1626435166-add9f43cf0b5583c0d7be86c76983b6a (2016 - Вопросы к экзамену)

Экзамены по курсу Квантовая механика-3С. Г. Сальников20 декабря 2016 г.Список вопросов на двойку11. Размерностный анализ, доведение до числа.2. Определение и коммутационные соотношения основных операторов квантовой механики: x, p, l, s.3. Вид уравнения Шредингера во внешнем электромагнитном поле.4. Уравнения Максвелла в пустоте. Вектор-потенциал.5. Формула Ферми для переходов в непрерывном спектре.......................................................................................................6. Определение дифференциального сечения.7. Асимптотический вид волновой функции.8.

Условия применимости приближений: борновского (для медленных и быстрых), эйконального,медленных частиц.......................................................................................................9. Вид уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака во внешнем электромагнитном поле. Частице скаким спином соответствует каждое из этих уравнений.10.

Содержание парадокса Клейна.11. Причина и характерная величина тонкого расщепления.......................................................................................................12. Гамильтониан взаимодействия заряженной нерелятивистской частицы и квантованного электромагнитного поля.13. Оценки частот и волновых векторов для атомных переходов (включая тонкое расщепление).14.

Полная вероятность дипольного излучения. Оценка для любого разрешённого перехода.1Знание ответов на эти вопросы не гарантирует получение положительной оценки. Незнание — гарантирует получениедвойки.1Экзаменационные вопросы и задачиВопросы1. Постановка задачи рассеяния. Асимптотика волновой функции, амплитуда, дифференциальное иполное сечения. Рассеяние двух частиц.2. Борновское приближение, условия применимости для быстрых и медленных частиц.3.

Борновское приближение, атомный и кристаллический формфактор.4. Оптическая теорема для рассеяния.5. Фазовая теория рассеяния в центральном поле.6. Условия конечности фаз рассеяния, полного сечения, амплитуды рассеяния вперёд для потенциала, убывающего степенным образом.7. Рассеяние медленных частиц, длина рассеяния, резонанс на мелком или виртуальном уровне.8. Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне.9. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала.10. Рассеяние частиц со спином, матричная амплитуда рассеяния, неполяризованное сечение.11. Рассеяние частиц со спином, поляризационная матрица плотности, поляризация конечных частиц.......................................................................................................12. Уравнение Клейна-Фока-Гордона, общее решение свободного уравнения.13.

Калибровочная инвариантность уравнения Клейна-Фока-Гордона, сохраняющийся ток.14. Дискретные симметрии уравнения Клейна-Фока-Гордона, лоренц-инвариантность.15. Уравнение Клейна-Фока-Гордона во внешнем электромагнитном поле. Спектр в кулоновском поле,тонкое расщепление.16. Нерелятивистское разложение уравнения Клейна-Фока-Гордона.17. Уравнение Дирака, гамма-матрицы, перестановочные соотношения, общее решение.18.

Калибровочная инвариантность уравнения Дирака, сохраняющийся ток.19. Лоренц-ковариантность уравнения Дирака, закон преобразования биспиноров и тока.20. Проблемы с одночастичной интерпретацией уравнения Дирака, парадокс Клейна.21. Дискретные симметрии уравнения Дирака.22. Море Дирака. Смысл преобразования C-чётности и волновая функция позитрона.23. Интерпретация отрицательно-частотных решений уравнения Дирака, относительная чётность фермиона и его античастицы.24. Нерелятивистское разложение уравнения Дирака, физический смысл релятивистских поправок.25. Спиральность и киральность.

Сохранение спиральности в ультрарелятивистском рассеянии.226. Релятивистское рассеяние в кулоновском поле в борновском приближении, формула Мотта, сохранение спиральности, условие применимости.27. Представление чисел заполнения для бозонов. Операторы рождения-уничтожения, ψ-оператор.Одночастичные операторы (энергия, импульс и т.д.) в представлении чисел заполнения.28.

Представление чисел заполнения для фермионов. Операторы рождения-уничтожения, ψ-оператор.Одночастичные операторы (энергия, импульс и т.д.) в представлении чисел заполнения.......................................................................................................29. Общее решение уравнений Максвелла в пустоте, нормальные моды, энергия электромагнитногополя.30.

