~16 (Выборочные ответы к государственному экзамену факультета ВМС специальности 2201)

Билет №9 вопрос №1

Представление информации в форме с фиксированной и плавающей запятой. Прямая, обратная и дополнительная форма представления двоичных чисел.

Разряд двоичного числа представляется в ЭВМ некоторым техническим устройством, например триггером, двум различным состояниям которого приписывают значения 0 или 1. Набор соответствующего количества таких устройств служит для представления многоразрядного двоичного числа.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой фиксируется в определенном месте относительно разрядов числа. Обычно подразумевается, что запятая находится или перед старшим разрядом, или после младшего. В первом случае могут быть представлены числа, которые по модулю меньше 1, во втором – только целые числа.

0 1 2 3 4 5 6 ….. 31 - представление двоичных чисел с фиксированной запятой в виде 32 разрядных слов для случая закрепления запятой перед старшим разрядом.

0 1 2 3 4 5 6 ….. 31 - представление двоичных чисел с фиксированной запятой в виде 32 разрядных слов для случая закрепления запятой после младшего разряда.

Для кодирования знака числа используется «знаковый» разряд. 0 это +, 1 это -. Наибольшее положительное число, представимое в первой разрядной сетке, равно 0,1..1 = 1-2^-31 , а наименьшее число 0,00…01 = 2^-31 таким образом в разрядной сетке могут быть представлены числа в диапазоне от –(1-2^-31) до -2^-31 и от 2^-31 до (1-2^-31). Диапазон чисел, для второго случая:

1 х 2³¹-1. При выполнении на машине вычислений необходимо чтобы все исходные и получающиеся в процессе вычислений данные не выходили за диапазон чисел, представимых в разрядной сетке. Для этого в программировании задачи данные берутся с соответствующими масштабными коэффициентами. Итог: Использование представления с фиксированной точкой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но создает трудности при программировании, в машинах, предназначенных для решения широкого круга вычислительных задач, основным является представление с плавающей запятой, не требующее масштабирования данных, однако в таких машинах наряду с этой формой представления используется также и представление с фиксированной точкой для представления целых двоичных чисел и операций над ними, в частности операции над кодами адресов.

Представление числа с плавающей запятой в общем виде имеет вид:

X= s^pq ; q  1 где q мантисса числа Х, p – порядок, s – основание характеристики.

Обычно число s совпадает с основанием мантиссы q. Мантисса q – правильная дробь. Порядок p, который может быть положительным или отрицательным челым числом, определяет положение запятой в числе Х. Для двоичных чисел х = 2^pq; q  1. Рассмотрим пример в котором слова имеют доины 32 двоичных разряда. Пусть число Х =2^pq, изображается в машине двоичным словом а₀в₀в₁ … в₆а₁а₂…. А₂₄ которому соответствует следующий формат данных :

Разряды в_0..в₆ используются для представления порядка при этом разряд в₀ изображает знак порядка, а разряды в₁.. в₆ – модуль порядка, остальные разряды а₀ .. а₂₄ отводятся под изображение мантиссы, причем а₀ – знак мантиссы а₁.. а₂₄ – модуль мантиссы. Двоичное число х= 2^pq, называется нормализованным, если мантисса Q удовлетворяет следующему условию 1  q  ½, т.е. двоичное число нормализовано если в старшем разряде мантиссы стоит 1. Под порядок отведено со знаком 7 разрядов то порядок может быть от –63 до +63 соответственно. Наибольшее и наименьшее нормализованное положительные числа в этой разрядной сетке соответственно равны: 2⁶³*0,111 … 1 = 263(1-2^-24) и 2^-63*0,1000..0=2^-64. Следовательно с учетом знака q в этой разрядной сетке можно представить числа, лежащие в диапазоне от –2⁶³(1-2²⁴) до –2^-64 и от +2^-64 до +2⁶³(1-2^-24), что значительно превышает диапазон чисел с фиксированной точкой, представимых в том же 32 х разрядном слове. При фиксированном количестве разрядов мантиссы любая величина, представляется в машине с наибольшей возможной точностью нормализованным числом. Если в процессе вычислений получается ненормализованное число, то машина с плавающей запятой автоматически нормализует его. Пусть r старших разрядов мантиссы равно 0. Тогда, нормализация заключатся в сдвиге мантиссы на r разрядов влево и уменьшении порядка на r единиц. При этом в младшие r разрядов мантиссы записывается 0. В последних моделях ЭВМ получило распространение представление чисел с плавающей запятой в системах счисления с основанием, равным целой степени числа 2 (S=2^w), х = s^pq(1>q1/s). При этом порядок представляется двоичным целым числом, а мантисса q – числом, в котором группы по w двоичных разрядов изображают цифры мантиссы с основанием системы счисления s=2^w. Использование для чисел с плавающей запятой недвоичного основания несколько уменьшает точность вычислений (при заданном количестве разрядом мантиссы), но позволяет увеличить диапазон представимых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности нормализации, за счет того, что сдвиг может производиться на несколько разрядов сразу. В ЕС ЭВМ числа с плавающей запятой представляются в шестнадцатеричной системе счисления: х=16^pq (1>q1/16) .

