Все ответыро (Ответы на экзамен), страница 6

Исключим u,v в выражениях моментов инерции:

J_u = ∫v²dF; J_v= ∫u²dF; J_uv= ∫uvdF. Подставив в выражения (1) и (2) получим:

J_u=J_xcos²a – J_xysin 2a + J_y sin² a

J_v=J_xsin²a + J_xysin 2a + J_y cos² a (3)

J_uv=J_xycos2a + sin 2a(J_x-J_y)/2

J_u +J_v=J_x +J_y=∫_F(y²+x²)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от угла а. Заметим, что x²+y²=p². p- расстояние от начала координат до элементарной площадки. Т.о. J_x +J_y=J_p.(4)

J_p=∫_F p²dF –полярный момент, не зависит от поворота х,у

2)Т. Кастелиано.

Частная производная от потенциальной энергии деформаций системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

, где – линейное перемещение точки приложения силы

Для момента: , где – угловое перемещение

Вывод: Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил и закрепленный как показано на рис.

Силе F_n дадим приращение dF_n Тогда потенциальная энергия U получит приращение и примет вид U+ .(5.4)

при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение dPn· dδ_n /2 как величину высшего порядка мало­сти, находим

Билет 23

1)Вывод дифференциальных зависимостей между интенсивностью внешней нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

Пусть стержень закреплён произвольным образом и нагружен распределённой нагрузкой q. Выделим из стержня эл-т длинной dz и в проведённых сечениях приложим моменты М_x и М_x+dM_x, а также поперечные силы Q и Q+dQ. Запишем ур-ие равновесия и ур-ие моментов отн. т. О:

П олучаем

q= - dQ/dz

Q=dM _x /dz

2.Связь между упругими постоянными материалов.

a) Модуль упругости первого рода: – устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями. Измеряется в паскалях.

b) Коэффициент Пуассона: - Характеризует свойства материала. Устанавливает прямую пропорциональность между поперечной и продольной деформациями.

c) Модуль сдвига или модуль упругости второго рода: – закон Гука для сдвига. Измеряется в тех же единицах, что и E. Отражает связь между упругими постоянными.

Билет 24

1. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).

Н а рисунке показана полученная методом теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как мы видим, напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон, в точках А:

τ_А= τ_max=

В точках В:

_в= τ_max, где а - большая, b - малая сторона прямоугольника. Коэффициенты и зависят от отношения сторон Коэффициент β также зависит от этого отношения. Эти данные приводятся в таблицах.

Угловое перемещение:

Обобщённые ф-лы:

Ф-ла для расчёта касательных напряжений: , где

для расчёта углового перемещения:

Для прямоугольника: , –геометрические параметры, зависящие от формы сечения.

Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом:

1. Теорема Кастильяно: Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

, где – линейное перемещение точки приложения силы

Для момента: , где – угловое перемещение

Вывод: Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил и закрепленный как показано на рис.

Силе F_n дадим приращение dF_n Тогда потенциальная энергия U получит приращение и примет вид U+ .(5.4)

при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение dPn· dδ_n /2 как величину высшего порядка мало­сти, находим

Билет 25

1)Связь между характеристиками упругости свойств материала E,G, мю.

1)Касательное напряжение τ связывает угловую деформацию γ соотношением τ=Gγ, где МЫ ЗНАЕМ G = (G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге.,Е — модуль упругости, µ— коэффициент Пуассона).

2)Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса, расчет по допускаемым напряжениям.

Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям при изгибе проводится при условиях:

1. материал работает одинаково на растяжение и сжатие, т.е.

Условие прочности: , где , , где – допускаемое значение предела текучести, - коэф. запаса.

1. если неодинаково, то работают два условия:

, где ,

Если расчёт проектировочный, то из двух коэффициентов выбирется наибольший. В поверочном – наоборот.

В целях безопасной работы напряжения должны быть ниже предельных значений для данного материала. Таким образом при поверочном расчёте (нахожд. Нормативного коэф. запаса):

, где - предельное кас. напряжение материала, n_Т – коэф. запаса,

принимают [n] > n_{Т ,} где [n] – нормативный (предписываемый нормами проектирования конструкций) коэф. запаса.

привести пример

Билет 26

1)Определение напряжений при косом изгибе стержня.

К осым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость нагрузки (силовая линия) изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения стержня X, Y (рис. 7.1, а, б).

Н ормальные напряжения в точках поперечного сечения с текущими координатами х, у определяются алгебраической суммой напряжений, вызываемых изгибающими моментами М_x и М_y:

М аксимальные по величине напряжения растяжения возникают в точке А с координатами X_a, Y_л, а максимальные напряжения сжатия возникают в точке В с координатами X_В, Y_В (рис. 7.1, в): (максимальное напряжение возникает в наиболее удалённых от центра тяжести точках)

2)Метод сечений для определения внутренних силовых факторов. Понятие о напряжении и напряженном состоянии в точке тела.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений. В основе метода сечений лежит условие равновесия: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку F, в пределах которой действует внутреннее усилие R (рис. 1.4, а). Векторная величина

( 1.5) называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обознача­ется через  и называется нормальным напряжением.

Совокупность напряжений, возникающих во всех секущих плоскостях, проходящих через точку наз. напряжённым состоянием.

Билет 27

1)Косой изгиб. Определение напряжений.

Косой изгиб - изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения (рис).

Д ля этого изгибающий момент М раскладывается на составляющие моменты относительно осей x и y

М_х = М sin а; М_у = М cos а.

Правило знаков. Изгибающие моменты в расчетном поперечном сечении считаются положительными, если они вызывают в первом октанте напряжения растяжения.

Нормальные напряжения в точках поперечного сечения с текущими координатами х, у определяются алгебраической суммой напряжений, вызываемых изгибающими моментами М_x и М_y:

Нейтральная линия – геометрич. место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ=0:

или y=kx , где J_x и J_y — моменты инерции поперечного сечения относительно главных, центральных осей инерции сечения X, Y, т. е. изменяются по линейному закону.

При косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента, что показывает угловой коэффициент k: .

2)Чистый сдвиг. Главные напряжения. Закон Гука.

Ч истый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где F — сила, действующая вдоль грани, А — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: ₁= — ₃ = ; ₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

Если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют только нормальные напряжения, то такие напряжения наз-ся главными., площадки на которых они действуют наз-ся главными. Очевидно, что при чистом сдвиге главные напряжения отсутствуют.

Закон Гука при сдвиге:  =  / G, где G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — (постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге),  - угол поворота.

(Е — модуль упругости, — коэффициент Пуассона).