование стандартного гауссовского распределения.Моделирование изотропного вектора. Моделирование гауссовского случайного вектора [6.3, 6.4, 13.1, 13.2, 13.3].3.14(40). Численные модели однородных гауссовских случайных полей [13.4, 13.5].287Приложение 2. Контрольные вопросыВесь курс и экзаменационные вопросы можно разбить на три части (см. приложение 1). Если экзаменуемый успешно решил задачу иответил на теоретический вопрос из соответствующей части, то следует задать ему контрольные вопросы по двум другим основнымчастям курса. Примеры таких вопросов приводятся ниже.После формулировки вопроса жирным шрифтом (в квадратныхскобках) указан раздел (разделы) данного пособия, в котором содержится ответ на этот вопрос.Контрольные вопросы по части 1 «Общая схема методаМонте-Карло.

Вычисление многократного интеграламетодом Монте-Карло»Опишите общую схему метода Монте-Карло. [1.4]Как вычислить математическое ожидание случайной величины методом Монте-Карло? [1.4]Что такое оцениватель (монте-карловская оценка)? [1.4]Какая теорема теории вероятностей обосновывает общую схему метода Монте-Карло? [1.4]Как записать интеграл в виде математического ожидания? [1.6]Как выглядит весовой оцениватель (монте-карловская оценка) интеграла? [1.6]Каковы два основных приложения основной схемы метода МонтеКарло, описанные в данном курсе? [1.6]Какой вид имеет аналитическое выражение для погрешности методаМонте-Карло? [1.7]Какая теорема теории вероятностей является основой полученияаналитического выражения для погрешности метода Монте-Карло? [1.7]Почему при реализации методов Монте-Карло стараются (при прочих равных условиях) уменьшить дисперсию соответствующего оценивателя? [1.7, 1.9]Каков порядок погрешности метода Монте-Карло (по числу испытаний)? [1.8]Как оцениваются затраты метода Монте-Карло? [1.9]Что такое трудоемкость метода Монте-Карло? [1.9]Как вычисляются дисперсия оценки и среднее время реализации одного выборочного значения? [1.10]288Опишите простейшую схему параллелизации вычислений по методуМонте-Карло.

[1.11]Каковы основные преимущества метода Монте-Карло? [1.12]Каковы основные недостатки метода Монте-Карло? [1.12]Опишите общую схему рандомизации. [3.2]Напишите формулу для дисперсии весового оценивателя интеграла.[3.3, 4.1]Какова основная идея метода условного математического ожидания? [3.3]Что такое формула полной дисперсии? [3.3]Какова основная идея метода расщепления? [3.4]Какой выбор плотности дает наименьшую дисперсию весового оценивателя метода Монте-Карло для задачи вычисления интеграла? [4.1]Что такое метод выборки по важности? [4.2]Напишите априорную оценку дисперсии весового оценивателя метода Монте-Карло для задачи вычисления интеграла. [4.2]Как учитываются особенности подынтегральной функции (в томчисле описываемые дельта-функциями) при построении оценивателейметода Монте-Карло? [4.3]Какова основная идея метода выделения главной части? [5.1]Какова основная идея метода интегрирования по части области?[5.2]Какова основная идея выборки по группам? [5.3]Какие методы уменьшения дисперсии для задачи вычисления интеграла вы знаете? [3.3, 4.2, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4]Контрольные вопросы по части 2 «Вычисление линейныхфункционалов от решения интегрального уравненияФредгольма второго рода.

Приложения: перенос частици излучения и др.»Что такое однородная цепь Маркова? Как моделируется конечныйотрезок траектории этой цепи на компьютере? [2.8]Что такое прикладная цепь Маркова? Как моделируются траектории этой цепи на компьютере? [2.8, 6.1]Математическая модель какого физического процесса историческиявилась толчком для развития теории алгоритмов численного статистического моделирования? [6.1]Опишите простейшую математическую модель процесса переносачастиц.

[6.2]289Какой вероятностный процесс образуют состояния столкновений вмодели переноса частиц? [6.2]Какие вероятностные распределения приходится моделировать приреализации прямого моделирования процесса переноса излучения? [6.3,6.5]Какому уравнению удовлетворяет суммарная плотность состоянийприкладной цепи Маркова? [6.1, 7.1]В каком случае ряд Неймана является единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода? [6.1, 7.1]Как проверить, что ряд Неймана является решением интегральногоуравнения Фредгольма второго рода? [7.1]Что такое марковское интегральное уравнение Фредгольма второгорода? [7.1]Приведите пример интегрального уравнения Фредгольма второгорода, которое не является марковским. [7.2]Сформулируйте теорему Леви. [7.2]Сформулируйте теорему Лебега. [7.2]Почему линейный функционал от решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода можно трактовать как сумму интеграловбесконечно возрастающей кратности? [7.2]Как связана идея построения основного оценивателя линейного функционала от решения интегрального уравнения Фредгольма второго родас методом выборки по важности? [7.3]Опишитевсе обозначения в выражении для основного оценивателяPNζ = m=0 Q(m) h(ξ (m) ).