UTS (Ответы на экзаменационные вопросы по УТС), страница 3

Следовательно:

Строим ЛАЧХ:

Годограф

Годографы частотных характеристик применяются для исследования дискретных систем.

Рассмотрим на примере:

Построить годограф частотной характеристики разомкнутой импульсной системы. Непрерывная часть системы представляет собой апериодическое звено:

Известно, что дробно-рациональная функция ото­бражает окружность либо в окружность, либо в прямую. Пря­мая получается в том случае, когда полюс z = е функции W^*_z (z) лежит на отображаемой окружности, или, что то же самое, точка q = лежит на мнимой оси. Поскольку - положительное веще­ственное число, функция W^*_z (z) отображает окружность в окружность. Из условия W*(- j ) = W*(j ) можно заключить, что при изменении знака у аргумепта действительная часть U*( ) = ReW*( j ) остается без изменения, а мнимая часть V*( ) = ImW*( j ) меняет знак. Другими словами, годограф функции W*( j ) симметричен относительно вещественной оси. Поэтому строят только половину этого годографа при 0 < < . Подставим :

14. Частотные свойства дискретных систем.

Теорема Котельникова и условия эквивалентности дискретных и непрерывных систем.

Т еорема Котельникова. Формулировка.

X(t)_{{при |t=nT}}=X[nT]

Пусть непрерывный сигнал X(t),

X(j ) 0, при | | > _cреза

Тогда X(t) можно восстановить по сигналу X[nT], если _o > 2 _o или Т < .

Допущения:

Предполагаем, что спектр конечен по времени и ограничен по амплитуде, хотя это не так.

Условие эквивалентности непрерывных и дискретных систем (условие Котельникова).

Eсли из перемножить, появятся боковые частоты, из-за того что для выходного сигнала не выполняется условие Котельникова ( ).

15. Разностные уравнения дискретных систем. Определение разностных уравнений дискретных систем по передаточной функции. Определение системы разностных уравнений дискретной системы. Вектор состояния.

Разностные уравнения – аналог дифференциальных в теории непрерывных систем. Разностное уравнение – это соотношение между дискретной функцией и ее разностями разных порядков.

Общий вид:

a0·Δkx[n]+ a1·Δk-1x[n]+… ak-1·Δ·x[n]+ ak·x[n]=g[n] или b0·x[n+k]+ b1·x[n+k-1]+…+ bk-1·x[n+1]+ bk·x[n]= g[n].

Пусть передаточная функции систему имеет вид: W*(z) = =

Тогда разностное уравнение такой системы выглядит так:

a0·y[n+k]+ a1·y[n+k-1]+…+ ak-1·y[n+1]+ ak·y[n]= b0·g[n+k]+ b1·g[n+k-1]+… + bk·g[n],

где g[n] – входной сигнал, а y[n] – выходной.

Для многомерной системы:

Δx1[n]=f1(x1[n], x2[n], … , xk[n])

Δx2[n]=f2(x1[n], x2[n], … , xk[n])

………………………………………

Δxk[n]=fk( x1[n], x2[n], … , xk[n] )

Если ввести в рассмотрение вектор то система примет следующий вид Δx[n]=f( x[n] ), где . Вектор x[n] называется вектор состояния, а его элементы – состояние системы. в данный момент времени.

16. Устойчивость линейных дискретных систем постоянными параметрами.

Необходимые и достаточные условия устойчивости.

b₀·x[n+k]+ b₁·x[n+k-1]+…+ b_k-1·x[n+1]+ b_k·x[n]= g[n]. Если при любых начальных условиях | x[n] | < M , то система устойчива. Если x[n] стремится к 0 то система устойчива асимптотически. Если стремится к бесконечности – неустойчива.

Характеристическое уравнение системы имеет вид(для однородного уравнения):

a₀· λ ^k+ a₁· λ ^k-1 +… a_k-1· λ + a_k=0

Теорема об асимптотической устойчивости: что бы система была асимптотически устойчива необходимо и достаточно, что бы все корни хар. уравнения по модулю были меньше единицы ( | λ _i|<1 ). Док-во:

<

x[n]=

При n стремящемся к бесконечности P_i тоже стремится к бесконечности, значит λⁿ досжно стремится к 0, что возможно при λ < 1.

Теорема об устойчивости: а) что бы система была устойчива необходимо и достаточно, что бы все корни хар. уравнения по модулю были меньше или равны единице.

