ответы2 (шпоры по экзамену), страница 3

2.

Матрицу А* транспонированную к матрице алгебраических дополнений называют присоединенной. А-1 = А*/detA, A =(1,2/3,4) A*t(4,-3/-2,1), A* (4,-2/-3,1) A-1 = -1/2(4,-2/-3,1) = (-2,1/1.5,-0.5)

Билет 13

1.Общее ур-е плоскости.Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.Вывод формулы для вычисления угла между плоскостями.Вывод ур-я плоскости проходящей через 3 точки. 2.Решение матрич ур-й вида АХ=В с невырожденной А.

Вывод формулы крамера для решения системы линейных ур-й с невырожденной квадратной матрицей.

1.Аx+9By+Cz+D=0, A,B,C – координаты нормального вкт.

Перпендикулярность – норм вкт перпенд, A1A2+B1B2+C1C2 =0, паралельность А1/А2=B1/B2=C1/C2;

Угол между плоскостями cos(fi) = (A1A2 + B1B2+C1C2)/sqr(A1^2+B1^2+C1^2)/ sqr(A2^2+B2^2+C2^2);

Через 3 точки M1M ={x-x1;y-y1;z-z1} M1M2={x2-x1;y2-y1;z2-z1} M1M3 ={x3-x1;y3-y1;z3-z1}, если определитель равен 0 то они компланарны и задают плоскость. Решаем относительно x,y,z.

2.

2 метода, стандартный када находим обратную матрицу и када из (A|B) получаем (E|B1) где B1 решение.

Ax=b,x=A-1b,A-1= (aij), (aij) = Aji/detA,где Aji алгебраическое дополнение. X1 =(A11b1+A21b2 +…+An1bn)/detA где числитель представляет собой разложение по первому столбцу матрицу А у которой вместо первого столбца стоит матрица столбец свободных членов. Xj = ^j/detA, j = 1,n.

Билет 14

1. Док-ать что любое ур-е 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскостьюПонятие нормального вектора плоскости. Вывод формулы для вычисления раст от точки до плоскости.

2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов, строк и столбцов матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости.

1.

M0(x0;y0;z0), M(x,y,z),n{A,B,C};A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-zo)=0, n- нормальный вектор плоскости.

Растояние от тчк до пл. Р=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqr(A^2+B^2+C^2);

2.Столбцы матрицы А называют линейно зависимыми, если существуют числа такие что хотябы один не равен нулю, и при этом лин комбинация столбцов равняеться нулевой матрице столбцов.

Столбцы матрицы А называют лин незав если их линейная комбинация равняеться нулевой матрице столбцу только при всех коэффицентах равных нулю.Для того чтоб столбцы матрицы А были лин зависимыми необх и дост чтобы один из столбцов явл лин комбинацией остальных.

Билет 15

1.Общие ур-я прямой в пространстве. Вывод вкт , канонического и параметрического уравнений прямой в пространстве.

2. Понятие минора матрицы, Базисный минор. Доказательство теоремы о базисном миноре.

1.

Общее – задается как пересечение двух плоскостей. R=r0+ts r,г0-радиус вектор – векторное.(x-x0)/l = (y-y0)/l=(z-z0)/n – каноническое.x=x0+lt;

2.

Минором матрицы А типа mxn порядка к называют определитель составленный из элементов этой матрицы, состоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Минор матрицы А отличный от 0 называется базисным если все миноры более высокого порядка равны 0. Строки и столбцы на которых находиться баз минор тоже наз базисными. Теор. Базисные столбцы(строки) явл. Линейно независимыми, все остальные явл их линейными комбинациями.

Док-во, Опираясь на св-ва опр, не нарушая общности доказательства будем считать что минор М=|a11…a1r/…./ar1…arr| являеться базисным Докажем независимость базисных столбцов от противного, пусть баз столбцы лин зависимы тогда можно утверждать что один из базисных столбцов есть лин комбинация оставшихся, следовательно этот минор равен нулю что противоречит опред баз минора.Докажем что остальные столбцы есть лин комбинация базисных. Добавим еще одну строку и столбец, столбец не базисный а строку любую, этот минор будет равен нулю, разложим его по последней строке и получим линейную зависимость аиж эл-та от остальных и следовательно столбцы будут тоже лин зависимыми

Билет 16

1. Условия паралельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Вывод формулы для вычисления угла между пространственными прямыми. Условие принадлежности двух прямых плоскости. Скркщивающиеся прямые.

2.Доказательство теоремы о базисном миноре. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы и его базисного минора.

1.

