Типовой расчет по теме ряды для вечернего отделения
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовой расчет по теме ряды для вечернего отделения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ,каф.ВМДля вечернего и заочного отделений2РЯДЫЗадача 6. 1. Для данного числового ряда:а) выписать три первых члена ;б) доказать его сходимость, пользуясь определением сходимости;в) найти его сумму.№№РЭА∞∑1n=12ИМ∞∑n=14∞∑n=167∞∑n=18123n2(2n + 1)(2n + 3)13∞∑3n + (−2)n∞∑n=1144n4n6(3n + 2)(3n + 5)∞∑3n + (−1)n5nn=142n + 7n + 1215∞∑n=1166n4(2n + 3)(2n + 5)17∞∑n=1185n1+ 9n + 204n3(3n + 1)(3n + 4)∞∑4n + (−1)nn=11n2∞∑3n + (−1)nn=1∞∑(−2)n + 3nn=13n2 + 5n + 6n=1∞∑(−2)n + 5nn=1∞∑n=1∞∑(−3)n − 2nn=1511∞∑(−1)n + 2nn=132n2 + 3n + 26nn=119n=1∞∑(−4)n − 2n106nn=1∞∑4(4n + 1)(4n + 5)292n2 + 11n + 30,каф.ВМ∞∑20∞∑5n + (−1)n6nn=1Задача 6. 2. Установить расходимость ряда, используя необходимое условиесходимости.№№∞∑2n sin 2nn=1РЭА212∞∑5n + 1ИМ458213∞∑√n314)3n∞ (∑n−1∞∑∞∑∞∑152∞∑2n2 + 3n=1n+47n3n − 9( )1n cosnn=1∞∑n=1n=17∞∑n=1()5n ln 1 +nn=1∞∑n=16122nn=1311∞∑1√n5n=13n2 − 6(−3)nn=1n327n2 + 516∞∑sin(n)n=13n tgnn=1317∞∑3n2 arctgnn=1182)n∞ (∑11+nn=1)(1n2 1 − cosnn=1∞∑19n=1∞∑√n10n+1n=1n arcsin2n,каф.ВМ9∞∑2()1ln 3 + 2nn=1∞∑20∞∑arctg nn=1Задача 6.
3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения.№№РЭА∞∑sin2 n1n=12678ИМ13n314n3 + 5151617n=118n2 + 1n4∞∑ln(n + 1)n=13n∞∑arctg n + 1n=1∞∑| sin(n + 3)|n3 + 1∞∑2 + sin nn=1∞∑| cos n|√nnn=1n4 + 1∞∑n · arctg nn=1∞∑ln n√nn=1n4∞∑n · ln nn=1∞∑3 − cos n√nn=1n3∞∑1 + sin nn=1∞∑n · cos2 nn2 + 1∞∑ln nn=1∞∑cos2 (n − 1)n=1512n3n=14n=1∞∑1 − cos nn=1311n2∞∑arctg n(n + 1)39,каф.ВМ1019n3n=1∞∑3 + sin 2n√nn=12∞∑2 + cos(n + 3)√∞∑ln n20n2n=1∞∑sin(n − 5)n5n=1Задача 6. 4. Исследовать ряд на сходимость, используя признак сравненияв предельной форме .№№∞∑РЭА1sin √nn=112311ИМ4∞( 1)∑2nn e −112()∞∑1n 1 − cos 2nn=1()1n · ln 1 + 2nn=156∞∑√1n arctg 2nn=17813∞∑∞∑11sin33nnn=1141516n=1∞∑1n · arctg √n nn=1∞∑(n + 1)217n2(n + 3)418∞∑lnn+3n+2)∞ (∑11 − cos √nn=1∞∑n=14n3 + 3∞∑11tg √2nnn=1n=11n · arcsin 5nn=11n3∞∑1 2 1tg √nnn=1n=1∞∑∞∑n · arcsinn=1n=13∞∑n2 sinn31+310∞∑n=11n tg 3n +3n=12(n + 2) arctg5n3219∞∑,каф.ВМ9∞)∑2 ( 13ne −1nn=120∞∑arcsin3n=11n+2Задача 6.
5. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.№№РЭА∞∑n!2nn=11МИ235∞∑∞∑∞∑n=18∞∑3nn· n!∞∑(n + 1)2n!n=1135n∞∑n=1∞∑15arctgn!nn=1n=1712∞∑(n + 1)!n=16n=1∞∑4n(n!)2n=1n=1411∞∑sin1(2n − 1)!∞∑(n!)214(2n)!n=12n(n + 2)!15∞∑(n!) · sinn=17n(2n + 1)!16∞∑(n!)2n=1n3(n + 1)!17∞∑3nn! arcsinn=116 tgn!n=1n18∞∑e2n+1n=15π3nn!12n1019n=1∞∑(2n + 1)!n=1∞∑(2n)!2n=1n!(n + 1)232n,каф.ВМ9∞∑20(n!)2∞∑(2n − 1)!n=13n · n!Задача 6. 6. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.№№РЭА∞∑n21n=1МИ23∞∑∞∑n614∞∑n2 sin∞∑53nn arctgn=11arcsin2nn=1n15∞∑5n tgn=1∞∑3n16n4∞∑ln n174n()4ln 1 + n3n=118∞∑13nsin25n)n∞ (∑n−1n=1624n∞∑4nn · 3nn=1n=1∞∑)n3n + 1n=13∞∑n=1813n3n + 2)3n∞ (∑2n + 2n=1)n∞ (∑n+1n=17123n(2n + 3)nn=15n=113 arcsin n4n=1n=14112n∞ (∑3n + 1102n2 + 5n=1)n2∞ (∑n+1n=11lnn (n + 1)2n=119∞∑,каф.ВМ9)n∞ (∑9n2 + 120n()n2∞∑1 n+13nnn=1Задача 6.
7. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.№№РЭА)2n2∞ (∑n+21n=12163n + 217n=1182n + 54n + 5)n2∞ (∑3n − 2n=172n + 1)5n2∞ (∑4n − 2n=1)n2∞ (∑2n + 43n + 4)n2∞ (∑2n − 1n=14n + 1ИМn+6)4n2∞ (∑3n + 2n=1)n2∞ (∑4n + 5n=18154n + 13n − 2)n2∞ (∑n+2n=1)n2∞ (∑3n − 1n=1714n+32n + 1)3n2∞ (∑3n + 1n=1)n2∞ (∑4n − 3n=16134n − 22n + 2)2n2∞ (∑2n + 3n=1)n2∞ (∑n+1n=15123n + 2)n2∞ (∑4n + 1n=14n=1)n2∞ (∑3n − 1n=1311n+4)n2∞ (∑2n + 13n + 110n=1)n2∞ (∑4n − 1n=12n + 3219)n2∞ (∑2n + 2,каф.ВМ9)2n2∞ (∑3n3n + 2n=1204n + 1)4n2∞ (∑3n − 2n=13n + 5Задача 6. 8.
Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши.№∞∑2n ln2 nРЭА№1n=22∞∑МИn=13∞∑n=26∞∑n=2812n n∞∑n=213n4√3142n ln nn5√4√1516ln nn171n ln3 n18∞∑n3√3n ln n∞∑2√n7n=1∞ √3∑ln nnn=1∞∑ln3 nn=284√n∞∑1√n5n=1n=2nn2∞∑ln2 nn=2n1√n ln n∞∑n=1n∞∑n=173√∞∑n=15n=2∞∑ln nn=2411∞∑n9∞∑1019∞∑n=2√4lnnn,каф.ВМn=21√n 4 lnn2∞∑n=1n3√320n∞∑ln4 nnn=1Задача 6. 9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.№б)∞∑∞∑n(−1)n + 3nn=1nРЭА1а)2∞∑(−1)n−1n=1МИ34∞∑(−1)n=1∞∑(−1)n+1n=15678∞∑∞∑√1n sinnn=2n∞∑∞∑n−1n=1(−1)nn5 + 76nn ln n((−1)n3n + 23n + 4)n2√n√(−1)1+ nn=1n arctg∞∑(−1)n√n=2 n ln n3(2n + 1)!n−33n + 1(−1)nn=1nn(−1)(2n + 1)nn=1(1∞∑(−1)n+13n(n + 3)!∞∑∞∑)(−1)n (e 2n − 1)n=1∞∑(−1)lnn+1nn=1∞∑(−1)nπ√ cosnnn=1n=1(−1)n=1n!(2n)!n−1(n+1)n∞∑π(−1)n tg √3nn=291011∞∑n∞∑n+1∞∑(−1)n4n=114∞∑(−1)nn=1И15М1617n!∞∑∞∑nln n∞∑+n2n∞∑(−1)n=118∞∑(−1)∞∑n=120n+3n+4∞∑n=1∞∑n+1n2 + 1)n2ln nn(−1)n−1√√n+2+ n(−1)n+1 lnn=1n+3n+7()1(−1) 1 − cos √nn=1∞∑n∞∑1(−1)n√ sin √nnn=1+n3 + 9nsin 3(−1)n n3(−1)nn=1nn+1 5n=119∞∑3arctgn()n2 /21(−1)n+1 √n ln nn=2√n nn(−1)n2n − 32n + 1∞∑n cos πnn=1(−1)n=1n(−1)(n+1n=12(−1)n ln4 nn=2∞∑)(n + 1)2(−1)n √n5n=111(−1) sin · tg2nnn=1nn2 − 1n2 + 1∞∑РЭА13∞∑(−1) lnn=21(−1)n ln2 nn=2(−1)(n∞∑nn=1(−1)n arcsin1n() ∑∞()2(−1) 1 − cos(−1)n−1 31/n − 1nn=1n=2∞∑2+ 2n(−1)3n + 2nn=1n=212∞∑nn3,каф.