86118 (Суммирование расходящихся рядов), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Суммирование расходящихся рядов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86118"
Текст 2 страницы из документа "86118"
Полагая , Придем к тождеству
(4)
Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от :
Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда ( ), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
2.3 Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что
(6)
то и
Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
так что:
Взяв произвольно малое число , положим
Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что
. Тогда
Что и доказывает утверждение теоремы.
К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим
так что
и затем
(7)
Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что
. (8)
Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:
и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.
Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и
С другой стороны,
Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю
Что и завершает доказательство теоремы.
Глава 3. Метод средних арифметических
3.1 Суть метода
Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.
По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические
Если варианта при имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.
Примеры.1) Возвращаясь к ряду
Имеем здесь
так что . Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.
2) Для ряда . Частичные суммы будут (если только )
Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:
Итак, окончательно
Очевидно, : для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.
3) Наконец, пусть снова предложен ряд
Имеем при ,
и затем
Отсюда ясно, что
Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.
3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо
Действительно, из и следует, что
а тогда и
что и требовалось доказать.
Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.
Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда
для 0<x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим
[при этом следует помнить, что ].
Известно, что (для 0<x<1) или
Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:
Сумму справа разобьем на две:
Причем число N выберем так, чтобы при было
где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.
Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.
Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд
Имеет (при 0<x<1) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.
Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.
3.3 Теорема Харди-Ландау
Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если и выполняется условие
(9)
то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества
,
которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).
Харди установил, что заключение от к можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что
( ).
Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;
Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие ( ),то одновременно и
.
[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:
.
В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму
,
где n и k - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду
(10)
Если взять любое (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:
,
откуда, суммируя по m, найдем
.
Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:
. (11)
Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п будет
. (12)
Совершенно аналогично, рассматривая сумму
и проведя для (при ) оценку сверху:
,
придем к неравенству
Отсюда
Если и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу
.
Следовательно, для достаточно больших n окажется
. (13)
Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,
.
Теорема доказана.
3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда (А), дан ещё ряд
(В)
тогда ряд
(С)
и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся.
Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.
Действительно, для 0<x<1 ряд (1) равно как и ряд
оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через и . Произведение этих рядов, то есть ряд
,
По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение * . Эта сумма при стремится к АВ, ибо как мы видели, по отдельности
Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.
Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.
В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.
В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда
который получается из биномиального разложения
при х=1. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду
“обобщенная сумма" которого есть .
Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд
“обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть .
Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
4.1 Методы Г.Ф. Вороного
Пусть мы имеем положительную числовую последовательность и
Из частичных сумм ряда (А) составим выражения
Если при то А называется “обобщенной суммой” ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности .
Теорема.
Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.
Доказательство. Необходимость.
Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из всегда следует и . Если, в частности, взять ряд для которого а прочие (так что и ), то необходимо
Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из вытекает и .
Обратимся к теореме Теплица и заменим там на и на Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо
Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как
Следовательно, как и требовалось доказать, .
4.2 Обобщенные методы Чезаро
Мы уже знакомы с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро.
Фиксируя натуральное число к, Чезаро вводит варианту
и ее предел при рассматривает как “обобщенную сумму" (к-го порядка) ряда (А). При к=1 мы возвращаемся к методу средних арифметических.
В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэффициентами:
Он легко доказывается по методу математической индукции относительно n, B и если исходить из известного соотношения
. (14)
Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного. Для этого достаточно положить , ибо из (14) тогда следует, что и к тому же, очевидно,
С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин , устанавливается, что
. (15)
Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по Чезаро к-го и (к-1) - го порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование (к-1) - го порядка, так что . В силу (14) и (15) имеем
Применяя сюда теорему Теплица, причем полагаем
придем к заключению, что и . Таким образом, если ряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.
Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро (скажем к-го порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуссона-Абеля.
Доказательство. Пусть дано, что
(16)
Легко заключить отсюда, что ряд
(17)
для - 1<x<1 сходится. Действительно, так как то из (16) имеем:
Если , то
так что по теореме Коши-Адамара, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А=0.
Рассмотрим теперь ряд тождеств
2
Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке (-1,1); отсюда вытекает сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме того,
(18)
Сопоставим с этим тождеством другое:
(19)
которое имеет место в том же промежутке (-1;
1); оно получается к-кратным дифференцированием прогрессии
Умножив обе части тождества (19) на А и вычитая из него почленно равенство (18), получим наконец,
Дальнейшие рассуждения [с учетом (16)] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля и теорема Фробениуса. В результате мы и получим:
что и требовалось доказать.
Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних, даже вместе взятых.
4.3 Метод Бореля
Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам строится выражение:
Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).
Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А, а остатки через . Имеем (для достаточно больших х)
Зададимся произвольно малым числом ; найдется такой номер N, что для будет:
.
Представим последнее выражение в виде суммы,
.
Второе слагаемое по абсолютной величине , каково бы ни было х, а первое представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х, становится абсолютно при достаточно больших х. Этим все доказано.
4.4 Метод Эйлера
Пусть дан ряд . Формула, выражающая “преобразование Эйлера” выглядит следующим образом
. (20)
При этом, как было доказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами.
Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.
Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков , и иметь в виду вырыжение
для р-ой разности, то можно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы" ряда (А) берется обычная сумма ряда
(в предположении, что последний сходится)
Методы Гельдера представляют собой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простом повторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.
Заключение
В своей дипломной работе я рассмотрел методы суммирования расходящихся рядов, теоремы, вытекающие из этих методов, а также взаимосвязь этих методов между собой. Мы увидели многообразие подходов к вопросу суммирования расходящихся рядов. Регулярность каждого метода мы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имел возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих методов между собой. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся области приложимости, или, наоборот, может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду различные “обобщенные суммы”.
Теория рядов является важным и широко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечные ряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
Список использованной литературы
-
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1982.
-
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1, М., 1974.
-
Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М., 1970.
-
Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.
-
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, I, II т., М., 1966.
1 Хотя формулировка метода “обобщенного суммирования ” принадлежит Пуассону, этот метод называют всё же методом Абеля, так как Пуассон применил этот метод лишь в частном случае. Поэтому в дальнейшем мы будем называть этот метод – методом Пассона-Абеля.
2 Здесь и дальше учитываются соотношения типа (15)
1>1>1>1>1>1>