86117 (Эйлеровы графы)
Описание файла
Документ из архива "Эйлеровы графы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86117"
Текст из документа "86117"
ПОМОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В. Ломоносова
КУРСОВАЯ РАБОТА
ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ
Выполнила студентка 4 курса
42 группы математического
факультета Катышева Н.Г.
Научный руководитель:
Токаревская С.А.
Архангельск
2004
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Теоретическая часть. 4
Основные понятия теории графов 4
Маршруты и связность 6
Задача о кёнигсбергских мостах. 7
Эйлеровы графы 9
Оценка числа эйлеровых графов 13
Алгоритм построения эйлеровой цепи в данном эйлеровом графе. 14
Глава 2. Практическая часть 15
Заключение 24
Литература 25
Введение
Первая работа по теории графов, принадлежащая известному швейцарскому математику Л.Эйлеру, появилась в 1736г. Вначале теория графов казалась довольно незначительным разделом математики, так как она имела дело в основном с математическими развлечениями и головоломками. Однако дальнейшее развитие математики и особенно её приложений дало сильный толчок развитию теории графов. Уже в XIX столетии графы использовались при построении схем.
В настоящее время эта теория находит многочисленное применение в разнообразных практических вопросах: при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов, в программировании и теории игр, теории передачи сообщений. Теория графов теперь применяется и в таких областях, как экономика, психология и биология.
В этой работе мы подробнее рассмотрим эйлеровы графы, основные сведения и теоремы, связанные с этим понятием. А также задачи, которые решаются с помощью эйлеровых графов.
Глава 1. Теоретическая часть.
Основные понятия теории графов
Граф G – пара (V,X), где V конечное непустое множество, содержащее p вершин, а множество Х содержит q неупорядоченных пар различных вершин из V.
Каждую пару X={u,v} вершин в Х называют ребром графа G и говорят, что Х соединяет u и v.Мы будем писать X=uv и говорить, что u и v – смежные вершины. Вершина u и ребро Х инцидентны, так же как v и Х. Если два различных ребра X и Y инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. Граф с р вершинами и q ребрами называется (p;q)- графом. Граф (1,0)- называется тривиальным.[6]
Если элементом множества V может быть пара одинаковых элементов u, то такой элемент множества V называется петлёй.[3]
Типы графов:
-
Мультиграф, в нём не допускаются петли, но пары вершин могут соединяться более чем одним ребром, эти рёбра называются кратными (рис.1).
-
Псевдограф, в нём допускаются петли и кратные рёбра (рис.2).
Рис.1 Рис.2
-
Ориентированный граф, или орграф, состоит из конечного непустого множества V вершин и заданного набора Х упорядоченных пар различных вершин. Элементы из Х называются ориентированными рёбрами, или дугами. Нет петель и кратных дуг (рис. 3).
Рис.3
Рис.4
-
Направленный граф – это орграф, не имеющий симметричных пар ориентированных рёбер (рис.4).
-
Помеченные графы (или перенумерованные), если его вершины отличаются одна от другой какими-либо пометками. В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.[6]
Степенью вершины vi в графе G называется число рёбер, инцидентных vi ,обозначается di.[6] Для орграфа вводятся понятия степени входа и выхода. Степенью выхода вершины v называется количество рёбер, для которых v является начальной вершиной, обозначается outdeg(v). Степенью входа вершины v называется количество рёбер , для которых v является конечной вершиной, обозначается indeg(v). Если indeg(v)=0, то вершина v называется источником. Если outdeg(v)=0, то вершина v называется стоком.[1]
Маршруты и связность
Граф G/(U/,V/) называется подграфом графа G(U,V), если U/U и V/V. Обозначение: G/G.
Если V/=V, то G/ называется остовным подграфом G.[3]
Маршрутом в графе G называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер v0,x1,v1,…vn-1,xn,vn; эта последовательность начинается и кончается вершиной, и каждое ребро последовательности инцидентно двум вершинам, одна из которых непосредственно предшествует ему, а другая непосредственно следует за ним. Указанный маршрут соединяет вершины v0 и vn и его можно обозначить v0v1v2…vn (наличие рёбер подразумевается). Эта последовательность иногда называется (v0-vn)-маршрутом. Маршрут замкнут, если v0=vn, и открыт в противном случае. Маршрут называется цепью, если все его рёбра различны, и простой цепью, если все вершины (а следовательно, и рёбра ) различны. Замкнутая цепь называется циклом. Замкнутый маршрут называется простым циклом, если все его n вершин различны и n3.
