180735 (Средние величины и показатели вариации), страница 3

Пример 4.6. Просроченная задолженность по кредитам предприятиями фирмы за отчетный год характеризуется следующими данными:

Определить средний процент просроченной задолженности фирмы.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя.

Удельный вес Объем просроченной задолженности

просроченной = -------------------------------------------------------- ∙ 100

задолженности, , % Объем общей задолженности

Для расчета среднего процента просроченной задолженности фирмы в этом случае воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:

%.

3. Средняя гармоническая и условия ее применения

Среднюю гармоническую взвешенную следует использовать в тех случаях, когда, кроме вариант осредняемого признака , известны показатели, представляющие собой произведения вариант на их частоты . Величиной может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете средней их цены, фонды заработной платы у отдельных категорий работников при расчете средней заработной платы; стоимостные объемы сделок при покупке валют, ценных бумаг, биржевых продаж и т.д. Как видим, ситуаций, когда нам известны не частоты, а произведения частот на соответствующие им варианты при расчете средней величины, более чем достаточно.

Формула средней гармонической взвешенной имеет вид:

(6)

где - значения произведений варианты на соответствующую ей частоту;

- значения вариант.

Пример 4.7. По данным о цене акций и общей стоимости продажи акций рассчитать среднюю цену одной акции.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя

Общая стоимость продажи акций

Средняя цена = ----------------------------------------------------

акций Число проданных акций

При этих исходных данных следует воспользоваться формулой (6) для расчета средней цены одной акции

тыс. руб.

При этом следует заметить, что

7298 тыс. руб. – общая стоимость продажи акций;

2560 – общее число проданных акций (500, 860 и 1200 – число проданных акций каждого вида в отдельности).

Если при использовании средней гармонической веса всех вариант равны, то вместо взвешенной можно использовать простую среднюю гармоническую:

(7)

где - число вариант осредняемого признак.

Пример 4.8. Предприятием были выделены одинаковые денежные суммы на приобретение акций 3-х видов. При этом, цена акции вида А составила 500 руб. , вида В – 1000 руб. и Г – 2200 руб.

Рассчитать среднюю цену приобретения акций:

Решение

Воспользуемся для определения средней цены формулой (7):

руб.

В практике реальных расчетов взвешенные средние гармонические используются чаще.

4. Понятие, виды и показатели вариации

Рассматривая зарегистрированные при статистическом наблюдении величины того или иного признака у отдельных единиц совокупности, обнаруживаем, что они различаются между собой, колеблются, так как у каждой из единиц они складываются под действием многих причин и условий. Эти различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называют вариацией признака.

Вариация делится на случайную и систематическую. Вариация признака, которая не зависит от факторов, положенных в основу группировки, называется случайной вариацией. Например, в условиях налаженного и поддерживаемого в устойчивом состоянии технологического процесса наблюдаются случайные различия в качестве выпускаемой продукции, возникают эти различия под влиянием не поддающихся контролю и учету факторов, то есть случайных факторов. Вариация признака, которая зависит от факторов, положенных в основу выделения группы, называется систематической вариацией. При систематической вариации значения признака в пределах совокупности варьируют при переходе от одной группы к другой в связи с изменением группировочных признаков. Например, качество одного и того же вида продукции будет различно в различных условиях организации технологического процесса.

Показатели вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака, они измеряют отклонения от средних и дают возможность установить насколько однороден состав данной совокупности по изучаемому признаку, насколько надежна, типична средняя величина. Чем однороднее состав совокупности, тем более близки между собой отдельные значения признака, тем меньше разбросанность этих значений вокруг средней величины.

Наиболее распространенными (основными) характеристиками вариации являются размах вариации , среднее линейное отклонение , среднее квадратическое отклонение

, дисперсия и коэффициент вариации .

Самой простой характеристикой служит размах вариации - разность между наибольшим и наименьшим признаками. Размах вариации – довольно грубая характеристика разбросанности ряда, так как и минимальное и максимальное значения сами могут быть весьма нетипичными для данной совокупности.

Среднее линейное отклонение опирается на учет индивидуальных отклонений вариант от средней арифметической величины данного ряда и определяется как средняя арифметическая из абсолютных величин этих отклонений.

Для первичных данных - (8)

Для вторичных данных - (9)

Этот показатель дает необъективную оценку вариации, как правило, занижает ее.

Дисперсия – это средняя арифметическая из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины ряда. Для первичных данных дисперсия определяется по формуле:

, (10)

где

Для вторичных данных - , (11)

где .

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле . Среднее квадратическое отклонение является наиболее распространенным показателем степени вариации.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение – это абсолютные меры вариации. Они выражаются в единицах измерения варьирующего признака. С их помощью можно сравнивать вариацию только одного и того же признака в разных распределениях, например, вариацию заработной платы рабочих на разных предприятиях какой - то отрасли, стаж работы рабочих различных отраслей. Причем сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными средними уровнями непосредственно нельзя, так как по своему абсолютному значению квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариант и средней.

Коэффициент вариации является относительной мерой вариации, определяется по формуле (12), позволяет сравнивать степень варьирования признаков в вариационных рядах с разным уровнем средних, а также служит для сравнения вариации разных явлений.

Величина коэффициента вариации оценивает интенсивность колебаний признаков относительно их средней величины. Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:

% - колеблемость незначительная (невысокая)

% - колеблемость средняя (умеренная)

% - колеблемость значительная

Если его величина не превышает 33%, это говорит о типичности, надежности средней величины, об однородности совокупности.

Если он более 33%, то все указанные выводы следует изменить на противоположные.

Проиллюстрируем расчет показателей вариации на основе исходных расчетных данных примера 2.1.

Пример 4.9. Имеется следующий ряд распределения работников по стажу

Определить:

- размах вариации

- дисперсию

- среднее квадратическое отклонение

- коэффициент вариации

Решение:

1. Размах вариации

лет

Размах вариации лучше определять по первичным данным, что мы уже делали при расчете величины интервала группировки (см. пример 2.1). Для расчета остальных показателей оформим рабочую таблицу

лет

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно

Коэффициент вариации равен

%

Анализ полученных данных говорит о том, что стаж работников предприятия отличается от среднего стажа в среднем на 2,147 года или на 43,3%. Коэффициент вариации превышает 33%, и 40%, следовательно, вариация производственного стажа умеренная, найденный средний стаж плохо представляет всю совокупность работников, не является ее типичной, надежной характеристикой, а саму совокупность нет оснований считать однородной по производственному стажу.

5. Виды дисперсий