150451 (Колебания маятника с различными механизмами затухания), страница 2

Уравнение движения частицы примет следующий вид:

, (1.35)

где

. (1.36)

Подставляя последнее в (1.35), получим:

(1.37).

Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины следующее значение

(1.38)

где

, (1.39)

Учитывая (1.38), решение (1.36) примет следующий вид:

, (1.40)

Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где и – постоянные, определяемые из начальных условий.

В зависимости от соотношения коэффициента трения и частоты собственных колебаний , затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.

Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения:

, (1.41)

когда величина (1.39) действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (в действительной форме)

, (1.42)

Графически это колебание представлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постоянной частотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени

, (1.43)

Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину

, (1.44)

к оторая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения (1.44) следует, что за время , (1.45) амплитуда убывает в раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а – декрементом затухания.

Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, который является отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)

, (1.46)

Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:

, (1.47)

Определим число N колебаний, в течение которых амплитуда колебаний убывает в , раз:

откуда следует, что

, (1.48)

На основании этого соотношения можно экспериментально определить логарифмический декремент затухания , считая соответствующее число колебаний.

Непериодическое затухание. При сильном трении

(1.49)

величина (1.43) становится мнимой. В этом случае удобно представить (1.42) так:

, (1.50)

, (1.51)

В рассматриваемом случае решение (1.42) примет вид:

, (1.52)

которое не описывает какое-либо колебание, а представляет экспоненциональное убывание смещения от положения равновесия (см. приложение 3). Непериодическое затухание маятника можно наблюдать, если поместить его в сильно вязкую среду (глицерин, мед).

С пециальным случаем непериодического затухания является случай, когда . В этом случае решение уравнения (1.35) выражается в виде:

, (1.53).

Заключение

Целью данной курсовой работы являлось изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания. Для реализации поставленной цели предполагалось решение ряда задач, что позволило сделать следующие выводы:

На основании анализа существующей литературы даны определения исходных теоретических положений, а именно: колебания, виды колебаний, маятник (физический маятник, пружинный маятник), декремент затухания, добротность колебательной системы и т.д.

Также, исходя из проработанной литературы, сделан вывод о том, что данная тема изучалась и изучается многими авторами, как зарубежными, так и советскими, и находит практическая применение в различных науках.

Получены уравнения собственных затухающих колебаний на примерах физического и пружинного маятников.

,

г де - коэффициент затухания,

- собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника.

Таково полученное уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника. Это уравнение описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀.

a(t) = a₀·e^-bt·sin(w·t + j), (3)

где w = (w₀² - b²)^1/2 - частота затухающих колебаний груза.

Данное уравнение определяет быстроту процесса затухания колебаний физического маятника.

Определены два механизма затухающих колебаний: периодическое (осуществляется при слабых силах трения) и непериодическое (при сильном трении), а также получены формулы, для их расчета.

- для периодического механизма затухающих колебаний;

, - для непериодического механизма затухающих колебаний.

Список сокращений

г. – год;

пр. – прочее;

с. – страница;

см. – смотреть;

т.д. – так далее;

т.е. – то есть;

Библиографический список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. - 568 с.

2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. – 59 с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1994. - 408 с.

4. Владимиров С.Н., Майдановский А.С., Новиков С.С. Нелинейные колебания многочастотных автоколебательных систем. Томск: изд-во Томск. ун-та, 1993. - 203 с.

5. Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. - 124 с.

6. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 2001. - 280 с.

7. Капранов М.В., Кулешев В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1994. - 319 с.

8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1991. - 360 с.

9. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. - 390 с.

10. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.

11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1995. - 424 с.

12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1994. - 431 с.

13. Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 597.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

0 Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. - с. 137.

0 Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. - с. 52.

0 Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 597.

0 Горелик Г.С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. – с. 82

0 Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - с. 192.

0 Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 149-154.