Шпора (Шпоры (в ворде))

1. Кручение упругого цилиндрического стержня кругового поперечного сечения. Вид деформации, при кот. внутр. усилия в попереч. сеч. приводятся только к крутящ. моменту. Гипотезы: 1. Поперечные сечения остаются плоскими. 2. расстояния между ними не меняются. 3. радиусы не искривляются. Деформац. круч. соотв. напряженному состоянию чистого сдвига.

2. Касательные напряжения, угол закручивания. Момент Mz вызывает касат. напряж. . M_z = ∫∫_FdF,  - радиус до участка сечения. Вывод ф-лы для : Рисунок: кусок цилиндра длиной dz закрепленный в стене, под моментом М, основание в стене – центр О, радиус, на нем точка А. Подвешенное основание с центр. О₁, от него 2 радиуса, на одном точка А₁ (как если бы без М), на другом точка А₁', все точки А на расстоянии  от центра. Угол закручивания d, угол  между прямыми АА₁ и АА₁'.  = A₁A₁' / AA₁ = d / dz =  (d / dz).  = d / dz – относительный угол закручивания.  = . Будем предполагать, что справедлив закон Гука:  = G, G – модуль сдвига. Мz = ∫∫_FG²dF = G∫∫_F²dF = G  Jp. ∫∫_F²dF = J_p – полярный момент инерции [м⁴].  = Mz / GJp.  = G = (Mz / Jp). Правило знаков: смотри на торец, если Mz против час. стрелки, то Mz > 0. Угол при кручении: d = dz = (Mz / GJ_p)dz.  = ∫₀^l(Mz(z) / GJ_p(z))dz.

3. Расчеты на прочность и жесткость. Для кругового поперечного сечения Jp = d⁴ / 32. _max = (M_z / J_p)_max. _max = d / 2. W_п = J_p / _max = d³ / 16. W_п = d³ / 16 – полярный момент сопротивления. _max = M_z / W_п. _max  []. [] = (0.5 … 0.6)[]. Для кольцевого сечения Jp = (d⁴ / 32)(1 – c⁴), c = do/d => Wp = (d³ / 16)(1 – c⁴). do – диаметр отверстия. Кроме расчета на прочность надо произвести расчет на жесткость.  = Mz / GJp  []. Как правило [] = (0,2 … 0,3)град / метр. Внимание!  по ф-ле в рад / м.

4. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении. Будем рассм. квазистатич. деформацию кручения, так что А = U. A = ½ M_z. Пусть Mz – const, GJ_p – const, тогда  = M_z l / G Jp, A = ½ M_zM_zl / G J_p = = ½ Mz² l / G J_p; A = ½ Mz² / G J_p = U; в общем случае: U = ½ ∫₀^l (M_z²(z) dz / G Jp(z) ).

5. Расчет цилиндрических витых пружин растяжения (сжатия) на прочность. n – число витков, d – диаметр проволоки, D – диаметр пружины,  - угол наклона витков в проекции. Предположим: d / D << 1,  - мал (10 … 12), сила P приложена центрально. Qy, Mz – материал работает на кручение и на изгиб. Mz = ½ PD. _max = Qy / F + Mz / Wp = 4P / d² + ½ PD16 / d³ = 8PD / d³ + 4P / d² = (8PD / d³)(1 + d / 2D). Итак: _max = (8PD / d³)(1 + d / 2D)  8PD / d³. Нарисуй эпюру Qy и  от Mz. Наиболее напряженная точка нах. у внутренн. пов-ти пружины. Расчет на прочность: _max = 8PD / d³  [], [] = (0.5 … 0.6)[].

6. Формула осадки пружины -  - на сколько укоротилась пружина [м]. U = ½ ∫₀^l (M_z²dz / G Jp) = = ( ½ )( Mz² / G J_p ) ∫₀^ldz. ∫₀^ldz.= Dn. U = 4P²D³n / Gd⁴. A = ½ P. A = U =>  = 8PD³n / Gd⁴. c – жесткость, велич., обрат. осадке (или осевой податл.) при нагруж. пружины единич. силой. с = Gd⁴ / 8D³n при Р = 1.

7. Сочетание изгиба с кручением. Факторы: Мх, Му, Mz. _x = Mx / Wx; _y = My / Wy.  = Mz / Wp. _изг = М_изг / Wx, где М_изг =  (Мх² + Му²). Имеем упрощенное напряж. состояние. _~ = (0, 0, 0; 0, 0, ; 0, , ). Критерии прочности для упр. плоск. напр. сост.: система: _1,3 = /2  ((/2)² + ²); ₂ = 0. Критерий Сен-Венана: _экв = (² + 4²)  []. Губера-Мизеса _экв = ² + 3²)  []. Критерий хрупкого разрушения (критерий Мора): _экв = (1 – m)/2 + ((1 + m)/2)(² + 4²)  [_p]. m = [_p] / [_c], p – растяжение, с – сжатие.