Паралельность l1/l2=m1/m2=n1/n2, перпендикулярность l1l2+m1m2+n1n2 = 0, ghzvsvb cos(fi) = (l1l2 + m1m2+n1n2)/sqr(l1^2+m1^2+n1^2)/ sqr(l2^2+m2^2+n2^2);

Они должны пересекаться либо быть паралельными. Недолжны быть скрещивающимися, те смешанное произведение вектора M1M2 (точки на прямых) и направляющих вкт равно 0.

2.

Теор. Базисные столбцы(строки) явл. Линейно независимыми, все остальные явл их линейными комбинациями.

Док-во, Опираясь на св-ва опр, не нарушая общности доказательства будем считать что минор М=|a11…a1r/…./ar1…arr| являеться базисным Докажем независимость базисных столбцов от противного, пусть баз столбцы лин зависимы тогда можно утверждать что один из базисных столбцов есть лин комбинация оставшихся, следовательно этот минор равен нулю что противоречит опред баз минора.Докажем что остальные столбцы есть лин комбинация базисных. Добавим еще одну строку и столбец, столбец не базисный а строку любую, этот минор будет равен нулю, разложим его по последней строке и получим линейную зависимость аиж эл-та от остальных и следовательно столбцы будут тоже лин зависимыми.

Минор М* матрицы А называют окаймляющим для минора М если он получен из последнего путем добавления одной новой строки и одного столбца матрицы, Если для некоторого минора все окаймляющие миноры равны 0 то он является базисным.

Билет 17

1. Условия паралельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Вывод формулы для вычисления угла между пространственой прямой и плоскостью. Условие принадлежности данной прямой плоскости.

2.Ранг и базисный минор матрицы.Доказательство теоремы о базисном миноре

1.

Паралельность Al+Bm+Cn=0, M0 не принадлежит п. Перпендикулярность A/l = B/m=C/n, sin(fi)= |cos(te)| = (Al + Bm+Cn)/sqr(1^2+m^2+n^2)/ sqr(A^2+B^2+C^2); принадлежит если вкт перпендикулярен и точка принадлежит плоскости.

2.

Раногом матрицы А называют число равное порядку базисного минора.бм-минор максимального порядка != 0.1. Ранг матрицы не изменяется при танспонировании и эл-х преобразованиях. Минором матрицы А типа mxn порядка к называют определитель составленный из элементов этой матрицы, состоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Минор матрицы А отличный от 0 называется базисным если все миноры более высокого порядка равны 0. Строки и столбцы на которых находиться баз минор тоже наз базисными. Теор. Базисные столбцы(строки) явл. Линейно независимыми, все остальные явл их линейными комбинациями.

Док-во, Опираясь на св-ва опр, не нарушая общности доказательства будем считать что минор М=|a11…a1r/…./ar1…arr| являеться базисным Докажем независимость базисных столбцов от противного, пусть баз столбцы лин зависимы тогда можно утверждать что один из базисных столбцов есть лин комбинация оставшихся, следовательно этот минор равен нулю что противоречит опред баз минора.Докажем что остальные столбцы есть лин комбинация базисных. Добавим еще одну строку и столбец, столбец не базисный а строку любую, этот минор будет равен нулю, разложим его по последней строке и получим линейную зависимость аиж эл-та от остальных и следовательно столбцы будут тоже лин зависимыми.

Билет 18

1.Вывод формулы для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

2.Однородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.

1.р=|s1s2M1M2|(смешанное произведение)/|s1xs2|

2.

Это когда свободные члены равны 0. Теор. Если x1,…,xk – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ax=0 то любое ее решение можно представить в виде x = c1x1+..+ckxk где с1..ск некоторые постоянные.

Билет 19

1.Определение элипса как геометрического места точек, вывод канонического ур-я элипса.

2. Понятие обратной матрицы, доказательство ее единственности, существования и равенства (А^-1)т=(Ат)^-1

1.

Множество всех точек на плоскости для которых сумма растояний до двух данных точек F1 и F2 называемых фокусами есть заданная постоянная величина 2а.|F1M|+|F2M| = 2a, (x-c)^2+y^2=4a^2-4asqr((x+c)^2+y^2)+(x+c)^2+y^2, a^2-c^2=b^2, x^2/a+y^2/b =1;

2.

Пусть А квадратная матрица порядка н . Квадратную матрицу В тогоже порядка называют обратной к А если АВ=ВА=Е где Е единичная матрица порядка н. Теор. Если квадратная матр А имеет обр матр , то обр матр единственная. Предположим что матр А имеет две обр матр В и В’ тогда согл опр выполнены АВ’=Е и ВА=Е В=ВЕ=В(АВ’)= (ВА)В’ = Е В’ = В’. Т.е они равны. At(A-1)t=E (A-1)t At=E, At(A-1)t=(A-1A)t=Et=E.

