bilety_po_matanu 1 курс 1 семестр (Билеты по матану), страница 3

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 15 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Доказать теорему о «первом замечательном пределе». Сформулировать ее следствия. Доказать два из них. (5 баллов)2.. Сформулировать свойства локального знакопостоянства функции, имеющей предел, теоремы о предельном переходе в неравенстве и о пределе промежуточной функции.

Привести примеры.(3 балла)Экзаменационный билет № 16 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Дать общее определение предела функции при произвольном стремлении и расшифровать и дать его геометрическую интерпретацию дляx → +∞ и x → a − , Сформулировать общие свойства предела (о единственности, о локальной ограниченности и о локальном знакопостоянстве) и доказать одно из них. (4 балла)2. Определение функции, непрерывной на интервале и на отрезке.Сформулировать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке. (3 балла)3..Сравнить при x → +∞ функции: f ( x ) = arcsin 1 ⋅ ( x + 3 − x ) иx2 x + 3 . (4 балла).g ( x) =4x + 5x + 1x +1x 2 ( x − 2)3.

Найти точки разрыва функции y = e. Сделать геометрическую интерпретацию вблизи точек разрыва. (4 балла).Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4.. Определение выпуклости функции (её графика) на промежутке.Доказать достаточное условие выпуклости графика. (5 баллов)5. Разложить функцию f ( x ) = x + 1 в точке x0 = 3 по формулеТейлора порядка 3 с остаточным членом в Форме Лагранжа.(3 балла)6. Исследовать функцию и построить её график :y = 1 + ln x (6 баллов)x7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)()Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Определение точки перегиба графика.

Доказать необходимое условие перегиба графика в данной точке. Сформулировать достаточноеусловие перегиба. (5 баллов)2x5. Вычислить предел lim e + x − sin 3 x − cos x (3 балла)x ⋅ ln(1 + x )x →06. Исследовать функцию и построить её график− 1 x2y = x⋅e 2(6 баллов)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.

СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 17 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение предела последовательности, его геометрическаяинтерпретация.

Сходящиеся последовательности. Сформулироватьосновные свойства предела последовательности. Доказать необходимое условие и сформулировать достаточное условие сходимостипоследовательности. Определение числа «е» (5 баллов)Экзаменационный билет № 18 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение асимптоты графика функции.

Виды асимптот. Критерий существования горизонтальной и вертикальной асимптот. Вывестиформулы для вычисления коэффициентов уравнения наклонной асимптоты. Примеры (5 баллов)2.. Определение непрерывности функции в точке. Сформулироватьтеорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции и теоремы о непрерывности, связанные с суммой, произведением, частными композицией двух функций (3 балла).2. Сравнение функций при данном стремлении аргумента, определение отношений «~» и «о-малое», примеры.

Сформулировать свойства отношения эквивалентности и необходимое и достаточное условие эквивалентности двух функций.(3 балла)( x ) . Сделать геометри-x ⋅ sin π3. Найти точки разрыва функции y =( )cos π x23..Найти предел lim(4 балла).log(2x− 5)x →32x−2ческую интерпретацию вблизи точек разрыва. (4 балла).Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Определение дифференциала функции, его геометрическийсмысл. Сформулировать правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказать инвариантность формы первого дифференциала.

(5 баллов)5. Вычислить предел lim ( x 3 + 2 x + 4)arcsin(1/ 2 x ) (3 балла)x →+∞6. Исследовать функцию и построить её графикy = x + arcctg(2 x ) (6 баллов)27. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМодуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4.. Определение дифференцируемости функции в точке.

Доказать теоремы о связи дифференцируемости и: (а) существования конечнойпроизводной; (б) непрерывности функции в точке. (5 баллов)5. Найти производную функции y = ( sin 2 x )arctg(3 x )(3 балла)6. Исследовать функцию и построить её график y = x ⋅ ln 2 x(6 баллов)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 19 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Дать общее определение предела функции при произвольномстремлении аргумента. Дать его расшифровку и геометрическуюинтерпретацию при x → −∞ и x → a + . (4 балла)Экзаменационный билет № 20 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1.

Сформулировать локальные свойства функций, имеющих конечныйпредел и доказать два из них. (5 баллов)2.. Дать определение функции, непрерывной на отрезке. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке. Привести примеры,показывающие существенность условий для выполнения этих свойств.(3 балла).2.

Дать определение бесконечно малой функции. Сформулироватьсвойства бесконечно малых и доказать одно из них. (4 балла)3sin x− 1 (4 балла).3. Найти предел lim 3x→π ( x − π )3Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Дать определение локального экстремума функции. Сформулировать первый и доказать второй достаточный признак экстремума.(5 баллов)5. Разложить функцию f ( x) = ln 1 + x по формуле Маклорена поряд1− xка 3 (4 балла).6. Исследовать функцию и построить её графикy = ( x + 1)2 e− x (6 баллов)7.

Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. Сидняев()3..Найти предел lim ( x 2 + 3x + 5) 1 − cos 2 (4 балла).xx →∞Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4.. Доказать необходимое условие локального экстремума функции(теорему Ферма) (5 баллов)5. Найти производную функцииf ( x) = 1 x 4 + x 2 + 2 ln( x + 4 + x 2 ) + 1 ln x − 2 (3 балла)24 x+226.

Исследовать функцию и построить её график y = 4 x 23+ x(6 баллов)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 21 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Дать общее определение предела функции при произвольномстремлении аргумента.

Дать его расшифровку и геометрическуюинтерпретацию при x → ∞ и x → a + . (4 балла)Экзаменационный билет № 22 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Сформулировать теорему о втором замечательном пределе. Сформулировать следствия из нее и доказать два из них.

(3 балла).2. Доказать непрерывность функции f ( x) = sin x . Определение элементарной функции. Сформулировать теорему о связи понятий элементарная функция и непрерывная функция. (4 балла).2. Дать определение эквивалентности бесконечно малых функций.Доказать эквивалентности для arcsin x и 1 − cos x при x → 0 (4 балла).3. Найти предел lim (ln( x + 1) − ln x)ctg 1 (4 балла).xx→+∞Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Дать определение точки перегиба функции. Сформулировать необходимое и доказать достаточное условие перегиба. (5 баллов)5. Разложить функцию f ( x) = 31 по формуле Тейлора 3-го порядкаxв точке x0 = 8 (4 балла).6. Исследовать функцию и построить её график2y = 3x(6 баллов)x +17.

Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. Сидняев33..Найти предел lim 1 − cos x (4 балла).x →01 + 2 x2 − 1Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4.. Сформулировать теорему о разложении функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложить функциюf ( x) = sin x по формуле Маклорена.

(5 баллов).5. Найти производную неявно заданной функции x + y = x3 + y 3 − xy(3 балла).6. Исследовать функцию и построить её график y =x3( x − 1)2(6 баллов).7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э.