Учебно-методическое пособие (Е.Ю. Кузнецова, О.А. Малыгина, Т.А. Морозова - Учебно-методическое пособие)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТАЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ2-ой семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очно-заочной и заочной форм обученияинститутов РТС, ИТ, ЭлектроникиМОСКВАМИРЭА20162Составители: Кузнецова Е.Ю., Малыгина О.А., Морозова Т.А.,ПронинаЕ.В., Параскевопуло О.Р., Руденская И.Н., Таланова Л.И.,Чекалкин Н.С.ВведениеПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов РТС, Информационных технологий и Электроники. Пособие содержит список теоретических вопросов для подготовки к экзамену (зачету) по курсу алгебры и геометрии 2-го семестра, перечень рекомендуемой литературы. Приведеныпримерные варианты контрольных работ по курсу, образец билета, а такжетиповой расчет.Методические указанияПо курсу «Алгебра и геометрия» (2-ой семестр) рекомендуется проведение одной контрольный работы.По курсу выполняется типовой расчет.

Наличие выполненного типового расчета – необходимое условие допуска студента на экзамен (зачет).Контрольная работа проводится по теме «Комплексные числа. Линейные пространства».Примерный вариант контрольной работы1. Вычислить  3  i  . Результат изобразить на комплексной плоскости.2. Решить уравнение z  27 i  0 . Результат изобразить на комплекснойплоскости.3. Доказать, что множество L = { ( a  b ,  a  2 b , a  3 b ) , a,b  R} образует153линейное подпространство в пространствезис подпространства.4. В пространстве V заданы векторы a 3R3. Найти размерность и ба-  i  3 j  2k ,b  2 j  k ,c  i  j  2k .  Показать, что система S = { a , b , c } образует базис в пространстве V .

Найтикоординаты вектораx  4 i  18 j  12 k3в базисе S.4Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач контрольныхработ может быть изменено.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент подробно описывает решение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы.

Задания типового расчета можно рассматривать как основу для самостоятельной работы студента над соответствующим разделом курса. Наличие выполненного типового расчета является обязательным условием допуска студента на экзамен или зачет.В пособии приведен также список литературы по данному курсу, чтопоможет студенту в усвоении содержания обучения.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзаменили зачет. В пособии приведен примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета. Его содержание отражает структуру курса (введены задачииз каждого раздела).Примерный вариант экзаменационного (или зачетного) билета1.

Вычислить (  2  2 3 i ) . Результат изобразить на комплексной плоскости.2. Доказать, что векторы вида (a, b-a,2a+b) образуют линейное подпространство в пространстве R . Найти его базис и размерность.3. В пространстве V линейный оператор Aˆ – оператор проектирования на ось OZ. Найти матрицу оператора Aˆ в базисе (i, j, k). Найти образвектора x = 2i – j + 3k. Существует ли обратный оператор?4.

Квадратичную форму  ( x )  x  5 x  4 x  2 x x  4 x x исследоватьна знакоопределенность по критерию Сильвестра.25335. Матрица Грама в базисе{e1 , e2222123}имеет вид121G  21283. Найти длиныбазисных векторов и угол между ними.6. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).1.Теоретические вопросы по курсуОпределение комплексного числа.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма. Действия с комплексными числами.5Определение линейного пространства и подпространства. Примеры.Размерность и базис линейного пространства.3. Определение линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора. Обратный оператор, его матрица, критерий обратимости линейного оператора.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.5.

Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы.Критерий Сильвестра.6. Определение евклидова пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве. Матрица Грама скалярного произведения.Длины векторов и углы между векторами в евклидовом пространстве.2.Рекомендуемая литература1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 304 с.2.Канатников А.Н. Крищенко А.П. линейная алгебра.- М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2006. — 335 c.3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2005. — 383 с.4.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.-431c.Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ, том 1.М.: Издательство физико-математической литературы, 2003. – 288 с.Основные типы задач курса «Алгебра и геометрия»(2 семестр)6Для успешного усвоения данного курса рекомендуется прорешать всезадания, представленные ниже. Задачи, идентичные этим задачам, составляют основу контрольной работы и вариантов билетов. Данные задачи составляют содержание типового расчета.Задачи по теме «Комплексные числа»Задача 1. Даны два числа z1 и z2 в алгебраической форме.