Билет 20

1.Определени гиперболы как геометрического места точек.вывод канонического ур-я гиперболы.

2.Понятие совместности СЛАУ.Доказательство критерия совместности СЛАУ.

1.Геоиетрическое место точек плоскости для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек(фокусов) есть величина постоянная называют гиперболой.F1F2=2c,F1M-F2M=2a, x^2/a^2-y^2/b^2=1

2.

Совместной СЛАУ называют если она имеет какие либо решения. Иначе она называеться несовместной.

Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

1 Если Существует решение, то век-ая записьозначает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.

2 Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.

Билет 21

1.Определение параболы как геометрического места точек.Вывод канонического определения параболы.

2.Однородные СЛАУ и их ФСР, Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной квадратной СЛАУ.

1.

Геометрическое место точек равноудаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой(директриссы),d=FM расстояние от точки до дир равно растоянию от точки до фокуса.

D=|x+p/2| FM= sqr((x-p/2)^2+y^2), p – растояние от фокуса до директриссы. Y^2=2px/

2. Однородной СЛАУ наз та у которой все свободные члены равны нулю. ФСР однр СЛАУ наз упорядочееную совокупность (n-r) линнейно-независимых ее решений.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно чтобы ее матрица была вырожденна..Если матрица однородной системы невырождена, то , согласно формулам крамера она будет иметь только нулевое решение, еслиже она будет вырожденна то ее определитель являющийся в квадратной матрице единственным минором максимального порядка равен 0, значит ранг г матрицы системы меньше ее порядка и следовательно меньше количества неизвестных, Поэтому k=n-r>0 и однородная СЛАУ имеет нормальную фундаментальную систему. Из k>0 решений каждое из этих решений являеться не нулевым.

Билет 25

1.Понятие цилиндрических поверхностей и вывод ее уравнения. Каноническое ур-е цилиндрич поверхности 2го порядка.

1.цилиндрическая поверхность получаеться при движении прямой в пространстве, которая остаёться параллельной своему исходному положению. Если на движущейся прямой фиксировать точку то она опишет кривую которая называеться направляющей цил пов.

Цил второго порядка это цилиндрическая поверхность, направляющая которой в плоскости перпендикулярной образующим представляет собой кривую второго порядка. Такоеже как и просто кривые 2-го порядка.

Билет 26

Поверхности вращения, и вывод ее ур-я,каноническое ур-е поверхностей, образованных вращением элипса гиперболы параболы.

Поверхность называеться поверхностью вращения если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой(оси вращения) которые расположены в плоскостях перпендикулярных оси.

Предположим что множество S в плоскости Oxz описываеться ур-м fi(x,z)=0 Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) Она удалена от оси Oz на раст d=sqr(x^2+y^2) если точка М лежит на поверхности вращения, то точчки M1(x1;0;z), M2(x2;0;z) с тойже ординатой z что и М и абциссами x1=d,x2=-d принадлежат множеству S поэтому 0=fi(x1,z)=fi(d,z)=fi(sqr(x^2+y^2),z)

0=fi(x2,z)=fi(-d,z)=fi(-sqr(x^2+y^2),z), fi (+-sqr(x^2+y^2),z)=0;ур-е элипса,начло прямоуг системы координат в центре ось oz с осью вращения а координатную плоскость Oxz с плоскостью элипса. X^2/a^2+z^2/b^2 = 1- уре элипса, если заменить х на (+-sqr (x^2+y^2) то получиться X^2/a^2+y^2/a^2+z^2/b^2 = 1 – элипсоид вращения, X^2/a^2+y^2/a^2-z^2/b^2 = -1 – двуполостной вращения гипербалоид вращения. X^2/a^2+y^2/a^2-z^2/b^2 = 1 – однополостной гипербалоид вращения. 2pz=x^2+y^2.

Билет 27

1.Каноническое ур-е элипсоида. Исследование формы поверхности методом сечения.

X^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1, Для выяснения формы поверхности в пространстве используют метод сечений, он состоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями паралелльными координатным плоскостям.

Билет 28

1.Каноническое ур-е конуса. Исследование формы поверхности методом сечения

X^2/a^2+y^2/b^2=z^2/c^2

Билет 29

1.Каноническое ур-е гиперболоида. Исследование формы поверхности методом сечения.

X^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2 = 1-однополостной

X^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2 = -1 – двуполостной

Билет 30.

1.Каноническое ур-е параболоида. Исследование формы поверхности методом сечения

X^2/a^2+y^2/b^2=2z