Модуль порядка p изображается целым шестиразрядным двоичным числом,. А мантисса q рассматривается как число, составленное из шестнадцатеричных цифр в виде:

6

q= Г_j 16^-j (Г_j = 0,1,2 …, F)

j=1

В случае с шестнадцатиричными числами с плавающей запятой число Х считается нормализованным, если старшая шестнадцатеричная цифра Г₁ отлична от 0. В нормализованном числе три старшие двоичные цифры могут равняться 0. Диапазон представления нормализованных чисел: -16⁶³(1-16^-6) до –16^-64 и от +16^-64 до 16⁶³(1-16^-6). Для упрощения операций над порядками их сводят к действиям над целыми положительными числами, применяя представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком (ЕС ЭВМ). В случае чисел со смещенным порядком при записи числа в память к его порядку p прибавляется целое число – смещение N=2^k, где k – число двоичных разрядов, используемых для модуля порядка. Смещенный порядок p_см=p + N всегда положителен. Для его представления нужно такое же число разрядов как для p со знаком.

Если семи десятичных разрядов не хватает то в ЕС ЭВМ введен формат двойной длины, занимающий два машинных слова (двойная точность), не меняется количество разрядов для изображения порядка, и, следовательно, сохраняется диапазон представления чисел, а длина мантиссы увеличивается до 14 шестнадцатеричных разрядов.

В ЭВМ с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Например, упрощается определение знака результата операции, вычитание есть сложение кодов, облегчено определение переполнения разрядной сетки. Положительные числа представляются в прямом коде. Прямой код G_пр двоичной дроби с (n-1) – разрядной мантиссой G=0,к_1,к_{2 ….} к _n-1 определяется как G_пр = Gкогда G0 и 1+Gкогда G  0 Прямой код целого n – разрядного двоичного числа G = к_n-2,k_n-3, …k₁,k₀ имеет вид G_пр=Gпри G0 и 2^n-1+G при G0 Прямой код числа со знаком можно рассматривать как двоичное число без знака , которое определяется этими соотношениями. Операция вычитания (алгебраического сложения) сводится к операции простого арифметического сложения при помощи обратного и дополнительного кодов, используемых для представления отрицательных чисел в машине. Что бы представить двоичное отрицательное число в обратном коде нужно в знаковый разряд поставить 1, а во всех других разрядах заменить 1 нулями, а 0 – единицами. При этом отрицательная двоичная дробь G^-= -0,k₁,k₂, …, k_n-1в обратном коде примет вид

G-_обр= 1,r_1,r₂, …,r_n-1 а отрицательное двоичное число G= - k_n-2,k_n-3, …,k₁,k₀ соответственно G-_обр= 1,r_n-2,r_n-3, …,r₁,r₀ где r_i=0 если k_i=1 и наоборот. При представлении отрицательного двоичного числа в дополнительном коде ставят 1 в разряд знака, а цифровую часть числа заменяют дополнением модуля числа до 2 или соответственно 2ⁿ, для дробей и целых чисел. Дополнительный код отрицательного числа G- определяется выражением G-_доп=2- G-, если G- - двоичная дробь, и G-_доп = 2ⁿ - G- если G- - целое двоичное число. Таким образом, дополнительный код числа может быть получен из обратного путем прибавления 1 к младшему разряду обратного кода.