re_line_a1 (Шпоргалки к 1 аттестации)
Описание файла
Файл "re_line_a1" внутри архива находится в папке "Шпоргалки к 1 аттестации". Документ из архива "Шпоргалки к 1 аттестации", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "re_line_a1"
Текст из документа "re_line_a1"
1) О1. Векторное (линейное) пространство – множество V с введёнными на нём операциями +(сложение векторов, бинарная операция) и λ*(умножение вектора на число λєR), удовлетворяющие след. свойствам:
1) x+y=y+x
2) (x+y)+z=x+(y+z)
3) 0; x+0=x
4) –x=x’; x+(-x)=0
5) λ(µx)=(λµ)R;
6) (λ+µ)x=λx+µx
7) λ(x+y)=λx+λy
8) 1=e; 1*x=x;
(Крит. Сильвестра) Невырожденная кв. форма f(x), f: V->R, является положительно определённой <=> все угловые миноры |∆1|>0, …, |∆n|>0
f – отрицательно определённная <=> |∆1|<0, |∆2|>0, |∆3|<0, …, sgn(|∆n|)=(-1)n
3) Т5.6. Матрица ЛО в фикс. базисе является диагональной <=> базис состоит из СВ.
Следствие 5.1. Если харак-е ур-е ЛО имеет n корней и попарно различных действительных корней, то сущ-ет базис, в котором матрица этого ЛО диагональна.
Следствие 5.2. Если ур-е матрицы,… матрица подобна диагональной.
Квадратичная форма f(x) наз-ся положительно определённой, если для любого xєV f(x)>0. (q=0); Отрицательной – если f(x)<0 (p=0).
О2. Кв. форма наз-ся знакопеременной или знаконеопределённой, если сущ-ют x,yєV: f(x)>0, f(y)<0.
4) О3. Пусть V – векторное пространство. Система векторов a1,…,an называется базисом пространства V, если
а) Система a1,…,an ЛНЗ
б) Любой вектор bєV представляется в виде линейной комбинации векторов a1,…,an: сущ-ют x1,…,xnєR;
b=x1a1+…+xnan;
a1,…,an; b1,…,bn – 2 базиса(старый и новый).
b1=c11a1+c21a2+…+cn1an
b2=c12a1+c22a2+…+cn2an (*)
…
bn=c1na1+c2na2+…+cnnan
– матрица перехода от базиса а к базису b.
АєMn(R) её хар-м ур-ем наз-ся ур-е вида
det (мA-λE)=0, λ – переменная.
Т.(об инвариантности характ. многочлена).
При изменении базиса, характ. многочлен не меняется.
5) Отображение A: L1->L2 наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:
1. A(x+y)=A(x)+A(y);
2. A(λx)=λA(x);
С каждым ЛО A: L1->L2 связаны 2 множетсва: Ker A=A-1(0)={xєL1: Ax=0} – ядро ЛО А.
Im A= A(L)={yєL2: xєL1 (Ax=y)} – образ А.
Ab=UTAeU – переход квадратичной формы. (e)->U->(b);
6) Отображение A: L1->L2 наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:
1. A(x+y)=A(x)+A(y);
2. A(λx)=λA(x);
Матрицей оператора A: L->L в базисе (b1,…,bn) является матрица мA, столбцами которой являются координаты векторов A(b1),…,A(bn) в том же самом базисе.
(неравенство Коши-Буняковского).
(о неравенстве треугольника).
7) Собственным вектором матрицы А наз-ся ненулевой е, т. ч. сущ-ет λєR: Ae=λe. При этом λ – собственной значение матрицы А, соответствующее собственному вектору.
О. Собственным вектором ЛО А наз-ся вектор е, т.ч. сущ-ет λєR: A(e)=λe, λ – собственное значение А.
λ – СЗ <=> AX=λX
xєV, пусть (x1a,…,xna) – координаты вектора в базисе а. xa=(x1a,…,xna)T.
xb=(x1b,…,xnb)T – координаты х в базисе b.
Тогда xa=Ta->bxb
Следствие xb=T-1a->bxa;
8) А*: En->En наз-ся сопряженным ЛО А: En->En, если для любых x,yєEn (Ax,y)=(x,A*y)
А наз-ся самосопр. если A=A*
ЛО, действующий в n-мерном евкл. пространстве, наз-ся ортогональным оператором(ОО), если он сохраняет скаляр произведение.
Т. А – ОО, то ||A(x)||=||x||
м-ца А наз-ся ортогональной, если АTA=E
Если матрица ЛО в нек. ОНБ(?) базисе ортогональна, то оператор ортогонален.
Если оператор ортогонален, то в любом ОНБ его матрица ортогональна.
В ЕП м-ца перехода от одного ОНБ к ОНБ является ортогональной.
Любая ортогонал. м-ца переводит любой ОНБ в ОНБ.
dim(L1+L2)=dimL1+dimL2-dim(L1пересечL2)
9) f наз-ся билинейной, если она является линейной по каждому аргументу, т.е. фиксируя а:
f(a,x)=fa(x): L->R – лин. ф-ция.
fa(x+y)=fa(x)+fa(y); fa(λx)=λfa(x);
Фикс. вектор b: fb(x)=f(x,b) – лин. ф-ция.
Для определения билин. ф-ции на LxL достаточно определить значения f(ei,ej)=aij;
А=(aij) наз-ся матрицей билинейной формы.
Билин. ф-ция на-ся симметричной, если для любых x,y выполняется
f(x,y)=f(y,x) и называется кососимметричной, если f(x,y)=-f(y,x);
L – ЛП, базисы (b1,…,bn)->(e1,…,en), U – матрица перехода, ЛО А: L->L, мАb,м Ae – его матрицы
Тогда мАe=U-1AbU