1625913995-c4ff91745ff47be91e6c56c1fe398832 (2014 - Занятия в терминальном классе)

Ïðèìåðíûé ïëàí çàíÿòèé â òåðìèíàëüíîì êëàññåïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå, 2014 ã.Ã.Ë. Êîòêèí è Â.Ã. ÑåðáîÐåêîìåíäàöèè: Ïðåïîäàâàòåëÿì è ñòóäåíòàì æåëàòåëüíî ñêà÷àòü ïðîãðàììó"kvantx"èç Èíòåðíåòà ïî àäðåñó: http://sourceforge.net/projects/quantx, â êîòîðîéèìååòñÿ ïðîãðàììà, èíñòðóêöèÿ ê íåé è ó÷åáíîå ïîñîáèå Êîìïüþòåðíûé ïðàêòèêóì ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå (Ã.Ë. Êîòêèí, Â.À. Òêà÷åíêî, Î.À. Òêà÷åíêî, èçä.

ÍÃÓ,1996).Ïåðåä ïåðâûì çàíÿòèÿì â òåðìèíàëüíîì êëàññå ñëåäóåò ñêàçàòü ïàðó ñëîâ î òîì,êàê êîìïüþòåð ïðîâîäèò âû÷èñëåíèÿ è êàê ââîäÿòñÿ áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå âóðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà (h̄ = 1, 2m = 1). Ïåðåä êàæäûì çàíÿòèåì ñîîáùàåòñÿ ïëàíðàáîòû è âîïðîñû äëÿ îáñóæäåíèÿ.Åñòü ðåêîìåíäîâàííûå íàáîðû ïàðàìåòðîâ (è ïîäîáðàííûå ìàñøòàáû ãðàôèêîâ),êîòîðûå ìîæíî ââåñòè ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ ôàéëîâ-çàãîòîâîê q1q21. Óêàçàííûå çäåñü íàáîðû ïàðàìåòðîâ æàëêèé ìèíèìóì. Èíèöèàòèâíûé ñòóäåíò ñóìååòïîñòàâèòü è ðåøèòü ñ ïîìîùüþ ïðîãðàìì kvantx åù¼ ìíîãî âîïðîñîâ.

Õîðîøåå îñâîåíèå ìàòåðèàëà ýòî ñïîñîáíîñòü îòâå÷àòü íà âîçíèêàþùèå ñõîäíûå âîïðîñû óæåáåç îáðàùåíèÿ ê êîìïüþòåðó.1. Îäíà èëè äâå ïîòåíöèàëüíûå ïðÿìîóãîëüíûå ÿìû, óðîâíè ýíåðãèè,âîëíîâûå ôóíêöèè, èìïóëüñíîå ðàñïðåäåëåíèåq01. Îäíà ÿìà, Ua = −20, a = 1. Ïðîñìîòðåòü, êàê íàõîäèòñÿ ñâÿçàííîå ñîñòîÿ-íèå, ïîìàõèâàÿ õâîñòèêîì ψE (x) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ E . (Ïîëåçíî ïðîâåñòèñøèâêè äëÿ ÿìû êîíå÷íîé ãëóáèíû íà ñåìèíàðå èëè äîìà; ìåæäó ïðî÷èì, îòâåòïðèãîäèòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ, äëÿ îáñóæäåíèÿ ðàñùåïëåíèÿ óðîâíåé â ïàðå îäèíàêîâûõ ÿì è ò.ï.)q02.

Îäíà ÿìà, Ua = −20, a = 5. Ïðîñìîòðåòü óðîâíè ýíåðãèè (èõ â äàííîìñëó÷àå 8 øòóê, îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè ðàñòåò ñðîñòîì íîìåðà) è âîëíîâûå ôóíêöèè ψ0 (x), ψ1 (x), ψ2 (x), ψ7 (x).q03. Òà æå ÿìà, ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì ϕ1 (k), ϕ2 (k), ϕ7 (k). Ïîïðîáóéòåïðåäñêàçàòü âèä ϕ0 (k) è èçìåíåíèå âèäà ϕ7 (k) ïðè óâåëè÷åíèè ãëóáèíû ÿìû.q04. Ìåëêàÿ (óçêàÿ) ÿìà, Ua = −20, a = 0.1, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ è ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì åäèíñòâåííîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ.

