ответы2 (531159), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

x_k+2=1, x_k+1= x_k+3=…=x_n=0 Þ x₁=c₂₁…x_k=c_2k

x_n=1, x_k+1= x_k+2=…=x_n-1=0Þ x₁=c_n-k1…x_k=c_n-kk

…

Проверка:

1. , M_n-k¹0 Þ rang(B)=n-k Þ - линейно независима

2. Пусть - решение ЛОС; - решение ЛОС

- решение ЛОС

, т.к. M_k¹0 Þ y_i-d_i = 0, Þ

Следствие: множество решений ЛОС называется общим решением , где a_iÎR, - ФСРЛОС

Нормальная ФСР

Билет 6

1.Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Свойства смешанного произведения Вывод формулы смешанного произведения в ортонормированном базисе.

2. Понятие ранга матрицы. Доказательство критерия Кронекера-Капелли Совместимости СЛАУ.

1.

Смешанным произведением векторов называется число равное (axb)c = |axb||c|cos((axb)^c), Смешанное произведение 3 некомпланарных векторов равно объему паралилепипда образованого этими векторами. Взятого с плюсом если это правая тройка и с минусом если левая.V пирамиды равна 1/6 V паралелипипида.1.(bxa)c=-(axb)c,(bxc)a=(axb)c=a(bxc);2.смеш произв равно 0 титтк векторы компланарны.3. при перестановки местами любых 2 векторов в тройке, произведение меняет ориентацию.Вывод в ортонормированном базисе a(bxc);это 3определитель матрица. Строки координаты.

2.

Раногом матрицы А называют число равное порядку базисного минора.бм-минор максимального порядка != 0.1. Ранг матрицы не изменяется при танспонировании и эл-х преобразованиях

Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

1 Если Существует решение, то век-ая записьозначает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.

2. Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.

Билет 7

1.Определение декартовой прямоугольной системы координат. Задачи о нахождении длины отрезка и делении отрезка в заданном отношении.

2.СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Понятие совместности СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

1.

Декартова система координат на пл-ти задана если задана точка и пара некомпланарных векторов. Д.С.К. называют премоугольной если вкт попарно перпендикулярны.

2.

1. Решением СЛАУ называют совокупность n чисел которые будучи подставленными в ур-я, обращают их в тождество.

2.СЛАУ наз-ся совместной если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае СЛАУ несовместна.

3.Совместную сис-му наз определеенной, если она имееттолько одно решение. В противном случае – неопределенной.

4. Систему наз-ют однородной если все свободные члены равны 0, в противном случае неоднородной.

Составим м-цу из аиж коэф при неиз-ых.А = (а11 а12 ..а1н)/(а21 а22 .. а2н)итд.

- матрица системы. В = (в1/в2/ .../вм) – матрица столбец св-ых членов.

Х = --\-- м-ца ст-ц неизвестных. А*Х = В – мат-ая форма записи СЛАУ.

Аж = ( а1ж/а2ж/../амж), А1х1+А2х2+..+Анхн = В векторная форма записи.

ЛНС. - ЛНС, AÎP_m´n (m – число уравнений, n – число неизвестных); - приведённая однородная система (ПОС)

Свойства решений ЛНС:

- решение ЛНС, - решение ПОС Þ - решение ЛНС

, - решение ЛНС - решение ПОС

Пусть - решение ЛНС, тогда для любого решения ЛНС -: - решение ПОС

Доказательство:

Пусть - решение ЛНС Þ - решение ПОС Þ

Множество всех решений ЛНС называется общим решением

Билет 8.

1.Доказать, что любое уравнение 1ой степени относительно декартовых прямоугольных векторах определяет на плоскости прямую. Понятие нормального вектора прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой «в отрезках».

2.Понятие совместности СЛАУ. Доказательство совместности СЛАУ.

1.

Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

1.Рассмотрим прям Л М0(х0,у0) лежит на Л а вкт н = {a,b} перпендикулярен прямой. М(х,у) принадлежит Л только если вкт М0М перпенд вкт н.запишем условие ортогональности.а(х-х0)+в(у-у0) = 0 или Ах+Ву +С = 0.

2.Доказывается наоборот.

Ах + Ву+С = 0 А и В координаты нормального вкт.

(х-х1)/(х2-х1) = (у-у1)/(у2-у1) – ур-е пр проход через 2 тчк

х/а+у/в = 1 в отрезках. Точки пер с осями координат.

2.

Совместной СЛАУ называют если она имеет какие либо решения. Иначе она называеться несовместной.

Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

1 Если Существует решение, то век-ая записьозначает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.

2 Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.

Билет 9

1.Вывод параметрических уравнений и канонического уравнения прямой на плоскости. Понятие направляющего вектора прямой. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.

2.Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами, операция транспонирования матриц. Доказательство их свойств.

1.

