Вопросы по основному курсу к коллоквиуму

Коллоквиум

по курсу «Алгебра и геометрия»,

I курс, I семестр

Вопросы по основному курсу

1. Операции над матрицами и их свойства.

2. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение к диагональному виду.

3. Перестановки.

4. Определитель, свойства определителя.

5. Определитель транспонированной матрицы.

6. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

7. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель произведения матриц.

8. Обратная матрица. Критерий обратимости.

9. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

10. Ранг матрицы и линейная зависимость её строк (и столбцов).

11. Ранг произведения матриц. Инвариантность ранга относительно элементарных преобразований.

12. Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности.

13. Системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей. Правило Крамера.

14. Критерий совместности и определённости системы линейных алгебраических уравнений.

15. Исследование и решение системы линейных алгебраических уравнений общего вида. Общее решение.

16. Эквивалентность систем линейных алгебраических уравнений. Элементарные преобразования систем.

17. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений.

18. Линейное пространство. Арифметическое пространство.

19. Линейная зависимость в линейном пространстве.

20. Базис и размерность линейного пространства.

21. Переход к другому базису, матрица перехода.

22. Линейное подпространство и линейное аффинное многообразие в линейном пространстве. Определение и простейшие свойства.

23. Геометрические свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

24. Геометрические свойства решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Общее решение.

Вопросы по элементарной математике

1. Определения

Сформулируйте определения

1. Геометрического места точек плоскости (пространства);

2. Подобия треугольников;

3. Касательной к окружности;

4. Скрещивающихся прямых;

5. Касающихся окружностей;

6. Окружности, вписанной в треугольник;

7. Окружности, описанной около четырехугольника;

8. Перпендикулярности прямой и плоскости;

9. Перпендикулярности двух плоскостей;

10. Наклонной к плоскости и ее проекции.

1. Формулировка утверждений

   1. Сформулируйте следующие теоремы:

1. Теорема синусов;

2. Теорема косинусов;

3. Теорема о точке пересечения медиан треугольника;

4. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника;

5. Теорема о биссектрисе угла как геометрическом месте точек плоскости;

6. Теорема о серединном перпендикуляре как геометрическом месте точек плоскости;

7. Теорема о свойствах диагоналей и сторон параллелограмма;

8. Теорема о величине вписанного угла;

9. Теорема об условиях, при которых в четырехугольник можно вписать окружность;

10. Теорема об условиях, при которых около четырехугольника можно описать окружность;

11. Теорема о двух медианах равнобедренного треугольника;

12. Теорема о трех перпендикулярах;

13. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Сформулируйте отрицание для каждого из следующих утверждений:

1. Треугольник ABC – равносторонний;

2. Треугольник ABC – равнобедренный;

3. Отрезки a, b, c образуют треугольник;

4. Четырехугольник с диагоналями d₁ и d₂ является параллелограммом;

5. В четырехугольник можно вписать окружность;

6. Отрезки а₁, а₂, …, а_n имеют одинаковую длину;

7. Прямая l параллельна плоскости α;

8. Прямые l₁ и l₂ в пространстве – скрещивающиеся прямые;

9. Прямые l₁ и l₂ в пространстве параллельны.

1. Доказательство утверждений

   1. Докажите следующие утверждения:

1. теорема косинусов;

2. теорема синусов;

3. «если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный»;

4. «если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный»;

5. «если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный»;

6. теорема о величине вписанного угла;

7. «высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов этого треугольника на гипотенузу».

1. Сформулируйте обратные теоремы к следующим утверждениям:

1. «диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам»;

2. «если в △ABC: AB² > AC² + BC² , то △ABC – тупоугольный»;

3. «если длина отрезка MN, соединяющего две внутренние точки на сторонах AB и AC треугольника ABC, равна половине стороны BC, то MN – средняя линия этого треугольника»;

4. «если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны между собой, то в этот четырехугольник можно вписать окружность»;

5. «если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны».

6. «если △ABC – прямоугольный, то медиана, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине».

1. Для каждого из утверждений задачи 3.2:

– докажите само утверждение,

– докажите обратное утверждение к нему,

– сформулируйте оба утверждения вместе в терминах: а) «необходимо и достаточно», б) «тогда и только тогда».