Граф G называется связным, если любая пара его вершин соединена простой цепью.[6]
Задача о кёнигсбергских мостах.
Отцом теории графов является Эйлер (1707-1782), решивший в 1736г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой Кёнигсбергских мостов. В городе Кёнигсберге (ныне Калининград) было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке 5. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырёх частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту.
Рис.5.
Легко, конечно попытаться решить эту задачу эмпирически, производя перебор всех маршрутов, но все попытки окончатся неудачей. Исключительный вклад Эйлера в решение этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность такого маршрута.
Для доказательства того, что задача не имеет решения, Эйлер обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром), соединяющей соответствующие точки. Получился “граф”. Этот граф показан на рисунке 6, где точки отмечены теми же буквами, что и четыре части суши на рисунке 5.
Рис.6.
Утверждение о не существовании “положительного” решения у этой задачи эквивалентно утверждению о невозможности обойти специальным образом граф, представленный на рисунке 6.
Отправляясь от этого частного случая Эйлер обобщил постановку задачи и нашёл критерий существования обхода у данного графа, а именно граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна чётному числу рёбер.[6]
Эйлеровы графы
Решение Эйлером задачи о Кёнигсбергских мостах привела к первой опубликованной работе по теории графов. Задачу об обходе мостов можно обобщить и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти в данном графе G цикл, содержащий все вершины и все рёбра? Граф, в котором это возможно, называется эйлеровым. Таким образом, эйлеров граф имеет эйлеров цикл – замкнутую цепь, содержащую все вершины и все рёбра. Ясно, что эйлеров граф должен быть связным.[6]
Если снять ограничения на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым.
Теорема 1(критерий):
Граф с более чем одной вершиной имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и каждая его вершина имеет чётную степень.
Доказательство: Предположим, что граф G имеет эйлеров цикл. Граф является связным, так как каждая вершина принадлежит циклу. Для всякой вершины v графа G каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через v, он вносит 2 в степень v. Поэтому степень v чётная.
Обратно, нужно показать, что каждый связный граф, у которого степени вершин чётные, имеет эйлеров цикл. Докажем эту теорему, используя индукцию по числу вершин. Поскольку теорема тривиально справедлива при n3, начнём индукцию с n=3. Предположим, что каждый связный граф, имеющий менее k вершин, и все вершины которого обладают чётной степенью, содержит эйлеров цикл. Пусть G – связный граф, содержащий k вершин, степени которых чётные. Допустим, что v1 и v2 - вершины графа G. Поскольку граф G – связный, существует путь из v1 в v2 .Поскольку степень v2 – чётная, существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путь. Поскольку граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в v1 , и эйлеров цикл С1 можно считать построенным. Если С1 является эйлеровым циклом для G, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть G/ - подграф графа G, полученный удалением всех рёбер, принадлежащих С1. Поскольку С1 содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, каждая вершина подграфа G/ имеет чётную степень.
Пусть e – ребро графа G/ , пусть Ge – компонента графа G/ , содержащая е. Поскольку G/ имеет менее, чем k, вершин, и у каждой вершины графа G/ чётная степень, граф G/ имеет эйлеров цикл. Пусть С2 . Далее у С1 и С2 имеется общая вершина, допустим, а. Теперь можно продолжить эйлеров цикл, начиная его в а, пройти С1 , вернуться в а, затем пройти С2 и вернуться в а. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для G , продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, к конце концов, не получим эйлеров цикл для G .[1]
Из теоремы 1 следует, что если в связном графе G нет вершин с нечётными степенями, то в G есть замкнутая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G. Аналогичный результат справедлив для связных графов, имеющих некоторое число вершин с нечётными степенями.
Следствие 1(а): Пусть G- связный граф, в котором 2n вершин имеют нечётные степени, n>1. Тогда множество рёбер графа G можно разбить на n открытых цепей.
Следствие 1(б): Пусть G- связный граф, в котором две вершины имеют нечётные степени. Тогда в G есть открытая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G (и начинающаяся в одной из вершин с нечётной степенью, а кончающаяся в другой).[6]
Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа. Эйлеров путь называется собственным, если он не является эйлеровым циклом.[1]
Теорема 2: Если граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В (А не совпадает с В), то граф G связный и А и В – единственные нечётные его вершины.
Доказательство: Связность графа следует из определения эйлерова пути. Если путь начинается в А, а заканчивается в другой вершине, то и А и В – нечётные даже если путь неоднократно проходил через А и В. В любую другую вершину графа путь должен был привести и вывести из неё, то есть все остальные вершины должны быть чётными.