40 (Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1)

16

ВВЕДЕНИЕ

Теория полета (аэродинамика и динамика полета) – наука фундаментальная и строгая, опирающаяся на математический аппарат. Но, как и о всякой науке, о ней можно говорить на кухне, опираясь лишь на интеллект соответствующего уровня. К сожалению, и сегодня появляются "ученые", пытающиеся на кухонном уровне объяснить основные законы природы, в том числе и аэродинамики и динамики полета. Но когда с помощью этих объяснений пытались решить серьезные задачи в авиации, это приводило и приводит к плачевным результатам: после отрыва от Земли первые самолеты "вдруг" круто пикировали в Землю; при большой скорости на самолетах с первыми турбореактивными двигателями (ТРД) "вдруг" появлялась тряска и самолет рассыпался; преодоление звукового барьера долго не давалось; перегруженные самолеты не могут завершить взлет и т.п.

Поэтому мы с Вами будем изучать науку на уровне высшего образования. А для этого придется хорошо вспомнить математику, теоретическую механику и математическое моделирование.

Человек очень давно хотел летать, как птица – пытался это делать, но безуспешно. И только Ньютон смог четко выделить факторы, определяющие возможность полета тела, тяжелее воздуха.

Давайте повторим эти рассуждения Ньютона. С одной стороны, птицы тяжелее воздуха, но летают! С другой стороны, по своему опыту мы знаем, что шарообразное тяжелое тело без посторонних внешних сил подняться в воздух не может. А почему простейшая модель птицы – воздушный змей взмывает в воздух?

Для того чтобы змей полетел, необходимо наличие следующих факторов: плотность среды (на Луне змей не полетит), скорость (ветра или бегуна) и специальная геометрия тела (угол атаки, создаваемый специально подобранными веревочками). Эти феноменологические рассуждения необходимо облечь в форму строгой теории (модели), с помощью которой можно было бы проводить расчет полета любого летательного аппарата (ЛА) в любых условиях. Ведь при создании Ил-96 никто не прыгал с прототипом его крыла с колокольни, чтобы убедиться в возможности полета!

1. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

1.1. Основные гипотезы механики сплошной среды

Прежде всего, займемся изучением среды. Для ее описания необходимы полные и непротиворечивые модели движения газообразных, жидких и твердых деформируемых тел, основанные на методах теоретической механики и некоторых дополнительных гипотезах. Согласованная система таких моделей носит название механики сплошной среды.

Все тела состоят из множества отдельных элементарных частиц, взаимодействующих сложным образом в электромагнитном и гравитационном полях. Существуют предположения и о других, пока неизвестных полях. Поэтому изучение материальных тел как совокупности элементарных частиц требует введения дополнительных гипотез об их свойствах и взаимодействиях. Кроме того, для решения уравнений динамики необходимо знать начальные условия, т.е. координаты и скорости всех частиц, что принципиально невозможно. Однако для решения практических задач совсем не обязательно знать движение каждой частицы – достаточно определить некоторые осредненные характеристики. Такой научный подход применяется на основе вероятностного описания и использования законов распределения и называется статистическим.

Механика сплошной среды использует другой подход – феноменологический, основанный на эмпирических гипотезах, подтвержденных человеческим опытом [1].

1) Гипотеза сплошности, предложенная Бернулли, постулирует тело как непрерывную среду, заполняющую некоторый объем, и необходима для применения математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления.­­

2) Гипотезу непрерывности метрического пространства, тесно связанную с предыдущей, вводят для определения координат и расстояний.

3) Следующая гипотеза предполагает возможность введения единой для всех точек пространства декартовой системы координат. Напомним, что в декартовой системе координат каждая точка пространства имеет свои действительные координаты. Эта гипотеза позволяет применять аппарат аналитической геометрии.

4) В механике сплошной среды постулируется абсолютность времени для всех систем отсчета, т.е. не учитываются эффекты теории относительности.

Эти гипотезы естественны с точки зрения человеческого опыта и вполне оправданы при исследовании явлений, происходящих в не слишком больших и не слишком малых объемах с небольшими скоростями – в макромире. Исходя из них, строятся все последующие положения и выводы теории.

1.2. Термины механики сплошной среды

Скорость будем рассматривать как поле вектора в каждой точке пространства, задаваемой радиус-вектором этой точки с координатами x, y, z, в каждый момент времени t:

(1.1)

или по координатам:

(1.2)

Очевидный смысл этих уравнений заключается в том, что скорость определяется, как производная по времени от функции местоположения частицы cреды (x,y,z,t).