Найти:1а)1 + 2 ;б)1 − 2 ;в)1 · 2 ;г).2№ Варианта123456z1 и z2№ Варианта1 = 1 − 22 = 2 + 31 = −4 − 2 = 3 + 21 = 15 − 32 = −1 + 51 = 2 + 52 = −1 − 41 = −2 + 32 = 3 + 58910111213z1   2  2i1 = 3 − 92 = −2 + 1 = −7 + 22 = 8 + 1 = 5 − 72 = 1 + 131 = −11 − 22 = 3 + 1 = 4 − 82 = −6 + 3z1   3  7iz 2  8  4iz 2  5  6i7z1 и z214z1  8  2iz 1   12  iz 2  3  6iz 2  5  6iЗадача 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа z. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной формах.№Вариантаzz№Вариантаzz1а) z= 4 − 4б) = 28а) = −√3 + б) = −72а) = 2 − 2√3б) = −49а) = −6 + 6б) = −23а) = −1 + б) = −310а) = 2√3 + 2б) = 4а) = −3 + 3√3б) = 511а) z= −2 − 2б) = 975а) = 5√3 − 5б) = 76a)z  2  2ib)z7a ) z   12  12 ib)z12а) = −√3 −   12 i13a)z 86 i14a)z  2  2 23  2i3iб) = −5b)z  4ib)z  30 iЗадача 3.

Выполнить действия с комплексными числами. Ответ представить в алгебраической форме.№ варианта2212345678910(64 + 64√3)=25422(64√2 + 64√2)=28412(−32√2 − 32√2)=27212(−2 − 2√3)=22415(−8√2 + 8√2)=26022(−32 − 32√3)=213218(4√2 + 4√2)=25419(256 − 256√3)=217111(256√2 − 256√2)=29918(−2 − 2√3)=236818(−128√2 − 128√2)=24412(256 + 256√3)=210810(256√2 + 256√2)=29017(−128 + 128√3)=213611121314Задача 4. Решить уравнение. Изобразить корни уравнения на комплексной плоскости.№ Варианта№ Варианта1 3 + 8 = 08 4 + 16 = 02 4 − 81 = 09 3 + 128 = 03 3 − 64 = 010 4 − 256 = 04 6 − 64 = 0113 − = 05 3 + 27 = 0126 + 1 = 0z6z7z4 16 i  0134 i  014z3 27 i  04 81  09Задача 5.  Найти все корни уравнения и изобразить их на комплексной плоскости.

(Задача не является обязательной, включается в типовой расчет по указанию преподавателя).№ варианта1 4 − 2 2 + 4 = 02 6 − 2 3 + 2 = 03 4 − 2√3 2 + 4 = 04 6 + 2 3 + 4 = 05 4 + 2 2 + 2 = 06 6 + 2√3 3 + 4 = 07 4 − 4 2 + 16 = 0891011121314 6 + 4 3 + 16 = 0 4 − 4 2 + 8 = 0 6 − 4√3 3 + 16 = 0 4 + 4 2 + 8 = 0 6 − 6 3 + 36 = 0 4 + 6 2 + 18 = 0 4 + 4√3 2 + 16 = 0Задача 6.

 Разложить многочлен на линейные множители.(Задача не является обязательной, включается в типовой расчет по указаниюпреподавателя).№ варианта1() = 3 − 4 2 + 14 − 202() = 3 − 5 2 + 9 − 53() = 3 + 3 2 + 4 + 12104() = 3 − 3 2 + 4 + 85() = 3 + 13 + 346() = 3 − 7 2 + 15 − 97() = 3 − 2 2 + − 28() = 3 − 5 2 + 12 − 89() = 3 + 2 + 4 + 3010() = 3 − 3 2 + + 511() = 3 − 2 2 + 5 + 2612() = 3 − 9 2 + 28 − 3013() = 3 − 4 2 + 6 − 414() = 3 − 2 + 9 − 9Задачи по теме «Линейные пространства»Задача 7. Векторыческом базисеi, j, ka, b, c, dпространствазуют базис пространстваV3заданы своими координатами в канониV3.

Показать, что векторы. Найти разложение вектораda, b, cобра-по этому ба-зису. Сделать проверку.№вариантаabcd1(1,2,3)(-2,0,1)(-3,2,0)(-2,0,6)2(-1,2,3)(-2,0,1)(-3,2,0)(-4,0,6)113(1,2,3)(2,0,1)(-3,2,0)(2,0,6)4(2,1,3)(2,0,1)(-3,2,0)(-2,2,3)5(3,-2,4)(0,-3,5)(7,1,0)(1,-1,2)6(2,1,3)(1,0,-2)(-3,2,0)(7,0,6)7(4,-5,7)(1,0,-2)(2,-1,0)(-5,1,1)8(2,1,3)(1,0,-2)(1,2,-3)(3,4,-8)9(-3,1,0)(4,3,-1)(1,1,0)(-9,4,1)10(2,1,3)(1,0,-2)(-1,0,3)(9,2,-5)11(2,1,-1)(1,0,-2)(-1,2,3)(9,-7,-19)12(2,1,3)(1,0,-2)(-1,2,3)(3,-2,-7)13(1,2,3)(2,0,1)(-3,2,0)(-11,10,5)14(1,2,3)(-2,0,1)(-3,2,0)(-4,-8,-7)Задача 8. Является ли множество L  {( x 1 , x 2 , x 3 )} векторов заданного вида линейным подпространством в R ? Если да, то найти базис иразмерность этого подпространства R .