б) если корень равен 1 то он простой(не кратный!!!). Для простого корня

< M

=

x[n] =

17. Критерии устойчивости дискретных систем, основанные на применении W-преобразования.

|z_i| - корни характеристического уравнения.

Для устойчивости им­пульсной системы необходимо и достаточно, чтобы были все |z_i| < 1. Если хотя бы один корень |z_i|>1, система будет неустойчивой.

Значением какого-либо корня |z_i|= 1 при всех остальных |z_i|<1 определяется граница устойчивости импульсной системы.

С ледовательно, геометрически область устойчивости системы на плоскости корней z изобразится единичным кругом. Если применить W-преобразование то этот круг отобразится в левую полуплоскость w.

Все корни |z_i| уравнения, лежащие внутри еди­ничного круга, перейдут в левую полу­плоскость w. Поэтому при использовании преобразованного характеристического уравнения для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни w₍ (i = 1, 2, ..., т) имели от­рицательные вещественные части. Границей устойчивости будет случай попадания какого-либо корпя w_i на мнимую ось, когда все остальные w_i лежат слева от нее.

Применение ЛЧХ для анализа устойчивости дискретных систем.

Критерий устойчивости: При w больше частоты среза (wc) фаза не пересекает -90 градусов или пересекает чётное число раз.

18. Критерии устойчивости дискретных систем, основанные на применении принципа аргумента (аналоги критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста). Особенности анализа устойчивости астатических дискретных систем.

19. Синтез дискретных систем с помощью ЛЧХ. Выбор желаемых ЛЧХ. Синтез последовательного цифрового регулятора.

Условные обозначения

Z_ - z c чертой преобразование

W* - дискретная передаточная фунция

eps -

W*(z)=Z_{Wэ(s)П(s)Wп(s)}

Извлечь отсюда П(s) сложно, т.к. z_{a(s)b(s)}!=z_(a(s))z_(b(s))

Но для цифровых устройств все проще рис 2.

W*(z)=П*(z)Wэ*(z);

П*(z)=W*(z)/Wэ*(z);

Первый импульсный элемент –ЦАП, второй АЦП

Пример синтеза с помощью ЛЧХ:

Wн(s) = k/s(1+T1s)

Wф(s)=(1-exp(-Ts))/s

Wэ*(s)=Z_{Wн(s)Wф(s)}

T1 = 0.05c T=0.05c k=100c^-1

Wн(w)=Dw{Z_[Wф(s)Wн(s)]}=100(1-0.025w)(1+0.004w)/w(1+0.0054w)

Желаемый ЛАЧХ строиться так же как и в непрерывных системах

1. Wраб из эквивалетного гармонического сигнала

2. K- коэффициент усиления характеризует точность системы

3. Wсреза из Tп времени переходного процесса и перерегулирования

4. Лчх при w=wсреза имеет -1 наклон

П*(w)=Wж*(w)/Wэ*(w);

Подставляя вместо w=2/T*(z-1)/(z+1) получаем П*(z)

20. Типовые цифровые корректирующие устройства. Связь между передаточной функцией, частотной характеристикой и разностным уравнением цифрового регулятора.

W*(z) – передаточная фунция в Z плоскости

W*(w) – передаточная функция в W плоскости\

W*(w)= W*(z) при подстановке вместо z = (1+T/2*w)/(1- T/2*w)

ОТ W*(w) строятся ЛЧХ

W*(z) = X*(z)/G*(z)

W*(z) = P*(z)/Q*(z)

Q*(z)X*(z) = P*(z)G*(z) раскрывая скобки и заменяя X*z^m на x[n+m] получаем разностное уравнение

Интегрирующий цифровой фильтр

Реализует что приближенно равно x([n+1]T)-x([n+1]T)= T*f[nT] при интегрировании по методу прямоугольников

После z преобразования (z-1)X*(z)=TF*(z)

W*(z)= T/z-1 передаточная функция инт звена 1го порядка

Интегрируя по методу трапеций имеем x([n+1]T)-x[nT]=T/2(f([n+1]T)-f[nT])

Тогда W*(z) =T/2*(z-1)/(z+1)

Интегрирующий элемент повышает астатизм системы и уменьшает устойчивость

Дифференцирующие фильтры:

Повышают запас устойчивости системы.