86294 (Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами)

Міністерство освіти і науки України

Національний університет "Львівська політехніка"

Курсова робота

на тему:

"Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами"

Львів 2009р

Зміст

Вступ

1. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

2. Знаходження аналітичних виразів для параметрів сплайна з експоненціальною ланкою

3. Многочленні ермітові сплайни

4. Похибки наближення ермітовими сплайнами

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

Висновок

Список використаної літератури

Додаток

Вступ

Наближення функцій необхідне для практичних розрахунків під час проведення наукових досліджень і в багатьох областях техніки. Аналітично задані функції, які представлені складним виразом, часто необхідно замінити простішим виразом, так, щоб зберігались їх властивості. Це потрібно для обчислення функцій на ЕОМ.

Методи інтерполювання многочленом Лагранжа або Ньютона на відрізку при використанні великої кількості вузлів інтерполяції часто призводять до поганого наближення, що пояснюється значним накопиченням похибки під час обчислень. Крім того, через розбіжність процесу інтерполяції збільшення кількості вузлів не обов’язково приводить до підвищення точності.

Ще одним із способів інтерполювання на відрізку є інтерполювання з використанням сплайн функцій. Сплайн функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, що визначена на відрізку разом з певним числом неперервних похідних.

Перевага сплайнів над звичайною інтерполяцію є, по-перше, їх збіжність і, по-друге, стійкість процесу обчислення.

Ряд задач вимагає наближення не тільки самої функції, а й її похідних. Для цього використовують ермітові сплайни. З метою покращення точності наближення функцій сплайнами як ланки можна використовувати не тільки многочлени, а й нелінійні за параметрами вирази.

1. Означення ермітових сплайнів з нелінійним за параметрами виразами в ланках

Наведемо означення ермітових сплайнів з нелінійними за параметрами виразами в ланках (далі нелінійні ермітові сплайни) з парною і непарною кількістю параметрів.

На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно. Потрібно побудувати ермітовий сплайн (тобто вирази для параметрів ланки) з експоненціальною ланкою:

(1)

де - параметри ланки сплайна; - кількість параметрів .

Означення 1. Нехай . На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно. Нелінійним ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів називатимемо функцію

, (2)

яка задовольняє систему рівнянь

, (3)

де - параметри сплайна на -й ланці; - функція Хевісайда:

Із системи (3) випливає, що . Вираз називається ланкою ермітового сплайна. Похибка наближення функції за допомогою ермітового сплайна характеризується зваженою віддаллю (функцією похибки)

. (4)

Означення 2. Нехай . На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно, а на множині задані значення функції . Нелінійним ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів називатимемо функцію виду (2), яка задовольняє систему рівнянь:

(5)

Із означень випливає, що для визначення параметрів кожної ланки конкретного нелінійного ермітового сплайна необхідно розв’язати систему рівнянь (3) або (5).

2. Вивід формул для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

Сімейство цих ермітових сплайнів має ланку, яку подано виразом (1). Оскільки наближаючий вираз (1) не змінює знака, то цим виразом можна наближати функції, що не змінюють знака. Припустимо для конкретності, що . Побудуємо ланки ермітового сплайна при .

При отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

. (6)

Згідно означення 1 параметри ланки ермітового сплайна (2) з ланкою (6) задовольняють системі рівнянь (3)

(7)

де - ліва, а - права границі ланки; , . Розв’яжемо систему (7) щодо невідомих .

Із першого і третього рівнянь системи знаходимо вирази для параметра :

(8)

Прирівнюємо між собою вирази для і отримаємо вираз для :

(9)

Підставляємо перший вираз для і вираз для в друге рівняння системи (7) і отримаємо

(10)

Підставляємо другий вираз для і вираз для в четверте рівняння системи (7) і отримаємо

(11)

Ми отримали систему двох лінійних рівнянь (10) і (11) щодо двох невідомих . Розв’язавши її, отримаємо

(12)

Із формул (8), (9), (10) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (7) є виконання умови .

При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

(13)

Згідно з означенням 2 параметри ланки (13) ермітового сплайна (2) задовольняють системі рівнянь (5):

(14)

де . Розв’яжемо систему (14) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (14) знайдемо вирази для

. (15)

Прирівняємо вирази для (15) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (14), отримаємо два вирази для

, (16)

. (17)

Прирівнявши між собою вирази для із (16) і (17), отримаємо рівняння

(18)

Де

Підставивши перший вираз для (15) і перший вираз для (16) в друге рівняння системи (14) отримаємо рівняння

(19)

Де

Підставивши третій вираз для (15) і перший вираз для (16) в п’яте рівняння системи (14) отримаємо рівняння

(20)

де

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (18-20) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо

(21)

Із формул (15), (16), (17) і (21) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (13) є виконання умови .

3. Многочленні ермітові сплайни

При отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

. (22)

Означення 3. Нехай , - многочлен 3-го степеня На множині задані значення функції та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном називатимемо функцію з ланкою (22)

, (23)

яка задовольняє систему рівнянь

(24)

де - параметри сплайна на -й ланці;

Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (23) з ланкою (22) задовольняють системі рівнянь (24)

(25)

де - ліва, а - права границі ланки; , . Розв’яжемо систему (25) щодо невідомих . Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:

(26)

При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

(27)

Означення 4. Нехай , - многочлен 4-го степеня. На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно, а на множині задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь

(28)

Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):

(29)

де . Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для

. (30)

Прирівняємо вирази для (31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для

(31)

(32)

Прирівнявши між собою вирази для із (32) і (33), отримаємо рівняння

(33)

Підставивши перший вираз для (30) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння

(34)

Підставивши третій вираз для (30) і перший вираз для (31) в п’яте рівняння системи (30) отримаємо рівняння

(35)

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо

(36)

Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .

4. Похибки наближення ермітовими сплайнами

Максимальна похибка рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд

, (37)

а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів

(38)

де - кількість ланок сплайна на інтервалі , - вагова функція, - ядро похибки наближення, - дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Теорема 1. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

(39)

Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду

(40)