10 вариант
Описание файла
PDF-файл из архива "10 вариант", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дискретная математика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "дискретная математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈßÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÐÀÄÈÎÒÅÕÍÈÊÈ, ÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È ÀÂÒÎÌÀÒÈÊÈÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇII ÑÅÌÅÑÒÐÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈßÄËß ÑÒÓÄÅÍÒΠÔÀÊÓËÜÒÅÒÀÊÈÁÅÐÍÅÒÈÊÈÌÎÑÊÂÀ 2012Ñîñòàâèòåëè:À.Ã.Àñëàíÿí, È.Ï.Äðàãèëåâà, À.È.Ñèðîòà,È.À.×åãèñ, À.Â.Øàòèíà, À.Ë.ØåëåïèíÐåäàêòîðÞ.È.ÕóäàêÊîíòðîëüíûå çàäàíèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïîâûìè ðàñ÷åòàìè ïî ðàçäåëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âîøåäøèì â ïðîãðàììó II ñåìåñòðàI êóðñà ôàêóëüòåòà êèáåðíåòèêè (íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë, îïðåäåëåííûé èíòåãðàë, âåêòîðíûé àíàëèç), è îñíîâàì äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Òèïîâîé ðàñ÷åò âûïîëíÿåòñÿ ñòóäåíòàìè â ïèñüìåííîìâèäå è ñäàåòñÿ ïðåïîäàâàòåëþ äî íà÷àëà çà÷åòíîé ñåññèè.
Âîïðîñûê çà÷åòó èëè ýêçàìåíó ìîãóò áûòü óòî÷íåíû è äîïîëíåíû ëåêòîðîì.Ïðè ñîñòàâëåíèè êîíòðîëüíûõ çàäàíèé çà îñíîâó áûëè âçÿòû òèïîâûå ðàñ÷åòû, ðàçðàáîòàííûå êîëëåêòèâîì êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè.Ïå÷àòàþòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà óíèâåðñèòåòà.Ðåöåíçåíòû:È.À.ÑîëîâüåâÈ.Ã.Ëåáîc ÌÈÐÝÀ, 2012°Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ íàïå÷àòàíû â àâòîðñêîé ðåäàêöèèÏîäïèñàíî â ïå÷àòü .02.2012. Ôîðìàò 60×84 1/16.Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ.Óñë.ïå÷.ë. 1,63. Óñë.êð.-îòò. 6,52. Ó÷.-èçä.ë. 1,75.Òèðàæ 100 ýêç. CÔåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîåó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòðàäèîòåõíèêè, ýëåêòðîíèêè è àâòîìàòèêè119454, Ìîñêâà, ïðîñï. Âåðíàäñêîãî, 783ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇII ñåìåñòðÒÈÏÎÂÎÉ ÐÀÑ×ÅÒÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß1.
Ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ çàäàííûõ èíòåãðàëîâ.Âû÷èñëèòü I0 è I1 . Ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå íàéòèà) In =R∞â) I n =2 2xn e−α x dx;0π/2Rsinn x dx;0á) In =ã) In =π/2R01R0cosn x dx;npx dx .1 − x22. Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèèv(x)RF (x) =f (t) dt, ãäå u(x) 6 v(x).u(x)3. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f (x, y) = x2 y 2 /(x2 y 2 + (x + y)2 ) ñóùåñòâóþò îáà ïîâòîðíûõ ïðåäåëà: ïðè x → 0, çàòåì y → 0, è ïðèy → 0, çàòåì x → 0, íî íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà, êîãäà M (x, y) →O (0, 0).4. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) = 2xy/(x2 + y 2 ), f (0, 0) = 0,íåïðåðûâíà ïî êàæäîé ïåðåìåííîé x è y â îòäåëüíîñòè, íî íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî èõ ñîâîêóïíîñòè.√5. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) = 3 xy èìååò îáå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå O(0, 0), íî íå äèôôåðåíöèðóåìà â ýòîé òî÷êå.6. Âû÷èñëèòü äâîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f (x, y) = ∂ 2 F /∂x∂yïî ïðÿìîóãîëüíèêó ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò.7.
Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZ1f (x, y) dxdy.limR→0 πR2x2 +y 2 6R28. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðîèçâîäíóþ F 0 (t) ôóíêöèèZZF (t) =f (x, y) dxdy (t > 0).x2 +y 2 6t24Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y) = x2 + y 2 .9. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y, z) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZ1f (x, y, z) dσ.limR→0 4πR2x2 +y 2 +z 2 =R2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 1.10. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y, z) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZZ3f (x, y, z) dxdydz.limR→0 4πR3x2 +y 2 +z 2 6R2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 1.11. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ F 0 (t) ôóíêöèèZZZF (t) =f (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz.x2 +y 2 +z 2 6t2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .12.
Ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿëþáîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] òî÷êàìè x0 = a, x1 , x2 , ..., xn = bìîæíî òàê ïîäîáðàòü òî÷êè ξi ∈ [xi , xi+1 ], ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùàÿèíòåãðàëüíàÿ ñóììà â òî÷íîñòè ðàâíÿëàñü îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó îò f (x) ïî îòðåçêó [a, b].13. Âûâåñòè ôîðìóëó ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ èíòåRbãðàëà f (x) dx, ðàçáèâàÿ îòðåçîê [a, b] íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìèax0 = a, x1 , x2 , x3 = b è çàìåíÿÿ f (x) êóáè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì, ïðîõîäÿùèì ÷åðåç óçëîâûå òî÷êè (xi , f (xi )).5ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀÍÈßÇÀÄÀ×À 1. Íàéòè íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë.
Ïî óñìîòðåíèþïðåïîäàâàòåëÿ âûïîëíÿåòñÿ ëèáî îäíî èç çàäàíèé (à èëè á), ëèáîîáà çàäàíèÿ.N àZ1Z2Z3Z4Z5Z6Z7Z8Z9Z10Z11Z12Z13Z14arctg 2xdxx2cos x + 1dx3 + 5 sin xdx√√√4x( x3 − 5 x + 6 4 x )¡¢x2 ln x2 + 2x + 5 dxdxex (e2x + 2ex + 10)arctg 2xdxx3cos x − 1dx4 − 5 sin xdx√√√4x( x3 + 6 x − 7 4 x )¡¢ln x2 − 4x + 5 dxdx3xe − 2e2x + 2exµ¶1x2 − 2 arctg x dxxsin xdx4 + 5 sin xdx√√33x + 2 x + x4¡¢(x−1) ln x2 +6x+10 dxáZZZZZZZZZZZZZZx4 + 2x − 1dxx2 (x − 1) (x2 − x + 1)x4 + 3x3 − 19x2 + 29x − 10dxx(x − 1)2 (x2 − 2x + 5)x4 − 16x2 + 10x + 8dxx (x − 2)2 (x2 + 2x + 2)−x4 + 5x3 − 7x2 + 11x − 16dx(x − 1)(x + 1)2 (x2 − 4x + 5)−x4 − 2x3 + 8x2 + 16x − 1dx(x + 1) (x − 1)2 (x2 + 4x + 5)2x4 + 2x3 − 7x2 − 8x − 6dxx2 (x + 3) (x2 + x + 1)3x4 −10x3 −48x+20dx(x+1)(x−2)2 (x2 +2x+10)2x3 + 16x2 + 29x + 25dx(1 − x)(x + 2)2 (x2 + 2x + 5)−x4 + 4x3 − 5x2 − 6x + 3dxx (x − 1)2 (x2 + x + 3)−x4 + 4x3 + 3x2 + 4dxx2 (x − 2) (x2 + x + 2)−2x4 + 2x3 + 8x2 − 6x + 6dx(x + 1) (x − 1)2 (x2 − x + 2)−3x4 −10x3 −13x2 +2x+18dx(x + 2) (x + 1)2 (x2 + 2x + 6)−2x4 − 5x3 + x2 + 23x − 49dx(x − 1) (x + 3)2 (x2 − 2x + 2)2x3 +9x2 −33x+27−x4dx(x − 1) (x − 2)2 (x2 − 2x + 3)6Z15Z16Z17Z18Z19Z20Z21Z22Z23Z24Z25Z26Z27Z28Z29Z30dxe3x − 4e2x + 5exµ¶1x + 3 arctg 2x dxxsin xdx3 − 5 sin xdx√√3x − 2 x3 + x4¡¢ln 4x2 + 4x + 5 dxdx3xe + 4e2x + 5exarctg 5xdxx3cos x + 2dx1 + 2 cos xdx√√√4x( x3 −2 x+5 4 x )¡¢x ln 4x2 −4x+5 dxdxex (e2x − 6ex + 10)µ¶4x2 + 2 arctg x dxxcos x + 2dx3 − 5 sin xdx√√√3x2 − 2 x + 2 3 x¡¢x2 ln x2 −2x+10 dxdxex (e2x + 6ex + 13)Zx4 − x3 + 2x2 + 16dxx2 (x + 2) (x2 − 2x + 4)Z4x4 − 19x3 + 2x2 + 13x + 48(x + 3) (x − 3)2 (x2 + x + 2)Z−x4 + 3x3 + 5x2 − 2x + 3dxdx(x + 3) (x + 1)2 (x2 + x + 3)Z 5x − 2x4 + 5x3 − 12x2 + 6x − 6ZZZZZZZZZZZZdx(x − 1)2 (x2 + x + 2)−2x5 +10x4 −21x3 +31x2 −26x+8dx(x − 2)2 (x2 − x + 2)x5 +8x4 +29x3 +56x2 +54x+17dx(x + 2)2 (x2 + 2x + 3)−x5 − 2x4 + 13x2 + 23x + 14dx(x + 1)2 (x2 + 2x + 4)2x5 − 3x4 + 4x3 − 6x2 + 5x + 2dx(x − 1)2 (x2 + x + 2)2x5 +5x4 +11x3 +26x2 +32x+8dx(x + 1)2 (x2 − x + 4)−x5 +7x4 −22x3 +46x2 −56x+36dx(x − 2)2 (x2 − 2x + 3)3x5 +20x4 +52x3 +60x2 +17x−15dx(x + 2)2 (x2 + 3x + 3)−3x5 +8x4 −14x3 +22x2 −16x+9dx(x − 1)2 (x2 − x + 2)3x5 −12x4 −29x3 +39x2 +324x−26dx(x − 4)2 (x2 + 4x + 6)−2x5+17x4−57x3+110x2 −139x+91dx(x − 3)2 (x2 − 2x + 5)x5 + 5x4 + 6x3 + 7x2 + 30x + 6dx(x + 3)2 (x2 + x + 1)2x5 +11x4 −2x3 −31x2 +126x+40dx(x + 4)2 (x2 − 3x + 4)7ÇÀÄÀ×À 2.
Âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Âûïîëíÿåòñÿ(ïî óñìîòðåíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ) ëèáî çàäàíèå à, ëèáî çàäàíèå á.1R2(x − 1)203R3x√2√a4 − x2dx203 + 2x − x2 dx415R2√(2 + x2 ) 4x − x2 dx0(x + 1)2Z2√6x − x2 dx1R2−2R6(x2 − 2x + 2)5q(2x + 1) (4 − x2 )3 dx√(x−2)2 12−x2 +4x dx(x2− 6x + 10)¡ 2¢x + 1 dxq(x2 + 4x + 8)5−23√195Z2√231x2 − 4x − 5 dx(x − 2)4dxx2 − 2x + 2(x − 1)5 dx√x2 − 2x + 5q14−1π/4Z16dx17 ds1820 3 cos x + 2 sin x cos x + 11Z3x dx(x2 − 6x + 10)5√10 (x−1)4 24−x2 +2x dx1R2 2 q12 x (4 − x2 )3 dxπ/4R21(x2 − 4x + 8)53R6Z0x dx2Z0Z8dx0q15q8−2Z313q62Z4x2 dxq711R2√(x2 + 2) 2x − x2 dxZ409R2√1Z7√204√242x2 + 2x − 3 dx(x + 1)4x2 − 2x − 8 dx(x − 1)3Z32Z3(x2 + 2x + 2)5dx2 + sin2 x + 6 sin x cos x03Z22x2 dxdxx2 − 4x + 5(x − 2)3 dx√x2 − 4x + 58a1/2Z25−1/2π/4R270Z429Z7 √(2x + 1)3 dx√4x2 + 4x + 526dx28cos2 x + 2 sin x cos x + 1√x2 − 2x + 10 dx(x − 3)35Z6√2 3Z2x3 dx√x2 − 9x dxq301x2 − 6x + 5 dx3/2(4x2 − 12x + 10)5áZ31, 162Z2(x + 1)3q2, 17(3 + 2x − x2 )51Z3x3q3, 1821.5Z4, 1914.5ZZ4 q(x − 1)3qdx52(4x − x )(3 − 2x − x2 )59, 24−2dx10, 25dx7, 22x2 − 4x + 5 dx8, 230√(2x−1)2 4x2 −4x+2 dxdx(x−1)2 (x2 − 2x − 8)5¡ 2¢x + 1 dxq12, 2732−2 (x + 4x + 8)Z4(x − 2)2 dxq13, 28(x2 + 4x − 5)52√R414, 29 (2x−1)2 x2 −6x+10 dx5Z03Z12R1q11, 260√√x2 x2 − 6x dxZ6(x + 2)3qdx52(2x − x )(x−2)2R86(x − 1)3qdx5, 2052(6x − x )3qR46, 21(x2 − 4x + 8)3 dxR3(x2 − 2x + 10)3 dxq15, 300(x+1)2dx(x2 + 2x + 5)59ÇÀÄÀ×À 3.
Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëè âû÷èñëèòü åãî, åñëè îí ñõîäèòñÿ.Z∞1.1Z∞dxx2 (x + 1)Z∞2.1Z∞e−4x cos 3x dx 5.4.0+∞ZZ1x ln x dx8.−∞Z10Z1/e10.0Z∞13.0Z∞16.dxx ln2 x11.xdxx3 + 114.0Z∞Z119.0Z∞0Z∞25.0Z∞28.03.1Z∞6.dx(x − 1)dx√x+ xx sin x dxdxx2 + 2x + 2(x − 1) dx√3x52Ze9.1xdx¡¢21 + x2dx√x ln xZ112.−1Z∞0Z∞e−2x sin 5x dx 18.17.0Z∞20.1Z∞ln x dxx−10Z∞Z1pxdx1 − x2xdxp24.27.0−1dxx ln3 x00Z∞ln x dxdxxe−x dx21.Z129.√xZ1x2 e−3x dx26.(x + 1) dx√5x3e−15.0dxx3 + 1x3 + 1dxx40xe−x dxe−x cos 2x dx 23.22.x2 − 1Z∞0Z∞21pe−x sin x dx07.xdx2Z∞1 − x2dxx2 + x − 2e−2x sin x dx30.010ÇÀÄÀ×À 4.
Èçìåíèòü â äâîéíîì èíòåãðàëåψ(x)ZZbf (x, y) dydxaϕ(x)ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñäåëàòü ÷åðòåæ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ.N a bϕ (x)71 − x2 /9√0 3 − 3x − x2√0 44x − x2√0 3 − 25 − x290 11350 311 0 613 2 515 1 917 0319221 02722323 0725 0 3−2x−x − 1ψ (x)√9 − x2Nab2020√4x412614x2 /4√x3−x8√4 + x2 10√36 − x2 1205/24x230 − 2x−114x5 − x2−20√− 4 − x24 − x22 + x x2 − 2x − 8√√x9x√2x − x22√04x − x2√016 − x22x20xϕ (x)√− 4 − x2ψ (x)2−x√5 − x26−x−42 x2 + 2x − 7 3 − x√√ √216 − 22x /23 − x2√18 02 − 4 − x22x√ √20 − 33x2 /33√22 161x+31424−113x2 − x2 /9 26−222x227 0 4x+110 − x28−22029 0 43x212x301203(x + 1)/29√√4 − x24x − x2ÇÀÄÀ×À 5. Âû÷èñëèòü îáúåì òåëà ñ ïîìîùüþ òðîéíîãî èíòåãðàëà,ïåðåõîäÿ ê öèëèíäðè÷åñêèì èëè ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì.11½x2 − y 2 + z 2 6 01.22½ 4y2 6 x2 + z + 1x + y 6 4, z > 03.22½ z 6 16 − x − y46z665.22½ x2 + y 2 6 4zx + y + z 2 6 167.22½ y 2 + z 2 6 6x2x +z 6y9.22½ x + z 26 2 2− y2y > x + z11.22 + z2)½ y 2 6 4(xy + z 2 6 9, x > 013.222½ x2 + y2 + z 6 16x + z > 4y > 015.22½ x + z 26 9 2x > 9(y + z )17.22½ 3x 6 3 − y − zy 6 z 6 4y, y > 019.22½ x +y 69y>021.x2 − z 2½ y 26 5 −x + y 2 + z 2 6 4x23.222½ y + z 62 2x 2x > 0, y + z 6 225.222½ x2 6 y2 + z2 + 1x +y +z 6227.22½ y 6 x 2+ z 2y > (x + z )/4 − 129.y 6 2 − (x2 + z 2 )/2½−x2 + y 2 + z 2 6 02.222½ x2 + y 2 + z 2 6 9x +y +z 614.22½ x2 + z 2 6 z 2x + z 6 5y6.222½ x +y +z 69y > −48.22½ x2 + z 2 + y 6 5y + z 6 8x10.22½ 9 2− y 2− z > 5xx + y 6 25, z > 012.222½ x2 + y 2 + z 2 6 36x + y + z 6 4914.22½ x + y > 4zx+y+z 6416.22½ z 2> 0, 2x + y2 6 2x + y 6 7z18.222½ x2 + y 2 + z 6 4x + y 6 3z20.222½ x +y +z 6406x66−y−z22.22½ y + z 6 1636y6424.x2 − z 2½ y 26 8 −x + z 2 > 4, y > 026.222½ x + y + z 2 6 2520 6 z 6 5(x + y )28.½ x + y 6 1, x > 0, y > 0x > 0, y > 0, z > 030.z 6 1 − x2 − y 2ÇÀÄÀ×À 6.