ВМ9∞∑n101№∞∑n=12n(x + 5)2nn+139 (3n)∞∑2n − 5(3n)2n=13∞∑n10n=13n!4n=1563n+1n12133n + 13n + 2)n(x − 6)2n∞∑(3n)7 + 18n!(x − 4)8155n16√1n√arctg(x + 2)2n3n4(−4)nn=1∞∑∞∑1 n+2arcsin n 2 √ (x + 1)3n8 n nn=1∞∑14+ 1)49(−1) √(x + 6)2nn+3n=1)∞ (∑1 − cos 21n√10(x − 3)2nnn=1n (n111718n5(x − 8)nn2n(−2)∞∑(−4)n n2(x − 2)2n3(2n + 7)n=1∞∑sin1 (x + 3)3n+227nn2∞∑(−1)n+1n=1ИМ7√n=1∞∑2n!(x − 10)4n20(5n)n=1n=1∞∑n=1(x − 2)(x − 1)(n11РЭА4∞∑,каф.ВМ№2Задача 6.
10. Найти радиус и область сходимости степенного ряда.n ln n(x + 1)2n−1∞∑1sin (x + 7)3nnn=1∞∑√13n sin 2 (x + 2)nnn=1∞∑narcsin √(x + 4)3n37nn=1)3∞ (∑n+2n=14n(x − 7)4n19√∞∑(x − 3)n n√n 3 (n + 2)22n=120)n∞ (∑n+1(x + 8)3nn(−27)nn=1,каф.ВМ2Задача 6. 11. Используя разложение основных элементарных функций вряд Тейлора, получить разложение данных функций в степенные ряды постепеням (x − x0 ). Указать области сходимости полученных рядов.№№1y = cos(x2 ); x0 = 011xy = cos2 ; x0 = π22y = (x − 1)ex−1 ; x0 = 112y = x2 · (cos x − 1); x0 = 03√y = ch x; x0 = 013y = xe−x ; x0 = 0РЭА(x2)− 1 ; x0 = 04y = x sin 2x; x0 = 014y=x e5y = cos2 x − sin2 x; x0 = 015y = cos x · sin x; x0 = 06y = x · cos 3x; x0 = 016xy = 2x cos2 ; x0 = 027y = sin2 x; x0 = π/217y = (x + 1)ex+1 ; x0 = −18y=18y = x cos(x3 ); x0 = 09y = e2x ; x0 = 119y = x2 e3x ; x0 = 010y = sin(x); x0 = π/420y = sin x · sin 3x; x0 = 0ИМ2sin 2x; x0 = 0x122№,каф.ВМ2Задача 6.
12. Используя разложение основных элементарных функций вряд Тейлора, получить разложение данных функций в степенные ряды постепеням (x − x0 ). Указать области сходимости полученных рядов.№y=3x; x0 = 04 − 7x11y = ln(6x − 5); x0 = 22y = ln(1 − 5x); x0 = −112y=3y=3; x0 = 12x − 713y = ln(4 − 3x); x0 = 0РЭА12; x0 = −21 − 5x4y = ln(5 − 6x); x0 = 014y=5y=4x; x0 = 02 + 3x15y=6y = ln(1 + 2x); x0 = 316y=7y=3; x0 = −25 + 4x17y = ln(11 − 5x); x0 = 283y= √; x0 = 0416 − x18y=9y=19y = ln(3 + 2x); x0 = 020y=ИМ4; x0 = 03x − 86x; x0 = 22 − 3x10 y = ln(5x − 2); x0 = 113√327 + 2x; x0 = 02x; x0 = 05 − 4x2; x0 = 43x − 13x; x0 = 07 − 2x№,каф.ВМ№1f (x) = 4x − 711f (x) = 5 − 6x2f (x) = 3x + 812f (x) = −2x − 33f (x) = 3x − 513f (x) = 7 − 2x4f (x) = 5x + 214f (x) = −4x − 15f (x) = 5x − 415f (x) = 2 − 4x6f (x) = 6x + 316f (x) = −3x − 57f (x) = 2x − 617f (x) = 3 − 5x8f (x) = 4x + 518f (x) = −2 − 6x9f (x) = −6 − 3x19f (x) = 4x − 220f (x) = 2x + 7РЭАИМ2Задача 6.
13. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале [−π; π] .10 f (x) = 4 − 3x14.
