proj (Метод проекционных операторов и построение функции Грина волнового уравнения)

МЕТОД ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВИ ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНАВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯА. С. Вшивцев, Д. В. Перегудов, А. В. ТатаринцевАннотация. Для упругой среды с произвольным типом анизотропии описана явноковариантная процедура построения динамической и статической функций Грина,основанная на технике проекционных операторов1. ВведениеСостояние сплошной среды будем описывать вектром смещения ui (t, x). Тогдав линейном приближении уравнение движения сплошной среды имеет вид:Lik uk = 0,(1)Lik = δik∂2− cijkl ∇j ∇l .∂t2Упругие свойства среды представлены в уравнении (1) тензором 4-го ранга cijkl —так называемым тензором Гука.

Он обладает свойствами симметрииcijkl = cjikl = cklij(2)и свойством строгой положительной определенности квадратичной формы упругого потенциала:(3)W = 12 cijkl εij εkl > 0,εij = 12 (∇i uj + ∇j ui ) = 0.Уравнение для вектора смещения может быть получено вариационными методами из функционала действия:(4)S=1 ∂ui ∂ui−W .dt d x2 ∂t ∂t3Это возможно благодаря свойствам симметрии тензора Гука.Авторы выражают признательность Международному научному фонду Сороса за частичнуюфинансовую поддержку, оказанную при выполнении данной работы.1Typeset by AMS-TEX2А. С.

ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВРешение уравнения (1) для бесконечной среды ищется в виде суперпозиции плоских волн:(5)ui (t, x) = Ui e−iωt+ikx ,при этом вектор поляризации Ui , частота ω и волновой вектор k оказываютсясвязанными уравнением:(6)(Γik − ξδik )Uk = 0.Здесь Γik = cijkl nj nl — тензор Грина—Кристоффеля, n = k/k — единичный вектор волновой нормали, а ξ = ω 2/k 2 = v 2 — квадрат скорости волны. Таким образом, мы пришли к спектральной задаче для матрицы Γ̂.

Установим некоторые еесвойства. Матрица Γ̂ является вещественной симметричной строго положительноопределенной матрицей. Все эти свойства немедленно следуют из свойств тензораГука. Немного труднее увидеть, что матрица Γ̂ не может быть кратна единичной. Действительно, если бы это было так, то для двух ортогональных друг другуединичных векторов a и b выполнялось бы равенство:δik = cijkl (aj + bj )(al + bl ) = 2δik + cijkl aj bl + cijkl al bj ,домножая которое на ai ak , получим противоречие 1 = 2.Нетривиальные решения Ui уравнения (6) существуют для значений ξ, являющихся корнями характеристического уравнения(7)χ(ξ) = Det(Γ̂ − ξ) = 0.Этим определяются скорости волн. Условие строгой положительности матрицы Γ̂гарантирует, что все корни характеристического уравнения строго положительныи скорости волн определены корректно.

Либо все три скорости различны, либо двеиз них совпадают (три же совпадать не могут). Поскольку матрица Γ̂ являетсяк тому же вещественной симметричной, соответствующие собственные векторы(векторы поляризации волн) вне зависимости от возможного вырождения скоростей могут быть выбраны вещественными и составляют ортонормированный базис. Для каждого значения k существует три плоско (раз их векторы поляризациивещественны) поляризованных волны со взаимно перпендикулярными поляризациями [1,2].Функция Грина уравнения (1) определяется как решение соответствующего уравнения с δ-образной правой частью(8)Lik Gkm (t, x) = δim δ(t)δ(x).Выполняя преобразование Фурье, найдем для функции Грина в импульсном представлении Ĝ(ω, k) уравнение:(9)k 2 (Γ̂ − ξ)Ĝ = 1.МЕТОД ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ .

. .3Формальное решение уравнения (9) может быть записано в виде:(10)Ĝ = k −2 (Γ̂ − ξ)−1 .Мы говорим формальное, потому что, если ξ совпадает с одним из корней характеристического уравнения (7), матрица Γ̂ − ξ необратима. Таким образом, каждомутипу волн соответствует полюс в импульсном представлении функции Грина, инужно еще доопределить правило обхода этих полюсов.Нашей основной задачей будет получить удобное явное выражение для функцииГрина уравнения (1) в импульсном представлении.2. Исследование характеристического уравненияХарактеристический многочлен χ(ξ), определяемый формулой (7), имеет вид:(11)χ(ξ) = −ξ 3 + aξ 2 − bξ + c.Как известно, характеристический многочлен инвариантен относительно выборабазиса, поэтому его коэффициенты могут быть выражены через Γ̂ с помощью одних лишь инвариантных операций.

В явном виде это можно сделать, используяравенстваDet  = 16 εabc εijk Aai Abj Ack ,δai δaj δakεabc εijk =  δbi δbj δbk  .δci δcj δckДля коэффициентлв a, b и c получаются формулыa = Sp Γ̂, b = 12 (Sp Γ̂)2 − Sp Γ̂2 ,(12)c = 16 (Sp Γ̂)3 + 13 Sp Γ̂3 − 12 Sp Γ̂2 Sp Γ̂.Если бы матрица Γ̂ была бесследовой (Sp Γ̂ = 0), то предыдущие формулы сильно бы упростились. Очевидно, мы всегда можем сделать матрицу Γ̂ бесследовой,вычтя из нее 13 Sp Γ̂. Введем специальное обозначение(13)Γ̂ =13Sp Γ̂.Тогда характеристическое уравнение для матрицы Γ̂ − Γ̂ будет иметь вид(14)η 3 − P η − Q = 0,где(15)P = 32 (Γ̂ − Γ̂)2 ,Q = (Γ̂ − Γ̂)3 ,η = ξ − Γ̂.4А. С.

ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВВвиду уже отмеченных свойств матрицы Γ̂ уравнение (14) либо имеет три различных вещественных корня, либо два из них совпадают; в любом случае соответствующие значения ξ строго положительны. Мы можем явно выписать собственныечисла по формуле Кардано 3/2Pcos(ϕ/3 + 2πa/3), a = 1, 2, 3ηa = 23 −1(16)3/2Pcos ϕ = Q 2.3Другой подход к формулам (12) заключается в следующем. В своих главныхосях матрица Γ̂ имеет видξ1.Γ̂ = ξ2ξ3Очевидно, чтоSp Γ̂ = ξ1 + ξ2 + ξ3 ,Sp Γ̂2 = ξ12 + ξ22 + ξ32 ,(17)Sp Γ̂3 = ξ13 + ξ23 + ξ33 .Характеристический многочлен имеет видχ(ξ) = (ξ1 − ξ)(ξ2 − ξ)(ξ3 − ξ),из чего следует(18)a = ξ1 + ξ2 + ξ3 ,b = ξ1 ξ2 + ξ2 ξ3 + ξ3 ξ1 ,c = ξ1 ξ2 ξ3 .Исключая из (17) и (18) собственные числа ξ1 , ξ2 , ξ3 , придем к формулам (12). Этотспособ на первый взгляд хуже, поскольку мы предполагали возможность приведения матрицы к главным осям, однако он немедленно обобщается и на случай, когдавозможно приведение лишь к жордановой форме.3.

Построение проекторов для симметричной матрицыОпишем общую технику построения функции от симметричной матрицы при помощи проекционных операторов. Пусть Â — произвольная квадратная вещественная симметричная матрица n × n. Покажем, что ее минимальный аннулирующиймногочлен не имеет кратных корней.

Пусть ξ1 . . . ξk — попарно различные корнихарактеристического уравнения для Â (возможно, k < n). Образуем многочлен(19)ϕ(ξ) =ki=1(ξ − ξi ).МЕТОД ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ . . .5Он является аннулирующим многочленом для Â, то естьϕ(Â) = 0.Действительно, нам нужно показать, что для любого вектора x выполняется равенство(20)ϕ(Â)x =k(Â − ξi )x = 0.i=1Поскольку любой вектор может быть разложен по собственным векторам вещественной симметричной матрицы, достаточно доказать это для собственных векторов Â. Для них же утверждение очевидно, так как одна из скобок в (20) обращается в нуль.Введем обозначение ϕi для минимального аннулирующего многочлена, из которого вычеркнут множитель (ξ − ξi ):ϕ(ξ) = ϕi (ξ)(ξ − ξi ),ϕi (ξi ). = 0Рассмотрим матрицыΠ̂i = ϕi (Â)/ϕi (ξi ).Легко видеть, что они являются проекционными операторами на подпространствасобственных векторов с собственными значениями ξi . В самом деле, если вектор xявляется собственным вектором Â с собственным значением ξl , то, очевидно, Π̂l x =x.

С другой стороны, ( − ξm )x = (ξl − ξm )x, что пропорционально вектору x иотлично от нуля, если m = l. Поэтому для таких mΠ̂m x = Π̂m − ξmϕm (Â)( − ξm )x = 0.x=ξl − ξmϕm (ξm )(ξl − ξm )Нам удобно будет записать свойства проекторов в формеΠ̂i Π̂k = δik Π̂i , =Π̂i = 1,iξi Π̂i .iПроизвольная функция матрицы  записывается в видеf (Â) =if (ξi )Π̂i .6А. С. ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В.

ТАТАРИНЦЕВ4. Функция Грина в импульсном представленииМы в состоянии теперь записать решение уравнения (9)Ĝ(ω, k) =ik2 ξΠ̂i.2i−ωСумма берется по всем различным собственным значениям матрицы Γ̂. Каждоеслагаемое как функция ω имеет лишь пару полюсов и описывает распростанениеволны заданного типа. Приведем явные выражения проекторов для случая трехразличных корнейΠ̂1 =(Γ̂ − ω22 )(Γ̂ − ω32 ),(ω12 − ω22 )(ω12 − ω32 )Π̂3 =Π̂2 =(Γ̂ − ω12 )(Γ̂ − ω32 ),(ω22 − ω12 )(ω22 − ω32 )(Γ̂ − ω12 )(Γ̂ − ω22 ).(ω32 − ω12 )(ω32 − ω22 )и двух совпадающих корней характеристического уравнения для Γ̂Π̂1 =(Γ̂ − ω22 ),(ω12 − ω22 )Π̂2 =(Γ̂ − ω12 ).(ω22 − ω12 )5.

Изотропная средаИзотропная среда характеризуется тем, что ее упругие свойства одинаковы повсем направлениям. Тензор Гука изотропной среды строится из δ-символов и сучетом свойств симметрии имеет вид:cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).Тензор Грина-КристоффеляΓik = µδik + (λ + µ)ni nkимеет три собственных значения ξ1 = λ + 2µ, ξ2 = ξ3 = µ, два из которых совпадают. Проекторы описываются выражениями:(Π1 )ik = ni nk ,(Π2 )ik = δik − ni nk ,а функция Грина будет иметь хорошо известный вид [1,2]:Gik (ω, k) =ni nkδik − ni nk+.22(λ + 2µ)k − ωµk 2 − ω 2Первое слагаемое соответствует продольной волне, второе — поперечной.МЕТОД ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ . . .76. Поперечно-изотропная средаОдним из наиболее простых, но важным примером анизотропной среды являетсяпоперечно-изотропная среда.