Вкт М0М={x-x0;y-y0}, s = {l;m} x-x0=lt;y-y0=mt; x = x0+lt; y = y0+mt; -параметриеское. (x-x0)/l = (y-y0)/m- каноническое ур-е. Ненулевой вкт параллельный данной прямой называют направляющим.(y-y0)/(x-x0) = tgL

Y=kx+b;

2. Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел. Если число строк равно числу столбцов то матрица наз-тся квадратной., матрица строка, столбец, нулевая. Равенство матриц. Верняя/нижняя треугольная матрица, диагональная,единичная.единичная обозначаеться Е,I.Диаг ^, к линейным операциям относят операции сложения и умножения на число, суммой дву матриц одного размера называют матрицу тогоже размера эл-ты которой равны суммам соответствующих элеметов. Произведением матрицы на число называется матрица тогоже размера элементы которой равны элементам данной умноженным на данное число. Св-ва лин опреаций 1 А+В =В+А, (А+В)+с = А+(В+С), Л(А+В)=ЛА+ ЛВ, (Л+В)А=ЛА+ ЛВ,

1А=А, 0А=А,А+0=А , А+(-А)=0, Матрица Ат называют транспонированой матрица по отношению к А если атиж=ажи, 1 столбец становица 1 строкой.

(А+В)т=Ат+Вт, Атт=А.А-симетричная матрица Ат=А.

Билет 10

1.Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, каноническое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Геометрическое толкование входящих в систему параметров. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями. Вывод формулы для вычисления угла между двумя прямыми.

2.Умножение матриц. Доказательство свойств умножения матриц.

1.

Ах + Ву+С = 0-общее, (x-x0)/l = (y-y0)/m- каноническое ур-е.,y=kx+b-с угловым коэфицентом. х/а+у/в = 1 в отрезках.Вкт М0М={x-x0;y-y0}, s = {l;m} x-x0=lt;y-y0=mt; x = x0+lt; y = y0+mt; -параметриеское. Ах + Ву+С = 0 А и В координаты нормального вкт. (х-х1)/(х2-х1) = (у-у1)/(у2-у1) – ур-е пр проход через 2 тчк. Точки пер с осями координат.паралельность общее- а1/а2=в1/в2. каноническое m1/m2=l1/l2. пепендикулярность a1a2+b1b2=0, угол через скалярное произведени cos(fi)=|n1n2|/|n1||n2|=|a1a2+b1b2|/sqr(a1^2+b1^2)/sqr(a2^2+b2^2); Тг = (k1-k2)/(1+k1k2); это наименьший угол.

2.

Рассмотрим А = (аик)мхл и В = (вкж)лхн Произведением матрицы А на матрицу В называют матрицу С = (сиж)мхн размера мхн эл-ты котрой соот равны. Строка умножаеться на столбец.

AB!=BA,(A+B)C=AC+BC,ABC=A(BC) , (LA)B=L(AB),Amxn0nxk=0mxk,АIn=ImA=A,det(AB)=det(A)det(B);

Билет 11.

1.Нормальное ур-е прямой на плоскости,его получение из общего уравнения.Геометрическое толкование входящих в него параметров Отклонение точки от прямой, выведение формулы для вычисления расстоянияот точки до прямой.

2.Понятие обратной матрицы.Доказательство единственности ОМ.???обратно-матричное произведение 2х невырожденных матриц.

1.

N={cos(fi),sin(fi)}, N per L, M(x,y), OM*N=P(ратояния от О до L),xcos(fi)+ysin(fi)-p=0 – норм ур-е. Чтоб из общего ax+by+c=0 получить норм надо разделить на нормирующий множитель взятый со знаком противоположным с. Sqr(a^2+b^2), 3x-4y+10=0, -3/5x+4/5y-2=0 fi – угол от оси х против часовой, p – расстояние от О до L. M(x,y),b=xcos(fi) +ysin(fi)-p

Надо брать по модулю.для общего ур-я, |Ax+By+C|/sqr(a^2+b^2) M(x,y)

2.

Пусть А квадратная матрица порядка н . Квадратную матрицу В тогоже порядка называют обратной к А если АВ=ВА=Е где Е единичная матрица порядка н. Теор. Если квадратная матр А имеет обр матр , то обр матр единственная. Предположим что матр А имеет две обр матр В и В’ тогда согл опр выполнены АВ’=Е и ВА=Е Используя ассоциативность умножения имеем

В=ВЕ=В(АВ’)= (ВА)В’ = Е В’ = В’. Т.е они равны. ???

Билет 12.

Док-ать что любое ур-е 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскостьюПонятие нормального вектора плоскости. Вывод ур-я плоскости проходящей через 3 точки и ур-е в отрезках.

2.Понятие присоединенной матрицы.критерий существования обратной матрицы и ее связь с присоединенной матрицей.

1.

M0(x0;y0;z0), M(x,y,z),n{A,B,C};A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-zo)=0, n- нормальный вектор плоскости. Через 3 точки M1M ={x-x1;y-y1;z-z1} M1M2={x2-x1;y2-y1;z2-z1} M1M3 ={x3-x1;y3-y1;z3-z1}, если определитель равен 0 то они компланарны и задают плоскость. Решаем относительно x,y,z. В отрезках тоже самое только вкт M1M2 = {-a;b;0} M1M3{-a;0;c} M1M={x-a;y;z), x/a+y/b+z/c=1/

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)