85570 (Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения), страница 3

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin (x+) = sinx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: sinx = 0; х = n, nZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если x (2n; + 2n), nZ;

sinx < 0, если х ( + 2n; 2+n), nZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-/2 + 2n; /2 + 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nz.

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

x_max = /2 + 2n, nz; y_max = 1;

y_max = - /2 + 2n, nz; y_min = - 1.

Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = R.

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)

4. Т = 2 - наименьший положительный период. Действительно,

cos (x+2n) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = /2 + n, nZ;

с осью Оу: если х = 0,то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если х (-/2+2n; /2 + 2n), nZ;

cosx < 0, если х (/2 + 2n; 3/2 + 2n), nZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [- + 2n; 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [2n; + 2n], nz.

Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -

1. D (y) = (xR, x /2 + n, nZ).

2. E (y) =R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т = - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при х (n; /2 + n;), nZ;

tgx < 0 при x (-/2 + n; n), nZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонности:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков

(-/2 + n; /2 + n),

nz.

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = /2 + n, nz - вертикальные асимптоты

Свойства функции у = ctgx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = (xR, x n, nZ). 2. E (y) =R.

3. Функция y = ctgx - нечетная.

4. Т = - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при х (n; /2 + n;), nZ;

ctgx < 0 при х (-/2 + n; n), nZ.

Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (n; + n), nZ.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на /2 и умножением на (-1) (рис)

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус, аркко́синус, аркта́нгенс, арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin⁻¹ для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1. Основное соотношение

Функция y=arcsinX, её свойства и графики.

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. (функция является нечётной).

Функция y=arccosX, её свойства и графики.

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx) = x при arccos (cosy) = y при D (arccosx) = [− 1; 1], (область определения), E (arccosx) = [0; π]. (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки

Функция y=arctgX, её свойства и графики.

Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

при

• при

Свойства функции arctg

,

.

Функция y=arcctg, её свойства и графики.

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго убывающей. при при 0 < y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x.

.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Частные случаи тригонометрических уравнений

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

	АB Прямая АВ лежит в плоскости
рис.5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

	а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
Рис.6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	= a и пересекаются по прямой а.
рис.7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке.

Параллельность прямой и плоскости.

Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α. Теорема 2.4 Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть b α, a || b и a α (чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема 2.5 Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || α. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой. Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.