14411-1 (Дифференциальная геометрия)

Дифференциальная геометрия

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Алгеброй нам кольцом скаляров с единицей наз. множество объектов с определенными над ними тремя операциями сложения, умножения и умножения на элементы из кольца скаляров, что оно является кольцом по первым двум операциям и линейным векторным пр-вом над кольцом скаляров.

Факторгруппой называется множество объектов, являющиеся собой классами эквивалентности некоторой заданной группы G по подгруппе Н, каждый из которых получается последовательным сложением элементов из группы G с заданным элементом из подгруппы Н. Факторгруппа обозначается G/H.

Отображением одного множества в другое наз. набор правил сопоставляющих каждому объекту из первого множества объект из второго множества, называемого образом отображения.

Мономорфизмом называется отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом.

Эпиморфизмом называется такое отображение, что для каждой точки образа существует элемент из прообраза, который в него перешел.

Система координат есть отображение некоторого пространства в числовые последовательности фиксированной длины, называемые координатами.

Дифференциалом отображения из множества с системой координат u, v во множество с системой координат x, y наз. отображение касательных пр-в V_u в V_v, задаваемое матрицей D(x, y)/D(u, v).

Рангом квадратной матрицы порядка n наз. число ее линейно независимых строк.

Ранг наз. максимальным, если он совпадает с порядком матрицы.

Метрическим пр-вом наз. такое множество объектов, называемых точками, что для каждой упорядоченной пары точек этого множества определено неотрицательное действительное число, удовлетворяющее правилом треугольника и называемое расстоянием или метрикой.

Окрестностью радиуса R точки метрического пространства наз. множество точек, расстояние от которых до заданной точки не превышает радиуса.

Предельной точкой множества в метрическом пространстве наз. такая точка, что в любой сколь угодно малой окрестности этой точки найдется, по крайней мере, одна точка из этого множества кроме ее самой.

Открытым наз. такое множество, что для каждой его точки существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве.

Замкнутым множеством наз. такое множество, дополнение к которому открыто.

Компактным наз. ограниченное замкнутое множество.

Связанным наз. множество, которое нельзя представить в виде непересекающихся множеств, таких, что одно множество не содержит предельную точку другого.

Областью наз. открытое связанное множество.

n-мерным мн-зием наз. метрическое пр-во M, если каждая точка Р которого содержится в окрестности U из M, гомеоморфной некоторой области евклидова пространства Rⁿ размерности n.

Атлас карт - система открытых множеств {U_i} покрывающих мн-зие М.

Непрерывным в точке а отображением топологического пространства С в С’ наз. такое отображение , что для каждой окрестности U’ точки (a) в С’ существует такая окрестность точки a в С, образ которой содержится в U’.

Непрерывным отображением наз. отображение, непрерывное в каждой точке.

Гладким отображением наз. непрерывное отображение.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение.

Координатный гомеоморфизм – отображение карты атласа М в соответствующую область V из Rⁿ.

Диффеоморфизмом наз. гомеоморфизм являющийся гладким отображением, такой, что обратное отображение тоже является гладким.

Локальной системой координат наз. система координат в области V евклидова пространства Rⁿ, где V – образ некоторой карты мн-зия M.

Функциям перехода от координат { } к { }называются функции, преобразующие одну в другую части двух карт на месте их пересечения = .

Гладким мн-зием наз. мн-зие, если на некотором его атласе функции перехода от координат { }к { }непрерывно дифференцируемы для любой пары карт.

Погружением наз. такое гладкое отображение из одного мн-зия в другое, что во втором мн-зии выделяется некая подобласть, для которой имеет место взаимно однозначное соответствие с точками исходного мн-зия.

Вложением наз. такое погружение, если образом погружения является замкнутое множество.

Подмн-зием наз. образ мн-зия при вложении.

Ориентируемым мн-зием наз. такое мн-зие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан.

Разбиением единицы , подчиненному покрытию U для многообразия M называется такая система действительнозначных функций , что sup достигается на U , сумма (x)=1 на M.

Теорема. Пусть X – произвольное подпр-во Rⁿ и U - его покрытие. Тогда существует Разбиением единицы , подчиненному покрытию U

Касательным пр-вом в точке a мн-зия М наз. совокупность касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.

Производной функции по направлению V (¹,…, ⁿ) в точке А называется число . Производная по направлению линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Пусть функция равна нулю в окр-ти т. A и {} – набор формальных операция, ставящих функции в соотв. Нек-рое число и удовл. пр-лу Лейбница. Тогда (A)=0.

Лемма. (Const)=0.

Лемма Адамара. Пусть - дифференцируема в окр-ти т. A тогда для т. B из окр-ти А справедливо соотношение : (B)=(A)+( - ) .

Теорема. Сопоставление касательному вектору в т. A производной по направлению этого вектора V_A{} – изоморфизм.

Гладким расслоением называется составной объект, состоящий из пр-ва расслоения (гладкое мн-зие Е), базы расслоения (гладкое мн-зие М), проекции расслоения (гладкое отображение из пространства расслоения в базу, дифференциал которого имеет максимальный ранг), слоя (гладкое мн-зие F), структурной группа G гладких преобразований слоя F.

Структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые каждому прямому произведению слоя F на некоторую область из базы ставят в соответствие прообраз этой области на расслоении а так же функциями перехода между прямыми произведениями слоя F и областями базы, где эти области пересекаются, причем функции склейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F.

Касательным расслоением гладкого мн-я M наз. объединение всех касательных пространств мн-зия.

Теорема. Размерность касательного расслоение n-мерного гладкого мн-я M – 2n.

Теорема. Пусть гладкое сюръективное отображение с компактными прообразами точек, N связное и все точки f регулярны. Тогда f расслоение. (В частности, все прообразы одинаковые многообразия).

Векторное поле определено на мн-зии, если каждой точке мн-зия сопоставлен некоторый вектор, координаты которого меняются непрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное пр-во.

Теорема. На Mⁿ(U_А) существуют такие гладкие кривые x¹(t),…, xⁿ(t), что касательные вектора к ним образуют касательно пр-во в точке А.

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей и в системе координат x¹,…,xⁿ наз. векторное такое поле [, ], что [,]ⁱ = - i=1,…,n. Коммутатор – гладкое векторное поле, обладающее св-вами антикоммутативности ([u,v]=-[v,u]), дистрибутивности и линейности в т.ч. [gv,hw]=gh[v,w] .

Неособой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой векторное поле непрерывно и не обращается в нуль.

Особой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой нарушаются хотя бы одно из двух условий:1).в некоторой окрестности точки векторное поле непрерывно и 2) векторное поле не обращается в нуль в этой точке.

Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант в этой точке отличен от нуля, где ⁱ - координаты векторного поля в системе координат (x¹,…, xⁿ).

Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта , где ⁱ - координаты векторного поля в системе координат (x¹,…, xⁿ).

Базисным наз. такое векторное поле на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.

Голономными называются такие векторные поля v и w, что [v,w]=0.

Теорема. Пусть a₁,…,a_n – голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базисными.

Правильной для отображения из мн-зия M₁ в M₂ наз. точка из исходного мн-зия M₁, такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.

Регулярной точкой отображения из мн-зия M₁ в M₂ наз. такая точка из мн-зия M₂, что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ( ¹,…, ⁿ)= , где - векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особой точки.

Сопряженным к пр-ву векторов V называют пр-во V^* линейных вектор-функций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.

Гладкой гомотопией отображения из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как результат прямого произведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с (x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.