ответы2 (шпоры по экзамену)

Билет 1.

1.Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательство критерия линейной зависимости 2х и 3х векторов.

2. Система линейных алгебраических уравнений. (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Совместность СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера-Капелли о совместности СЛАУ.

1.

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a₁а₁+a₂а₂+…+a_ла_л=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁, a₂,…, a_л=0 и ÎR

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a_i¹0 (i=1,…,k)

Свойства

1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2.Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

3.Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4.Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

Если они компланарны то можно построить паралелограмм.

/---------------------------------------------------------------------------------------------------

2.

1. Решением СЛАУ называют совокупность n чисел которые будучи подставленными в ур-я, обращают их в тождество.

2.СЛАУ наз-ся совместной если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае СЛАУ несовместна.

3.Совместную сис-му наз определеенной, если она имееттолько одно решение. В противном случае – неопределенной.

4. Систему наз-ют однородной если все свободные члены равны 0, в противном случае неоднородной.

Составим м-цу из аиж коэф при неиз-ых.А = (а11 а12 ..а1н)/(а21 а22 .. а2н)итд.

- матрица системы. В = (в1/в2/ .../вм) – матрица столбец св-ых членов.

Х = --\-- м-ца ст-ц неизвестных. А*Х = В – мат-ая форма записи СЛАУ.

Аж = ( а1ж/а2ж/../амж), А1х1+А2х2+..+Анхн = В векторная форма записи.

Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

1 Если Существует решение, то век-ая записьозначает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.

2 Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.

Билет 2

1.Определение базиса V1, V2, V3. Доказательство единственности разложения векторов в базисе V2. Линейные операции над векторами, заданными в одном и том же базисе.

2.Однородные СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевого решения однородной квадратной СЛАУ.

1.

Множество коллинеарных вкт назыв пространство V1.

Базис- ненулевой вкт.

Множество компланарных вкт наз прв-ом V2.

Базиз неколлинеарные вкт.

Множество 3 свободных вкт V3.

Базис 3 некомпланрных вкт.

A = L1i + L2j;

A = B1i + B2j; => (L1-B1) i + (L2 – B2) j = 0 , тк i и j лин незав, то l1=b1,l2=b2

При умножении вкт на число координата умножается на это число.

При сложении 2 вкт складываються соответстующие координаты.

2. Однородной СЛАУ наз та у которой все свободные члены равны нулю. ФСР однр СЛАУ наз упорядочееную совокупность (n-r) линнейно-независимых ее решений.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно чтобы ее матрица была вырожденна..Если матрица однородной системы невырождена, то , согласно формулам крамера она будет иметь только нулевое решение, еслиже она будет вырожденна то ее определитель являющийся в квадратной матрице единственным минором максимального порядка равен 0, значит ранг г матрицы системы меньше ее порядка и следовательно меньше количества неизвестных, Поэтому k=n-r>0 и однородная СЛАУ имеет нормальную фундаментальную систему. Из k>0 решений каждое из этих решений являеться не нулевым.

Билет 3

1.Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора. Свойства скалярного произведения. Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

2. СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.

1. Скалярное произведение векторов и - это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними .

Свойства:

1)

2)

3)

4) ,

5)

Доказательство:

1) из определения скалярного произведения векторов.

2) = = .

3) .

4) , причем .

5) необходимость: , тогда . Достаточность: , то .

а ={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2}, a*b = x1x2+y1y2+z1z2;

?Ортогональная проэкция скалярное произведение данного вектрора, и направляющего вкт.

2.

1. Решением СЛАУ называют совокупность n чисел которые будучи подставленными в ур-я, обращают их в тождество.

2.СЛАУ наз-ся совместной если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае СЛАУ несовместна.

3.Совместную сис-му наз определеенной, если она имееттолько одно решение. В противном случае – неопределенной.

4. Систему наз-ют однородной если все свободные члены равны 0, в противном случае неоднородной.

Составим м-цу из аиж коэф при неиз-ых.А = (а11 а12 ..а1н)/(а21 а22 .. а2н)итд.

- матрица системы. В = (в1/в2/ .../вм) – матрица столбец св-ых членов.

Х = --\-- м-ца ст-ц неизвестных. А*Х = В – мат-ая форма записи СЛАУ.

Аж = ( а1ж/а2ж/../амж), А1х1+А2х2+..+Анхн = В векторная форма записи.

Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

1 Если Существует решение, то век-ая запись означает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.

2 Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.

Билет 4

1.Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

2.Однородные СЛАУ. Теорема о структуре решения однородной СЛАУ.

1.

Базис называю ортонормированным если вкт-рыбазиса попарно перпендикулярны и длины их равны 1. прi(a) = x, итд.

|a| = sqrt(x2+y2+z2);(a^i) = L; cos(L) = a*i/|a|/|i| = x/ sqrt(x2+y2+z2)

Cos2(L) + cos2(B)+ cos2(G) = 1; cos(l) = (x1x2+y1y2+z1z2)/ sqrt(x12+y12+z12) sqrt(x22+y22+z22)

2.

\\----------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 5

1.Правые, левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения. Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

2.Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство существования ФСР. Нормальная ФСР.

1.

Упорядоченную тройку вкт называют правой если поворот от 1го вкт ко 2 на наименьший уогл происходит против часовой стрелки если смотреть с конца 3го вкт.Векторным произведением вкт а на вкт в называют вкт с который 1. перпендекулярен а и в. 2. образует с ними правую тройку вкт. 3. длина которого равна площади паралеллограмма образованного а и в. |c| = |a||b|sin(l);

1.bxa = -axb 2. (a+b)xc = axc+bxc 3. l(axb) = (la)xb; 4. a L b, axb =0.

Axb =i(y1z2-y2z1) – j(x1z2 – x2z1) +k(x1y2-x2y1), можно через матрицу.

2. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОС называется набор решений , такие что 1. - линейно независимы; 2. ( - решение ЛОС)($с₁,…с_кÎR):

Теорема о существовании ФСР ЛОС:

Пусть AÎP_m´n – матрица ЛОС и rang(A)=k (k<n). Тогда существует ФСР из (n-k)

Док-во: Пусть - базисный минор. , где x₁,…,x_k – базисные переменные, а x_k+1,…,x_n – свободные параметры.

Положим x_k+1=1, а остальные x_k+2=…=x_n=0 Þ x₁=c₁₁…x_k=c_1k, затем