Уравнения (1.1) или (1.2), задающие положение (x,y,z,t) частицы в пространстве в каждый момент времени как решение дифференциального уравнения, можно рассматривать как траекторию ее движения.

Если поле вектора скорости сплошной среды не зависит от времени в каждой точке пространства, то движение называется стационарным или установившимся. В общем случае и движение называется нестационарным или неустановившимся.

Линиями тока в механике сплошной среды называются линии, которые в каждый фиксированный момент времени имеют в каждой своей точке касательные, совпадающие с вектором скорости. Таким образом, частицы среды, попавшие на линию тока, не имеют составляющей скорости поперек нее и не могут ее пересечь. Линии тока необходимы для получения в теории математически строгих выводов. На практике линии тока в прозрачной жидкости с взвешенными частицами нерастворимой краски можно зафиксировать фотографированием с маленькой выдержкой – короткие следы этих частиц, сливаясь, вырисовывают линии тока. Уравнение линии тока в момент времени t запишется в терминах аналитической геометрии, как условие коллинеарности векторов:

. (1.3)

Таким образом, картина линий тока в нестационарном движении все время меняется. При установившемся движении отсутствие в уравнении (1.3) времени t приводит к совпадению линий тока с траекториями частиц.

Трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется трубкой тока. Частицы сплошной среды не пересекают стенок трубки тока, не имея нормальных к ним составляющих скорости.

Если компоненты вектора скорости не обращаются в нуль и вместе со своими первыми производными однозначны и не имеют разрывов, то решение уравнения (1.3) существует и единственно. В противоположном случае существование или единственность может нарушаться, т.е. в некоторых точках пространства линии тока могут ветвиться или вырождаться в точку. Такие точки называются особыми или критическими.

Напомним некоторые математические термины [4] применительно к скорости, заданной в пространстве – полю скоростей.

Вектором будем обозначать поверхность с указанным направлением нормали , выражающимся через единичные векторы осей координат: , а скаляром S – только площадь этой поверхности.

Потоком скорости через поверхность с заданным вектором нормали называется поверхностный интеграл

(1.4)

где V_n обозначает проекцию скорости на единичный вектор нормали к поверхности .

Градиентом называется векторная функция скаляра:

. (1.5)

Ротор скорости (вихрь) определяется формулой:

, (1.6)

а дивергенция скорости:

. (1.7)

Циркуляцией скорости по замкнутому контуру L с определенным направлением обхода называется криволинейный интеграл:

. (1.8)

Известные теоремы векторных полей [4] применимы и к полю скоростей. Теорема Стокса:

(1.9)

справедлива при ориентации обхода контура L и нормали к натянутой на него поверхности по правилу правого винта, а теорема Остроградского-Гаусса:

_(1.10)

при условии, что замкнутая поверхность ограничивает объем W.

Полную производную по времени от скаляра A( ,t) можно определить по известной [4] формуле:

(1.11)

Производную от интеграла по произвольному подвижному объему W, где от t зависит не только подынтегральная функция, но и объем, вычислим с помощью определения производной:

В последнем пределе W'–W образуется сдвигом элементарных площадок dS поверхности S, ограничивающей W, на расстояние V_ndS. Кроме того, при Dt ® 0: f( ,t+Dt) ® f( ,t) и деформированная поверхность S¢ ® S, поэтому предел принимает значение (сравните с (1.4)) или по теореме Остроградского-Гаусса (1.10). Откуда в силу уравнения (1.11):

(1.12)

Вектор ¹ 0 тоже можно рассматривать, как поле вектора ротора скорости ( ,t) – вихревое поле. Непосредственной проверкой легко убедиться, что всегда div = 0. Отсюда по теореме Остроградского-Гаусса следует, что поток ротора скорости сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (1.13)

В вихревом поле по аналогии с полем скоростей выделяют вихревую линию:

(1.14)

и вихревую трубку. Так как через боковую поверхность вихревой трубки по определению нет потока ротора скорости, то из (1.13) вытекает постоянство такого потока через любое ее поперечное сечение (первая кинематическая теорема Гельмгольца о вихрях). Эта величина называется интенсивностью вихревой трубки. Согласно теореме Стокса (1.9) она равна циркуляции скорости по контуру, образующему вихревую трубку:

. (1.15)

1.3. Уравнение неразрывности

Как известно, плотность вещества в физике вводится предельным переходом: , где в механике сплошной среды следует понимать под Dm массу вещества, заключенную в объеме DW. Посмотрим, как будет выглядеть закон сохранения массы для произвольного подвижного объема сплошной среды, для которого . Из (1.12) тогда следует:

,

или в силу произвольности объема W: