§1 Физические модели жидкой среды.

1). Однородная - не учитывает внутреннее строение вещества.

2). Непрерывная, сплошная – длина свободного пробега молекул много меньше характерного размера явлений. Оценивается коэф. Кнудсена (l – длина свободного пробега молекулы; L – характерный размер явления). Среда сплошная если K_n<0.01. По Чепману , где - кинематическая вязкость, - средняя скорость теплового движения молекулы. Далее a – местная скорость звука, k – показатель адиабаты. тогда , обозначим (d – характерный размер, - динамическая вязкость, - плотность). Число Рейнольдса Re характеризует отношение сил инерции к силам трения, число Маха M=v/a. Итого .

3). Совершенная – уравнение состояния (Уравнение Клайперона).

4). Сжимаемость: несжимаемая жидкость или сжимаемый газ.

5). Вязкость: идеальная (невязкая) или вязкая. Показатели вязкости см. пункт 2.

6). Однофазная или двухфазная среда.

§2 Методы кинематического описания движения жидкой частицы.

1). Метод Лагранжа – описывает движение одной и той же частицы по ее траектории в разные моменты времени. При t = t₀ выбрали частицу M(x₀,y₀,z₀). В произвольный момент времени уравнеие траектории имеет вид . Y & Z аналогично. Скорость .

2). Метод Эйлера – исследует изменение параметров состояния в конкретных точках пространства с течением времени: V_x =f₁(x,y,z,t). Метод Эйлера использует линии тока.

§3 Траектория, линии тока струйка тока, вихревой шнур.

Траектория – воображаемая линия, вдоль которой движется материальная точка .

Линия тока – линия, в каждой точке которой, в рассматриваемый момент времени век­тор скорости течения совпадает по направлению с касательной в данной точке.

Для установившегося (стационарного) течения линии тока и траектория совпадают.

Уравнение линий тока.

Отсюда следует, что .

Струйка тока – масса жидкости ограниченная совокупностью линий тока, образующих поверхность тока, и двумя сечениями, обычно перпендикулярными скорости.

Вихревой шнур – масса жидкости вращающаяся по законам твердого тела.

§4 Малая жидкая частица (МЖЧ).

Жидкая частица – частица, внутри которой с наперед заданной точностью можно считать распределение параметров линейным.

Примем точка О(x_o,y_o,z_o) – полюс МЖЧ, движется в пространстве со скоростью

V_o(v_x0, v_yo, v_zo) и точка A(x_a,y_a,z_a), при этом (y_a,z_a - аналогично). Для нахождения V_xa разложим скорость в ряд Маклорена до величин второго порядка малости.

Игрековые и зетовые составляющие скорости выглядят аналогично.

§5 Теорема Гельмгольца о движении малой частицы.

Движение МЖЧ можно представить как совокупность поступательного движения вместе с полюсом, вращательным движением вокруг оси, проходящей через полюс и деформационным движением состоящим из деформации отрезка и прямого угла.

1). Линейные деформации МЖЧ /скорость линейной деформации/.

Выбираем систему координат, чтобы отрезок ОА лег на ось в начальный момент времени. В произвольный момент времени t отрезок ОА уехавший в пространстве проецируем на ось х в отрезок О₁А₁. В точке О скорость V_хо, в точке А - (dx, dy = 0). Деформация укорочения вдоль оси х ; Скорость относительной деформации отрезка .

2). Деформация прямого угла.

Выберем систему координат так, чтобы стороны прямого угла АОВ совпали с осями координат в начальный момент времени t₀ (АО//Ox, OB//Oy). В момент времени t₁ угол АОВ меняет свое положение и проецируется на координатную плоскость в угол A₁O₁B₁ В данный момент времени скорость точки О(V_xo, V_yo), точки А , точки В . Точка а – место пересечения прямой //Ох, проходящей через точку О₁ и прямой //Oy, проходящей через точку А₁. Угол – угол между прямой ОА и О₁А₁ . Аналогично .

, , .

3). Вращательное движение.

. Пусть на данный момент нет поступательного и деформационного движения, тогда

.

, , .

Примем и считаем теорему доказаной.

§6 Классификация движений жидкости.

1). Потенциальное движение. - движение, в котором отсутствует вращательная составляющая. Тогда по теореме Гельмгольца и т.д… Тогда существует некая функция координат (x,y,z) – потенциал скорости. И скорости равны первым частным производным.

2). Вихревое (непотенциальное) движение

3). Установившееся (стационарное) – в данной точке потока параметры с течением времени не изменяются (любой параметр) = 0. Но d/dt(любой параметр) не = 0.

4). Прямолинейное движение (линии тока - \\ прямые).

5). Одномерное движение – движение при котором все параметры зависят от одной координаты (может быть не прямолинейным).

6). Плоское движение – если в области течения можно выбрать такую плоскость, что во всех плоскостях ей \\ картина течения будет повторяться.

7). Осесимметричное движение - если в области течения можно выбрать прямую, такую что во всех плоскостях через нее проходящих картина течения будет повторяться.

8). Трехмерное (пространственное) движение.

§7 Уравнение неразрывности.

Догма: масса жидкости в объеме V за время t увеличится на количество проникающей в объем жидкости из вне.

Масса было через t стало . Втекло через S за t



По Остроградскому – Гауссу  .

Т.к. в любом объеме этот интеграл равен 0 значит подынтегральное выражение = 0.

- 1^ая форма уравнения неразрывности.

Для установившегося движения .

Раскроем понятие дивергенции:

 - 2^ая форма записи уравнения неразрывности.

Если жидкость несжимаема ( = const) тогда div (V)=0.

§8 Уравнение расхода.

V1S;

G=M/t=VS; =

Ограничения: 1) ограничили трубкой тока

2) рассматриваем только установившееся течения: div( =0

тогда: =0 т.е. + + =0; Последний интеграл равен 0 т.к. V_n=0 <0 >0

3)одномерное течение (осредненное)

V_1ncp_1cpS₁= V_2ncp_2cpS₂

4) сечение перпендикулярно вектору скорости.

V_1cp_1cpS₁= V_2cp_2cpS₂=G

G=VS

Вторая теорема Гельмгольца.

Вдоль тонкого вихревого шнура интенсивность (S) этого шнура остается постоянной.

= ;

div( = + + = =0

Тогда =0

Или - + = =0 (последний интеграл равен 0) + =0

₁S₁=₂S₂; т. к. ₁=const в сечении 1; ₂₌const в сечении 2.

§9 О циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру.

Г=

Г= = ==

Циркуляция по замкнутому контуру равна удвоенной сумме интенсивностей вихрей охваченных этим контуром.

V_OA=V_xO+ dx/2; V_AB=V_yO+ dx+ dy/2; V_BC=V_xO+ dy+ dx /2; V_OC=V_yO+ dy/2

dГ=V_OAdx+V_ABdy-V_BCdx-V_OCdy=V_xOdx+ (dx)²/2+V_ydy+ dxdy+ (dy)²/2-V_xdx- dydx- (dx)²/2-V­_ydy - (dy)²/2=( - )dydx=2_zdS

Г= =2 Г=2_iS_i
1 Для несжимаемой жидкости
=0 т. к. V_x= ; V_y= ; V_z=

=0= - гармоническая функция.

2 Кинетическая энергия массы несжимаемой жидкости при потенциальном движении минимальна.

3 Потенциал движения несжимаемой жидкой частицы не может иметь экстремум. Он может быть достигнут только на границе.

4 Проекция скорости как и сама скорость не имеет максимумов внутри области потенциального течения.

5 Свойство единственности значений потенциала. Значение  внутри замкнутой области определяется: а) однозначно, если  задано на границе; б) с точностью до константы, если  задано на границе.

Гидростатика.

§10 Классификация сил.

1Физическая природа: силы тяжести, трения, инерции, электромагнитные.

2По отношению к рассматриваемому объему: внутренние, внешние

3По характеру приложения: вектор плотности массовых сил ; вектор плотности объемных сил ; т. к. m=V; f_m=f_m

§11 Поверхностные силы.

Силы приложенные к частицам поверхности S, ограничивающей рассматриваемый объем V. Вектор плотности поверхностных сил - полное гидродинамическое давление. - главный вектор поверхностных сил.

§12 Общая формула для гидродинамического (гд) давления P_n.

Cвязь Р_n c P_x, P_y, P_z. (Индекс означает внешнюю нормаль к площадке, в которой возникает давление).

На плоскости S через точку М проводим нормаль n. На продолжении нормали откладываем точку О из нее проводим оси \\ х, у, z. Они пересекают S в точках А, В,С соответс. Действующие силы:

1). Сила тяжести , ;

2). Сила инерции ;

3). Поверх. силы Еще ОВС = - АВСcos(n^x);

Равнодейс. . Устремим ON0 (стянем тэтраэдр к точке М), тогда […] = 0 

. Для нахождения Р_n надо знать тензор напряжений. За давление в данной точке принимают среднее арифметическое с обратным знаком от _х, _у, _z в данной точке. p = -(_х + _{у +} _z)/3 (*). В гидростатике при движении идеальной жидкости  = 0  . Для (*) если жидкость идеальная ( = 0) и неподвижная (dV=0) с учетом формулы Ньютона найдем Р_n.

Проекция Р_n на х: 

Проекция Р_n на оси y, z . Подставим  в формулу (*)