85920 (Нарисна геометрія), страница 3

Рисунок 1.31 – Поверхні обертання

5.1 Точки на поверхнях

Для побудови проекції точки, яка належить поверхні, за заданою проекцією необхідно перш за все з’ясувати, якому елементу поверхні точка належить.

Якщо точка належить поверхні призми чи піраміди, то для побудови другої проекції точки достатньо провести лінії проекційного зв’язку. При побудові проекцій точок, які належать будь-якій поверхні, необхідно пам’ятати про видимість. Невидимі проекції точок позначають у дужках, наприклад, (А₁) – горизонтальна проекція точки А невидима.

Рисунок 1.32 – Точки на поверхнях

На рисунку 1.32 наведені приклади побудови горизонтальних проекцій точок, які належать поверхням піраміди та циліндра. Задані фронтальні проекції точок. Для побудови горизонтальних проекцій точок необхідно провести лінії зв’язку на відповідні елементи поверхонь з урахуванням видимості. У наведених прикладах для поверхні призми фронтальна проекція точки А видна, її горизонтальна проекція – невидна. На поверхні циліндра – фронтальна та горизонтальні проекції точки А не видні.

Для визначення точок, які належать поверхням піраміди або конуса, необхідно виконати допоміжні побудови.

Якщо точка належить ребру піраміди, то для побудови другої проекції точки необхідно провести лінію зв’язку на відповідне ребро. У наведеному на рисунку 1.33а прикладі шукана точка D знаходиться на ребрі SC. За умовами задачі задана фронтальна проекція точки D. Для побудови її горизонтальної проекції достатньо провести лінію зв’язку на горизонтальну проекцію ребра SC.

а) б)

Рисунок 1.33 – Точки на поверхні піраміди

Якщо точка належить грані піраміди, то через задану точку у відповідній грані необхідно провести допоміжну пряму.

У наведеному прикладі задана фронтальна проекція точки R. Точка R належить грані SAC. Для побудови її горизонтальної проекції послідовно виконують такі дії:

• через задану точку на грані SAC провести фронтальну проекцію допоміжної прямої SD;

• побудувати горизонтальну проекцію допоміжної прямої (S₁D₁);

• по лінії проеційного зв’язку визначити горизонтальну проекцію точки R на грані ASC.

5.2 Перетин поверхонь проеціювальними площинами

Якщо будь-яку геометричну поверхню перетнути проеціювальною площиною, то одна з проекцій лінії перетину очевидна – це відрізок прямої лінії, який збігається з проекцією проеціювальної площини. Другу проекцію лінії перетину будують за точками, які їй належать.

Якщо проеціювальна площина перетинає поверхню призми або циліндра, ніякі побудови не виконуються, а лише позначаються проекції лінії перетину. На рисунку 1.34 наведені приклади побудови проекцій лінії перетину призми та циліндра фронтально-проеціювальними площинами та визначена натуральна величина перерізів способом заміни площин проекцій (для призми) та способом плоскопаралельного переміщення (для циліндра).

а) б)

Рисунок 1.34 – Перетин призми та циліндра фронтально-проеціювальними площинами

Горизонтальна проекція фігури перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною наведена на рисунку 1.35 Для її побудови проведені лінії проеційного зв’язку на відповідні ребра піраміди. Натуральна величина фігури перетину визначена способом плоскопаралельного переміщення.

Рисунок 1.35 – Перетин піраміди фронтально-проеціювальною площиною

Фігура перерізу конуса фронтально-проеціювальною площиною залежить від положення січної площини відносно елементів конуса. На рисунку 1.36 наведені приклади побудови перерізів конуса фронтально-проеціювальними площинами.

Рисунок 1.36 – Переріз конуса проеціювальними площинами

При виконанні контурів машинобудівних креслень можливі варіанти, коли необхідно побудувати перетин складного тіла проеціювальною площиною (рис. 1.37а) та визначити натуральну величину перерізу. Пропоноване на рисунку 1.37а тіло складається із послідовно встановлених одну на одну шестигранної призми, циліндра та тригранної піраміди.

а) б)

Рисунок 1.37 – Переріз складного тіла фронтально-проеціювальною площиною

Для розв’язання цієї задачі необхідно перш за все побудувати профільну проекцію пропонованого тіла (рис. 1.37б) – вигляд зліва.

