85570 (Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения)

Содержание

Иррациональные уравнения

Числовая функция. Способы задания функции

Основные свойства функции

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

Обратная функция

Степенная функции, её свойства и графики

Показательная функция, её свойства и графики

Показательные неравенства

Логарифмы и их свойства

Логарифмические уравнения

Тригонометрические функции числового аргумента

Функция y sinx ее свойства и график

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Частные случаи тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Теорема о трех перпендикулярах

Алгебра

Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений ^[2] . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные - из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Абсолютная погрешность и её граница.

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1²= (-1) ², 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Ко́мпле́ксные чи́сла - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.

Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i.

Умножение

Деление

Числовая функция. Способы задания функции

В математике числовая функция - это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!

Графический С помощью графика Фрагмент графика функции .

Табличный: С помощью таблицы значений

Основные свойства функции

1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

График функции - множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах² + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а 0) или у - х (а < 0).

Логарифмическая функция y = log_ax (a > 0)

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.

Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).