8. Связь между общим коэффициентом запаса прочности и коэффициентом запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям. Для определенности рассмотрим критерий Сен-Венана. Физическое условие прочности: _экв = (² + 4²) = _т. n = _т / _экв; 1/n = _экв/_т = (²/_т² + 4²/т²). n_ = _т/. n_ = _т/. Имеем упощ. плоск. напряж. сост., тогда: _т = _т / 2. 1/n² = 1/n_² + 1/n_²  ф-ла Гафа-Полларда.

9. Расчеты по эквивалентному (приведенному) моменту. Это понятие вводится только для круговых и кольцевых поперечных сечений. Wx = d3 / 32; Wp = 2Wx; Wp = d3 / 16; _изг =  (Мх² + Му²) / Wx.  = Mz / 2Wx. c = do/d. W_x = (d³/32)(1 – c⁴); W_p = (d³/16)(1 – c⁴). Т. к. напряж. сост. упрощ. плоск., то для нахождения суммарн. напряж. необходимо исп. какой-либо критерий. _экв = (² + 4²) = (M_x² + M_y² + M_z²) / / W_x = M_экв^с-в/W_x. _экв = M_экв^с-в/W_x. M_экв^с-в = (М_х² + М_у² + M_z²). Губ.–Мизеса: M_экв^Г.М. = (М_х² + М_у² + ¾ M_z²). Критерий Мора (хрупк. разрушение). MэквМора = ((1 – m)/2)(M_x² + M_y²) + ((1 – m)/2)(M_x² + M_y² + M_z²).

10. Сложное сопротивление. – это возникновение в элементах конструкций комбинации 2-ух или более простейших видов деформации. Например: Мх  0, My  0 – косой изгиб; Nz  0, Мх  0, My  0 – внецентрнное растяжение-сжатие; Мх  0, Mz  0 – сочетание изгиба с кручением. При расчетах пользуются принципом независимости действия сил (принц. суперпозиции). Он не применим, если напряжения, вызванные одной из сил превышают предел пропорциональности пц; деформации не малы, т. е. необх. учитывать вызываемое ими перераспределение внутренних силовых факторов. 11. Косой изгиб. Рис.: срез балки прямоуг. сечения оси коорд: у ­, х ®, z – по оси. Р – сила, раскладывается на Рх и Ру. Угол между Ру и Р = j. Внешние силы должны быть перпенд. оси ОZ и пересекать ее. s = - (Mx / Jx)y – (My / Jy)x (знаки "-" для согласования с правилами знаков для s и Мх). Для нахождения опасн. точек необх. знать положение нейтральной линии. Рис.: тот же, но только плоскость среза, a - угол между осью х и нейтралью nn. (Mx / Jx)y_o + (My / Jy)x_o = 0. tga = ½y_o / x_o½ = ( My / Mx )( Jx / Jy ); tga = tgj ( Jx / Jy ). Тогда наибольшее сжимающее напряжение ½s½ = (Mx/Jx)y₁ + (My/Jy)x₁, где x₁, y₁ – коорд. опасной точки, а наиб. растяг. напряж. ½s½ = (Mx/Jx)y₂ + (My/Jy)x₂, где x₂, y₂ – коорд. другой опасной точки. Для поперечных сечений с выступающими углами, для котор. обе оси инерции явл. осями симметрии ½maxs½= ± ( Mx / Wx ) ± ( My / Wy ). Знаки комбинируются по смыслу.

12. Проверка прочности при косом изгибе. Если сеч. имеет 2-е оси симметрии и выступающие угловые точки, то наиболее опасной будет та угловая точка, в котор. напряж. склад. по абс. величине. maxs = Mx / Wx + My / Wy £ [s]. Для хрупкого состояния надо 2 расчета – по растян. и по сжатым волокнам.

13. Определение перемещений при косом изгибе. Нагрузка разлагается по осям, перемещ. находят в отдельности от каждой составляющей, затем складывают: f = Ö ( u² + v² ).

14. Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия). Прогиб должен быть мал, чтобы пренебречь изменением направления действия продольной силы. s_S = s_Nz + s_Mx + s_Mz. sS = Nz/F ± (Mx/Jx)y ± (My/Jy)x. Для симметричного отн. оси ОХ и ОУ сечения _min^maxs = Nz / F ± Mx / Wx ± My / Wy. Ось n-n не проход. через центр тяжести попереч. сечения. Она может проход. даже вне сечения.

