Методическое пособие (Для студентов очной формы обучения институтов ИТ, РТС, ФТИ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТО.А. ЕВСЕЕВА, О.А.МАЛЫГИНА, Е.В. ПРОНИНА,И.Н.РУДЕНСКАЯ, Л.И. ТАЛАНОВАРЕДАКТОР: Н.С. ЧЕКАЛКИНДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯМетодическое пособиеДля студентов очной формы обученияинститутов ИТ , РТС, ФТИМоскваМИРЭА20162АннотацияПособие по курсу "Дифференциальные уравнения" предназначено длястудентов очной формы обучения институтов Информационных технологий,РТС и ФТИ (МИРЭА). Пособие включает следующие разделы: дифференциальные уравнения первого порядка; дифференциальные уравнения, допускающиепонижение порядка; методы решения линейных дифференциальных уравненийи систем дифференциальных уравнений. Материал пособия можно использовать при изучении таких курсов, как математический анализ, математическаяфизика, методы математического моделирования, основы теории электрическихцепей, при изучении других специальных и общепрофессиональных дисциплин.3МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯВ течение семестра по курсу "Дифференциальные уравнения" проводятся контрольные работы и выполняется типовой расчет.Приведем примерные варианты контрольных работ.Контрольная работа по теме«Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Понижение порядка»1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 1-го порядка:1.1) 1  e x y'  ye x ; 1.2) x y'  2 x 2  y 2  y ;1.3) e y dx  (cos y  xe y )dy  02. Решить задачу Коши:2 xy 1  x 2 , y 1  32.1) y '21 x2.2) y' xy  (1  x)e  x y 2 , y(0)  13. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка: xy" ' y"  x  1.Контрольная работа по теме«Методы решения линейных дифференциальных уравнений»1. Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами методом подбора:1.1) y' ' '3 y' '2 y'  1  x 2 ;1.2) y' ' '3 y' '2 y'  1  2 x e x ;1.3) y' '4 y'4 y  e 2 x sin 6 x .2. Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами мето1дом вариации произвольной постоянной: y ' '4 y .sin 2 x3.

Решить задачу Коши операторным методом:y' ' y  3e 2t , y(0)  2 , y(0)  5 .Замечание: содержание контрольных работ может быть изменено по усмотрению преподавателя.В течение семестра студент выполняет типовой расчет. Типовой расчет4выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент подробно описывает решение каждойзадачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы.

Наличиевыполненного типового расчета является обязательным условием допускастудента на экзамен.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзамен илизачет (в зависимости от направления подготовки и специализации).Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билетаМИРЭАБилет № …дифференциальные уравненияочное отделениеyyyxxx2xy'4 y  2 x  y .1. Решить задачу Коши: y' tg ( )   tg ( )  1 ,2. Решить уравнение:УтверждаюЗав. кафедрой ВМ 2y(2)  0 .3. Решить уравнение: ( x  1) y' ' '  y' '( x  1)3 .4. Решить уравнение: y' ' y  tg 2 x .5.

Решить уравнение методом подбора: y' ' '4 y' '4 y'  8x  4  5e x .6. Решить задачу Коши операторным методом:y' '4 y'5 y  0 , y(0)  1 , y(0)  2 .7. Решить задачу Коши: x  5 x  2 y, x(0)  1, y  x  6 y, y (0)  4.8. В электрической цепи с э.д.с. E(t )  E0 sin(t ) последовательно соединены сопротивление R и индуктивность L ( E0 , R , L ,  - заданные константы).Найти закон изменения тока I (t ) , если I (0)  0 .129. Найти общее решение уравнения Эйлера: x y ' '2 xy'4 y  2 .x10. Свертка оригиналов, еѐ свойства. Формула Дюамеля.Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач билета можетбыть изменено.5Теоретические вопросы по курсу1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры физическихи геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Начальные условия. Задача Коши, ее геометрический смысл.2. Дифференциальное уравнение однопараметрического семейства плоских кривых. Задача об ортогональных траекториях.3. Общее решение уравнения 1-го порядка. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го порядка как поля направлений. Основные классы уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши длядифференциальных уравнений 1-го порядка. Особые решения.5. Поле направлений. Метод изоклин.6.

Дифференциальные уравнения порядка n. Задача Коши. Теорема существования и единственности (без доказательства). Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка, методы их решения.7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и неоднородные уравнения.