Ïðîñëåäèòå âîçíèêíîâåíèåâòîðîãî óðîâíÿ ïðè óâåëè÷åíèè a.q05. Îäíà ÿìà Ua = −20, a = 1, â íåé äâà óðîâíÿ. Âîïðîñ, êàê áóäóò âûãëÿäåòüóðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè äâóõ òàêèõ ÿì ñ ðàññòîÿíèåì b = 0.5 ìåæäóíèìè?q06. Òå æå äâå ÿìû, ïðåäñêàæèòå è ïðîâåðüòå, êàê èçìåíèòñÿ ðàñùåïëåíèå óðîâíåé ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÿìàìè äî b = 1.1q07.

Òîå æå âîïðîñ äëÿ äâóõ óçêèõ ÿì Ua = −20, a = 0.1, Ub = 0 (ñâÿçûâàþùèåè ðàçðûõëÿþùèå îðáèòàëè).q08. Äâå ðàçíûå ïî ãëóáèíå ÿìû, U1 = −22, a = 0.1, b = 3, Ub = 0, U2 =−20, ëîêàëèçàöèÿ ñîñòîÿíèé â ëåâîé èëè ïðàâîì ÿìå. Ïîïðîáóéòå ïðåäñêàçàòü, êàêáóäóò èçìåíÿòüñÿ âîëíîâûå ôóíêöèè ïðè èçìåíåíèè ãëóáèíû èëè øèðèíû ïåðâîéèëè âòîðîé ÿìû.2. Íåñêîëüêî ïîòåíöèàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ÿì, çàâèñèìîñòü óðîâíåéýíåðãèè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÿìàìè è îò ãëóáèíû îòäåëüíûõ ÿì. Âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõq09.  ÿìå Ua = −20, a = 0.1 âñåãî îäèí óðîâåíü.

Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé äåñÿòèòàêèõ ÿì ñ ðàññòîÿíèåì b = 2 ìåæäó íèìè.  ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ 10 ñâÿçàííûõñîñòîÿíèé. Êàê èçìåíèòñÿ ÷èñëî óðîâíåé è âèä âîëíîâûõ ôóíêöèé ïðè èçìåíåíèè bîò b = 0 äî b = 3?q10. Äëÿ äâóõ ÿì Ua = −20, a = 1 ñ ðàññòîÿíèåì b = 1 ìåæäó íèìè è Ub = 0ðàññìîòðåòü çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè îò âðåìåíè, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà:à) ψ0 + ψ1 (ïåðåòåêàíèå ÷àñòèöû èç îäíîé ÿìû â äðóãóþ);á) ψ1 + ψ3 , íàäî âûáðàòü hn = 2 (áèåíèÿ âíóòðè êàæäîé ÿìû);â) ñäåëàâ îäíó èç ÿì íåìíîãî ãëóáæå, ïîïðîáóéòå ïðåäñêàçàòü ïîâåäåíèå â îïèñàííûõ âûøå âàðèàíòàõ.q11. Øåñòü ÿì Ua = −20, a = 1, b = 0.7, Ub = 0; ñäåëàâ òðåòüþ ÿìó ÷óòü ãëóáæåèëè ìåëü÷å, îáíàðóæèòü ëîêàëèçàöèþ îäíîãî èç ñîñòîÿíèé íà ýòîé ïðèìåñè.3.

Ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, çàâèñèìîñòüêîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ è |ψE (x)|2 îò ýíåðãèè, ðåçîíàíñû è êâàçèóðîâíèq12. Íàéòè êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ T (E) íàä ÿìîé Ua = −20, a = 3. Îáðàòèòåâíèìàíèå íà îñîáåííîñòè ýòîãî ãðàôèêà: ïåðâûé ïèê ôóíêöèè T (E) óæå, à îñòàëüíûåáîëåå øèðîêèå. Ïðåäñêàçàòü ïîâåäåíèå T (E) ïðè èçìåíåíèè øèðèíû è ãëóáèíû ÿìû.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à ðåøàëàñü íà ñåìèíàðå àíàëèòè÷åñêè.Äëÿ ñëó÷àÿ Ua = −20, a = 3 ïðîñìîòðåòü çàâèñèìîñòü |ψE (x)|2 îò ýíåðãèè E âèíòåðâàëå îò E = 0 äî E = 30, îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè T (E) = 1 àìïëèòóäû âîëíîâîé ôóíêöèè âíå è âíóòðè ÿìû ñðàâíèâàþòñÿ, ÷òî ðåçêî ïðîòèâîðå÷èòêëàññè÷åñêîé êàðòèíå.q13.

Äëÿ ñëó÷àÿ áàðüåðà Ua = 10, a = 0.5 ïðîñìîòðåòü çàâèñèìîñòü T (E) âèíòåðâàëå îò E = 0 äî E = 30. Ïîïðîáóéòå ïðåäñêàçàòü, êàê èçìåíèòñÿ âèä âîëíîâîéôóíêöèè è ïîâåäåíèå T (E) ñ óâåëè÷åíèåì âûñîòû áàðüåðà èëè åãî øèðèíû.q14. Äâà áàðüåðà Ua = 20, a = 0.3 ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè b = 1, Ub = 0. çàâèñèìîñòè T (E) ïåðâûé è âòîðîé ïèêè ñâÿçàíû ñ äâóìÿ êâàçèóðîâíÿìè â ÿìåìåæäó áàðüåðàìè (íàïîìíèì, ÷òî â ÿìå Ua = −20, a = 1 èìååòñÿ äâà óðîâíÿ E0 =−15.6 è E1 = −3.8. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ýíåðãèè êâàçèóðîâíåé è çíà÷åíèÿ E0,1 ?Ïðîñìîòðåòü çàâèñèìîñòü |ψE (x)|2 îò ýíåðãèè E â èíòåðâàëå îò E = 0 äî E = 30,îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè T (E) = 1 àìïëèòóäà âîëíîâîé ôóíêöèè ìåæäóáàðüåðàìè âåëèêà.q14a. Òå æå äâà áàðüåðà, áîëåå ïîäðîáíîå èññëåäîâàíèå äâóõ êâàçèñòàöèîíàðíûõñîñòîÿíèÿ.

Ïðîñìîòðåòü çàâèñèìîñòü |ψE (x, t = 0)|2 îò x.2q14b. Òå æå äâà áàðüåðà. Ïðîñìîòðåòü ðàñïàä âîçáóæä¼ííîãî êâàçèóðîâíÿ 3Dãðàôèê ψE (x, t) â çàâèñèìîñòè îò t.q15. Òðè áàðüåðà Ua = 20, a = 0.4 ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè b = 1, Ub = 0. çàâèñèìîñòè T (E) ïðîèñõîäèò ðàñùåïëåíèå ïèêîâ, îáíàðóæåííûõ â ïðåäûäóùåìñëó÷àå äâóõ áàðüåðîâ.q16. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ìíîãèõ (N = 7) áàðüåðîâ ïðåäûäóùåãî âèäà.  ýòîìñëó÷àå ÿñíî ïðîÿâëÿþòñÿ çîíû ïðîïóñêàíèÿ è çàïðåùåííûå çîíû ïî÷òè ïîëíîãî îòðàæåíèÿ.4.

Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå, ñïåêòð, âîëíîâûå ôóíêöèèq17.  îäíîé ÿìå Ua = −20, a = 1 èìååòñÿ âñåãî äâà óðîâíÿ. Íàéäèòå èõ.q18. Ðàññìîòðèòå 5, 10, 15 òàêèõ ÿì ñ ðàññòîÿíèåì b = 0.5, Ub = 0. Êàê èçìåíÿåòñÿñïåêòð ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñ ðîñòîì ÷èñëà ÿì?q19.  ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå, ïîñòðîåííîì èç òàêèõ ÿì ñ ðàññòîÿíèåì b = 0.5, Ub =0, ïîÿâëÿþòñÿ äâå çîíû â îáëàñòè E < 0 (âòîðàÿ çîíà âûõîäèò â îáëàñòü E > 0) èçîíû â îáëàñòè ïîëîæèòåëüíûõ ýíåðãèé. Ïðîñìîòðèòå çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà E(q).q20.

Òî æå ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå. Ïðîñìîòðèòå âèä Re ψ(x), Im ψ(x) è |ψ(x)|2 äëÿçíà÷åíèé ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèõ äíó íèæíåé çîíû, ÷óòü âûøå è ÷óòü íèæå.q21. Ëîêàëèçàöèÿ ñîñòîÿíèé â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå, ñîñòàâëåííîì èç äâóõ ðàçíûõïî ãëóáèíå ÿì U1 = −10, U2 = 0, U3 = −15, U4 = 0 ïðè ðàññòîÿíèÿõ d1 = 1, d2 =0.3, d3 = 1, d4 = 0.3.

Ïðîñìîòðèòå, ãäå èìåííî ïðîèñõîäèò ëîêàëèçàöèÿ äëÿ ýíåðãèéâ ïåðâîé è âòîðîé çîíàõ.5. Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå. Èñïîëüçóåì ïðîãðàììó QUANTS5.1. Âñïîìíèòå, êàê âûãëÿäÿò ÷¼òíûå è íå÷¼òíûå óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûåôóíêöèè â îäíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå U = −20, a = 3. Ïîïðîáóéòå ïðåäñêàçàòü, êàê âûãëÿäÿò s-óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå U = −20, d = 1.5.

Ïðîâåðüòåýòè îòâåòû ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû QUANTS. Ïðîñìîòðèòå ðåøåíèÿ χnl (r) è Rnl (r)äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé l âïëîòü äî l = 5. ÔóíêöèÿN (r) =X|Rnl (r) Ylm (θ, ϕ)|2 =nlmXnl|Rnl (r)|22l + 1,4πâ êîòîðîé ñóììèðîâàíèå ïî n è l ñîîòâåòñòâóåò âñåì ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì â ÿìå,ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé â ÿìå. Ïðîñìîòðèòå âèä ýòîéôóíêöèè äëÿ îïèñàííîé âûøå ÿìû. Ïðîñìîòðèòå òàêæå âèä ôóíêöèè N (k), êîòîðàÿèãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå.5.2. ßäðî äåéòåðèÿ äåéòðîí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ïðîòîíàè íåéòðîíà. Èç ýêñïåðèìåíòà èçâåñòíà ýíåðãèÿ ñâÿçè äåéòðîíà I = 2, 2 Ìý è ðàçìåð äåéòðîíà d ≈ 1, 2 ôì. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðîòîí è íåéòðîí â äåéòðîíå äâèæóòñÿâ ïîòåíöèàëüíîì ïîëå, èìåþùèì âèä ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå øèðèíîþ d, íàéòè ãëóáèíó ýòîé ÿìû, ÷òîáû ýíåðãèÿ åäèíñòâåííîãîñâÿçàííîãî s-ñîñòîÿíèÿ áûëà ðàâíà E0 = −I . Ïîëåçíûå öèôðû: 1 ôì = 10−13 ñì,h̄c = 200 Ìý · ôì; mp c2 = 940 Ìýâ.5.3.

Ïðîñìîòðèòå óðîâíè ýíåðãèè ÷àñòèöû â ñëîå (U1 = 0, d1 = 1, U2 =−50, d2 = 0.7). Àíàëîãèÿ ñ âðàùàòåëüíûìè óðîâíÿìè ìîëåêóëû.5.4. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð. ×åòíîñòü è êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ óðîâíåé.3.