Фотоны, операторы рождения и уничтожения, представление чисел заполнения для электромагнитного поля.31. Взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем. Полный гамильтониан и волновая функция системы частица+поле.32. Излучение при переходах между атомными состояниями. Формула Ферми, фазовый объём.33. Электрическое дипольное излучение, правила отбора, полная вероятность.34. Магнитодипольное излучение, правила отбора, полная вероятность.35. Квадрупольное излучение, правила отбора, оценка полной вероятности.36.

Точные и приближенные правила отбора переходов произвольной мультипольности. Подавлениемагнитодипольного излучения для переходов между состояниями с разным n.37. Естественная ширина спектральных линий.38. Вынужденное излучение и поглощение света.39. Фотоэффект и радиационный захват для основного состояния атома водорода.40. Рассеяние света на заряженной частице, томсоновское рассеяние.41. Рассеяние света на атоме, рэлеевское рассеяние, поведение при малых частотах.42. Резонансное рассеяние света на примере рассеяния на атоме водорода света с частотой, близкой к(E2p − E1s ) /~.3Задачи1. Определить амплитуду рассеяния и борновское сечение в потенциале U (r) = −Ze2exp (−λr).r2. Определить амплитуду рассеяния и борновское сечение в потенциале U (r) = U0 θ (R − r).3.

Определить амплитуду рассеяния и борновское сечение в потенциале U (r) = U0 exp (−λr).3Z |e|4. Плотность распределения заряда в ядре имеет вид ρ(r) =θ (R − r). Определить борновское4πR3сечение рассеяния нерелятивистских электронов на этом ядре и сравнить с формулой Резерфорда.5. N одинаковых точечных ядер расположены на оси z на расстоянии a друг от друга.

Определитьборновское сечение рассеяния пучка нерелятивистских заряженных частиц, движущихся вдольоси z.6. Определить наименьший угол рассеяния, при котором зануляется дифференциальное борновскоесечение рассеяния на потенциале U (r) = U0 exp (−r2 /R2 ) ch (az/R2 ).Указание.

Свести к задаче рассеяния на системе одинаковых частиц.7. Определить сечение рассеяния медленных частиц в потенциале U (r) = −U0 θ (R − r).8. Определить сечение рассеяния медленных частиц в потенциале U (r) = −Gδ (r − R).9. Вычислить парциальное сечение σl=0 для рассеяния в потенциале U (r) = Gδ (R − r) частиц сэнергией E ∼ ~2 / (mR2 ). Считать, что mGR/~2 1.10. Вычислить фазы рассеяния для потенциала U (r) = α/r2 . Конечно ли полное сечение?11. Вычислить полное сечение рассеяния быстрых частиц в потенциале U (r) = U0 θ (R − r).p12. Вычислить полное сечение рассеяния быстрых частиц в потенциале U (r) = U0 θ (R − r) 1 − r2 /R2 .

1 113. Спиновая часть волновой функции нерелятивистского электрона имеет вид ϕ = √. Найти5 2вектор среднего спина s и поляризационную матрицу плотности. Найти вероятность того, чтопроекция спина на направление s равна −1/2.14. В борновском приближении найти угол поворота среднего спина электрона при рассеянии в по22тенциале U (r) = U0 e−r /a (1 + αl · s).......................................................................................................15. Получить спектр уравнения Клейна-Фока-Гордона в постоянном и однородном магнитном поле.16.

Получить спектр уравнения Клейна-Фока-Гордона в кулоновском поле.17. Определить коэффициенты прохождения и отражения для рассеяния скалярной частицы на ступеньке: U (z) = U0 θ(z).18. Первая релятивистская поправка к гамильтониану бесспиновой частицы в кулоновском поле имеетp4вид − 3 (~ = c = 1). Найти поправку к энергии основного состояния.8m19. Первая релятивистская поправка к гамильтониану бесспиновой частицы в кулоновском поле имеетp4вид − 3 (~ = c = 1). Найти поправку к энергии состояния 2s.8mУказание.

Радиальная функция состояния 2s имеет вид R2s (r) = A (1 + Br) exp (−r/2aB ). Константу B найти из условия ортогональности волновой функции основного состояния.420. Первая релятивистская поправка к гамильтониану бесспиновой частицы в кулоновском поле имеетp4вид − 3 (~ = c = 1). Найти поправку к энергии состояния 2p.8mУказание. Радиальная функция состояния 2p имеет вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ).21. Первая релятивистская поправка к гамильтониану частицы со спином 1/2 в кулоновском поле−Zα/r имеет вид (~ = c = 1)p4πZαZα− 8m3 + 2m2 δ(r) + 4m2 r 3 σ · l .Найти поправку к энергии основного состояния.22. Первая релятивистская поправка к гамильтониану частицы со спином 1/2 в кулоновском поле−Zα/r имеет вид (~ = c = 1)p4πZαZα− 8m3 + 2m2 δ(r) + 4m2 r 3 σ · l .Найти поправку к энергии состояния 2s1/2 .Указание.