15. Внецентренное растяжение (сжатие). Рассмотрим случай, когда растяг. силы прилож. на одной из главных осей инерции. е – эксцентриситет. Nz = P; Mx = - Pe. Рисунок, эпюры. s = Nz / F + (Pe/Jx)y. сли сеч. симметрично, то _min^maxs = Nz / F ± Mx / Wx = Nz / F ± Ре / Wx. Для пространственного случая _min^maxs = Nz / F ± Ре_у / Wx ± Ре_х / Wу, где е_у, е_х – эксцентриситеты по осм у и х соответственно.

16. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. s(t) = s_a sin wt. – вид ф-ии мало влияет на условия разрушения. s(t) = s_m + s_a sin wt – в общем случае. Предел выносливости s_r – значение напряжения, при котор. не происх. усталост. разрушения в течении "базы испытания" – 10⁷ циклов.

17. Типы циклов. Циклы бывают: - ассиметричн. со средним растяг. (сжимающ.) напряжением; - пульсационный (знакопостоянный) со средним растяг. (сжимающ.) напр.; - симметричный. Коэфф. асимметрии цикла: r = s_max / s_min. Самое опасное, когда r = -1.

18. Влияние различных факторов на величину предела выносливости. Кривая Вебера: зависимость s_-1 (N), N – число циклов. Для многих материалов хар-ка полого снижается после … Для детали s_-1д обычно в 2 – 6 раз ¯ чем s_-1 для лаборат. образцов. s_-1д = s_-1 / К, К > 1. При растяж., сжатии или изгибе К = ( К_s / К_ds + 1 / K_Fs - 1 )(1 / K_UK_A ). При кручении K = ( K_t / K_dt + 1 / K_Ft - 1 )( 1 / K_U ). Ks - по таблицам, учитывает концентраторы напряжений. К_s = s_-1 / s_-1К, s_-1К – с таким же конц. напряж., как у детали. К_ds - масштабный фактор. С ростом размеров выносл. ¯ (до 150мм …, после …). K_Fs - учитывает шероховатость поверхн. (концентрат. напряж.). Для увелич. выносл.: - обдувка дробью, лучевые методы, поверхн. зак., хим.

19. Расчеты на прочность при регулярном многоцикловом нагружении. Пусть напряж. сост. – линейное. n_s = s_пред / s_a, - КЗП по напряж. s_пред – пред. разруш. напряж., s_a – макс. ампл. напряж. n_N = N / Nэ – КЗ по долговечности, N – число циклов до разруш., Nэ – рабочее число циклов. Для линейн. напряж. сост. r = -1: s_пред = s_-1д = s_-1 / К, К – суммарный коэфф, все учитыв. (см ­). К зависит от размеров детали, котор. заранее не изв. Расчет а выносливость носит поверочный характер. n_s = s_-1 / Ks_a ³ [n]. Для асимметричного цикла ф-ла Серенсена-Кинасошвили: n_s = s_-1 / (Ks_a + Ys_m), где Y = (2s_-1 - s_о) / s_о – коэфф. влияния асимметрии цикла на предельн. амплит. s_о – коэфф. для пульсационного цикла. При ассим. ц. возм. наступ. пред. сост., связ. с пред. текуч. (???). n_t = s_t / s_max = s_t / (s_m + s_a). n = max{n_s, n_t}.

20. Формула Гафа – Полларда. Рассм. слож. напряж. сост. (плоск.). Рис: квадрат, по противополож. граням s, по всем 4-ем - t. Такой вид при совмест. действ. изгиб. и круч. или растяж. (сжат.) + круч. Пусть t(t) и s(t) меняются синхр. и синфаз. (график 2 sin), тогда справедл. ф-ла: 1/n² = 1/n_s² + 1/n_t² ¬ ф-ла Гафа-Полларда, где n_s = s_-1 / Ks_a, n_t = t_-1 / Kt_a. Должно быть 1,4 £ n £ 1.7. Если не выполн., то расчет повторить.

21. Изгиб тонких пластин. Основные гипотезы. 1. Нормаль, провед. к серединн. пов-ти остается прямой и нормальной к ней и после деформ. 2. О ненадавливаемости слоев (_x >> _z, _y >> _z). 1 + 2 = гипот. о сохран. нормалей – гип. Кирхгоффа – Лява. 3. Материал пластины подч. закону Гука: _x = (1 / )[_x - _y]; _y = (1 / )[_y - _x]; _x = (E /(1 - ²))(_x + _y); _y = (E /(1 - ²))(_y + _x). Пусть нагрузка действ. перпенд. плоскости, т. е. Р = Р(х, у). h – толщина пластины, w – прогиб. 4. w / h << 1. Предельное значение w/h = 3/10, при этом погрешность ~ 5%. При этом можно полагать, что Nx = Ny = 0. Nxy = Nyx = 0.