Дополнить базис подпространстваL  {( x 1 , x 2 , x 3 )} до базиса всего пространства.33№ варианта12L  {( x 1 , xа)( a  b , a  2 b , a  3b )б)( a  b , a  2 b , a  3 )а)( 3 a  b ,3  2 b , a  2 b )б)( 3 a  b ,3 a  2 b , a  2 b )2, x 3 )}1234567891011121314а)( 2 a  2 , 3 a  2 b ,2 a  b )б)( 2 a  2 b , 3 a  2 b ,2 a  b )а)( 2 a  b , a , a  3b )б)( 2 a  b , a , 1  3b )а)(  3  2 b , a  2 b , a  3b )б)(  3 a  2 b , a  2 b , a  3b )а)( a  b , 7 b , 2 a  3b )б)( a  b , 7 b , 2 a  3 )а)(3 a  2 b , a  b ,2 a  4 b )б)(3 a  2 b , a  b ,2 a  4 )а)(  a  1, 3 a  b ,2 a  b )б)(  a  b , 3 a  b ,2 a  b )а)( 2 a ,3 b  1,  b )б)( 2 a ,3 b  a ,  b )а)(  2 a  b ,2 a , a  3b )б)(  2 a  b ,2 a  1, a  3 b )а)(  3 a  3b , 3 a  2 , a  b )б)(  3 a  3b , 3 a  2 b , a  b )а)(3 a  b , a  3b , a  2 b )б)( 3 a  1, a  3 b , a  2 b )а)( 2 a  3b , 2 a  b , 1  3b )б)( 2 a  3b , 2 a  b , a  3b )а)(3 a  3b , b , 2 a  5 b )б)(3 a  3b , b , 2 a  5 )13Задачи по теме «Линейные операторы»2Задача 9.

Операторы Aˆ и ̂ действуют в пространстве R .а). Проверить линейность заданных операторов.b). Написать матрицы линейных операторов Aˆ и ̂ в каноническом2базисе пространства R .c). Найти образ вектора ⃗.d). Найти собственные значения и собственные векторы оператора№варианта̂⃗̂⃗Aˆ⃗1( x1  6 x 2 , x1  2 x 2 )( x1  x 2 , 2 x1  2 x 2 )(1, 2)2( 4 x1  2 x 2 ,2 x1  x 2 )(3 x1  x 2 ,2 x1  2 x 2 )(-1, 1)3( 2 x1  x 2 , x1  2 x 2 )( 2 x1  x 2 , 2 x1  x 2 )(0, 2)4(  2 x1  6 x 2 , x1  3 x 2 )( 2 x1  6 x 2 ,2 x1  3 x 2 )(-2, 1)5(  x1  2 x 2 , 2 x1  3 x 2 )(  4 x1  6 x 2 ,2 x1  3 x 2 )(1, 3)6( x1  3 x 2 , 2 x1  6 x 2 )(  5 x 2 , 2 x1  3 x 2 )(-1, 0)7(3 x1  5 x 2 , x1  x 2 )(3 x1  x 2 , 3 x1  x 2 )(3, 2)8( 4 x1  2 x 2 ,2 x1  x 2 )(  3 x1  4 x 2 ,2 x1  x 2 )(1, 4)9( 2 x1  3 x 2 , x 2 )( 2 x1  x 2 , 4 x1  2 x 2 )(-2, 2)10(  2 x1  x 2 ,4 x1  2 x 2 )(  2 x1  3 x 2 ,4 x1  3 x 2 )(0, -2)11(  x1  x 2 ,4 x1  2 x 2 )(2 x1  3 x(1, 2)12(  6 x1  x 2 , x1  2 x 2 )(  5 x1  x 2 ,4 x1  9 x 2 )(-1, 5)13( x1  4 x 2 , x1  5 x 2 )(  5 x1  x 2 , x1  6 x 2 )(6, -2)14(  x 1  5 x 2 , 4 x 1  12 x 2 )( x1  7 x 2 , x1  9 x 2 )(-2, 2)2,4 x1  2 x2)14Задача 10.