Радиальная функция состояния 2s имеет вид R2s (r) = A (1 + Br) exp (−r/2aB ). Константу B найти из условия ортогональности волновой функции основного состояния.23. Первая релятивистская поправка к гамильтониану частицы со спином 1/2 в кулоновском поле−Zα/r имеет вид (~ = c = 1)p4πZαZα− 8m3 + 2m2 δ(r) + 4m2 r 3 σ · l .Найти поправку к энергии состояния 2p1/2 .Указание. Радиальная функция состояния 2p имеет вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ).24. Первая релятивистская поправка к гамильтониану частицы со спином 1/2 в кулоновском поле−Zα/r имеет вид (~ = c = 1)p4πZαZα− 8m3 + 2m2 δ(r) + 4m2 r 3 σ · l .Найти поправку к энергии состояния 2p3/2 .Указание. Радиальная функция состояния 2p имеет вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ).25.

Свободный электрон находится в состоянии с волновой функцией (m = ~ = c = 1)!√ 1 + 2 sinr r ϕψ(t = 0, r) =.i sin r−cosr(σn)ϕrrИмеет ли это состояние определённые значения энергии и полного момента, и если да, то какие?26. Определить коэффициенты прохождения и отражения для рассеяния частицы со спином 1/2 наступеньке: U (z) = U0 θ(z).1 µν127. Для S(Λ) = exp σ ωµν ≈ I + σ µν ωµν и Λ = exp [ω] ≈ I + ω проверить соотношение44S −1 (Λ)γ µ S(Λ) = Λµν γ νс точностью до линейных по ω членов. σ µν = 21 [γ µ , γ ν ], ω 1.28.

Привести гамильтонианH=[σ·(p−eA/c)]22m+ U (r)к виду гамильтониана уравнения Паули. Чему равно гиромагнитное отношение для дираковскойчастицы?529. Вычислить тонкое расщепление уровня с n = 2 в атоме водорода за счёт спин-орбитального взаиe2 ~2модействия(ls).2m2 c2 r330. Вычислить отношение матричных элементов ūp2 ,λ2 γ 0 up1 ,λ1 при λ2 = λ1 и λ2 = −λ1 .......................................................................................................31. Нейтрон находится в постоянном магнитном поле H = 1 Тл = 1 В·сек/м2 = 104 Гс направленном’вдоль оси z. Вычислить вероятность радиационного перехода между состояниями с sz = ±1/2.Примечание. Магнитный момент нейтрона равен −1,913 2me~p c .32. Определить мультипольность и оценить вероятность радиационного перехода 2p3/2 → 2p1/2 .33. Определить мультипольность и оценить вероятность радиационного перехода 3d3/2 → 2p1/2 .34.

Вычислить вероятность радиационного перехода между компонентами сверхтонкой структурысостояния 1s1/2 атома водорода.Примечание. Частота, соответствующая разности энергий триплета (F = 1) и синглета (F = 0),−EF =0равна EF =12π~≈ 1420 МГц.35. Вычислить отношение интенсивностей излучения для переходов 3p → 1s и 2p → 1s.Указание. Радиальные волновые функции имеют вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ) и R3p (r) =B (r + Cr2 ) exp (−r/3aB ). Коэффициенты A, B, C найти из условий нормировки и ортогональности.36. Вычислить отношение вероятностей излучения для переходов 2p3/2 → 2s1/2 и 2p1/2 → 1s1/2 .Указание. Радиальная функция состояния 2p имеет вид вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ), а состояния2s — R2s (r) = B (1 + Cr) exp (−r/2aB ).

Константу C найти из условияортогональностиволновойmα413функции основного состояния. Тонкое расщепление ∆E = − 2n3 j+1/2 − 4n .E2s−E2p1/21/2≈ 1058 МГц вычислить отношение вероятно37. С учётом величины лэмбовского сдвига2π~стей излучения для переходов 2s1/2 → 2p1/2 и 2p1/2 → 1s1/2 .Указание. Радиальная функция состояния 2p имеет вид вид R2p (r) = Ar exp (−r/2aB ), а состояния2s — R2s (r) = B (1 + Cr) exp (−r/2aB ).