Фундаментальная система решений однородного уравнения. Определитель Вронского системы решений однородного дифференциального уравнения, его свойства. Структура решения линейного неоднородного уравнения.8. Структура базисных решений и общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.9. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частногорешения неоднородного уравнения.10. Метод подбора частного решения неоднородного линейного уравнения с квазимногочленом в правой части.

Случай резонанса. Уравнение Эйлера.611. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Нормальная система дифференциальных уравнений 1-го порядка, ее геометрическая и механическая интерпретация.12. Сведение дифференциального уравнения n –го порядка к системе nуравнений 1-го порядка. Сведение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению n–го порядка. Методы решения систем, разрешенных относительно старшей производной (метод исключения и метод нахождения интегрируемых комбинаций).13.

Линейная система дифференциальных уравнений. Матричная запись.Однородная линейная система, пространство ее решений. Структура общегорешения. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постояннымикоэффициентами.14. Определение оригинала. Основные свойства преобразования Лапласа:линейность, подобие, смещение изображения, запаздывание (изображение периодического оригинала).15. Дифференцирование изображения, дифференцирование оригинала,интегрирование оригинала, интегрирование изображения. Обращение преобразования Лапласа.16. Свертка оригиналов. Теорема умножения изображений. ФормулаДюамеля. Обращение дробно-рационального изображения.

Изображение квазимногочлена.17. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами с использованием преобразования Лапласа. Применение формулы Дюамеля.18. Фазовое пространство автономных систем, фазовая траектория. Точкипокоя автономных систем. Стационарная точка автономной системы. Классификация точек покоя линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами (устойчивый и неустойчивый узел, седло). Точки покоя.7Устойчивый и неустойчивый дикритический узел, вырожденный узел, центр,фокус.19. Устойчивость решений системы дифференциальных уравнений.

Сведение к устойчивости точки покоя.Рекомендуемая литература1) Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения: Учебник - 7-е изд. - (Классический учебник МГУ). ЛКИ, 2008.2) Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. ЛКИ,2011.3) Сборник задач по математике для втузов в 4 частях. Ч.3,4: Учебное пособие для втузов/ Под общей редакцией А.В.Ефимова и А.С.Поспелова. М.,Издательство физико-математической литературы, 2009.4) Краснов М.Л., Киселев А.И. и др.

Вся высшая математика, том 3,4. М.,УРСС, 2010.5) Романко В. К., Агаханов Н. Х., Власов В. В., Коваленко Л. И. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.М.,Бином. Лаборатория знаний , 2012.6) Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений.

М., Наука, 1993.8ТИПОВОЙ РАСЧЕТРешение задач типового расчета позволяет успешно подготовиться к выполнению контрольных работ и к сдаче экзамена (зачета). Наличие выполненного типового расчета является необходимым условием допуска студента к сдаче экзамена по курсу.Задача 1.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка. Найти общее решение (общий интеграл решения) заданного дифференциального уравнения.Номер варианта12Дифференциальное уравнениеy(2 x  )dx  (4 y 3  ln x)dy  0xxy'2 y  4 x 2 sin 2 x y3xy'  y  4 x 2  y 24xy'3 y  3 y 2 / x5678xy'  y  xe2yx(2 xy  y 3 )dx  ( x 2  3 y 2 x  3 cos 3 y)dy  0( x ln y  4 x 3 y  ln x)dx  (y' x2 x 4 )dy  02yy2y2 22xx9y'2 xy  y 2e x (2 x  1)10y' y  ye x11y(2 x  )dx  (3 y 2  ln x)dy  0xxy'2 y  x 3 sin x y12132xy'  y  9 x 2  y 291415xy'3 y  3 y 2 / x 2xy'  y  xe3yx16(2 xy  y 3  sin 2 x)dx  ( x 2  3 y 2 x  1)dy  017x2( x ln y  4 x y)dx  (  x 4  3e 3 y )dy  02y183y2yy'  2  3  3xx19y'2 xy  3 y 2e x x 220y ' y 21y(2 x  )dx  (ln y  ln x)dy  0x22xy'2 y  x 3 cos x y23xy' y  x 2  y 224y '32522ye3 x5y 23 y 2 / x 3xxy'  y  xe3yx26(2xy  y 3  4 cos 4 x)dx  ( x 2  3 y 2 x)dy  027x2( x ln y  4 x y )dx  (  x 4  ln y )dy  02y283y' y2 y 4x2 x29y'2 xy  y 2e x ( x  2)30y ' y 22ye 2 x310Задача 2.