Переріз піраміди фронтально-проеціювальною площиною – чотирикутник 1234. Фронтальна проекція його – це відрізок, обмежений точками 1₂≡2₂ та 3₂≡4₂, який визначається без зайвих побудов. Горизонтальну та профільну проекції чотирикутника одержують по лініях проеційного зв’язку, визначаючи точки на відповідних елементах піраміди: точки 1 та 2 належать ребрам, а 3 та 4 – основі піраміди. На рисунку 1.38а, б та в наведена поетапна побудова фігури перерізу піраміди заданою площиною.

а) б)

в)

Рисунок 1.38 – Побудова проекцій перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною

Переріз циліндра даною площиною – еліпс, зрізаний з двох сторін прямими лініями, обмежений точками 5 – 10. Фронтальна проекція фігури перерізу (рис. 1.39) – відрізок, обмежений точками 5₂ ≡ 6₂ та 9₂ ≡ 10₂. Горизонтальні проекції точок 5 – 10 знаходять по лініях проеційного зв’язку на горизонтальній проекції циліндра (коло). Профільні проекції точок 5 – 10 визначають по лініях проеційного зв’язку (рис. 1.39), проведених із точок 5₂≡6₂, 7₂≡8₂ та 9₂≡10₂. Відстань точок від осі симетрії виміряють на горизонтальній площині та відкладають на відповідній ліній проеційного зв’язку. Шукані профільні проекції точок, належних фігурі перерізу, послідовно з’єднують плавною кривою лінією.

Рисунок 1.39 – Побудова проекцій перерізу циліндра фронтально-проеціювальною площиною

Фігура перерізу шестигранної призми заданою фронтально-проеціювальною площиною – чотирикутник, обмежений точками 11, 13, 14 та 12.

Фронтальна проекція фігури перерізу – це пряма лінія, яка обмежена точками 11₂ ≡ 12₂ та 13₂ ≡ 14₂ (рис. 1.40).

Горизонтальні проекції точок 11, 12, 13 та 14 визначені по лініях проекційного зв’язку в перетині з контуром горизонтальної проекції шестигранної призми (рис. 1.40).

Рисунок. 1.40 – Побудова проекцій фігури перерізу призми фронтально-проеціювальною площиною

Профільні проекції точок 11, 12, 13 та 14 одержують по лініях проеційного зв’язку на відповідних ребрах шестигранної призми (рис. 1.40). Так, точки 11 та 12 належать верхній основі призми, а точки 13 та 14 – бічним ребрам. Для визначення профільних проекцій точок 13 та 14 достатньо з фронтальних проекцій цих точок провести лінії зв’язку до перетину з відповідними ребрами. Для визначення положення профільних проекцій точок 11 та 12 необхідно з фронтальної проекції їх (точка 11₂ ≡ 12₂) провести лінії зв’язку, на яких відкласти відстані, які виміряються на горизонтальній площині проекцій (на рисунку 1.40 це відстані від горизонтальної осі симетрії поверхні вниз та вверх відповідно до точок 13₁ та 14₁).

Натуральну величину фігури перерізу пропонованої деталі заданою фронтально-проеціювальною площиною найпростіше визначити способом плоскопаралельного переміщення (рис. 1.41). Для цього фронтальну проекцію фігури перерізу – пряму лінію разом з точками 1₂ – 14₂, які їй належать, розмістити на вільному місці креслення паралельно осі х. Горизонтальні проекції нового положення точок 1 –14 одержують в перетині ліній проеційного зв’язку, які проведені з нового положення фронтальної проекції фігури перерізу, з прямими, які проведені паралельно осі, з горизонтальних проекцій точок 1 – 14 (рис. 1.41).

Рисунок 1.41 – Визначення натуральної величини фігури перерізу поверхні фронтально-проеціювальною площиною

6. Побудова розгорток

У різних галузях техніки та будівництва при виготовленні виробів з листового матеріалу часто мають справу з розгортками поверхонь.

Одержують ці розгортки за допомогою послідовного суміщення елементів поверхні з площиною.

6.1 Побудова розгортки піраміди

Щоб побудувати розгортку тригранної піраміди, необхідно перш за все визначити натуральні величини ребер піраміди одним із способів перетворення комплексного креслення. Найпростіше це виконати способом плоскопаралельного переміщення. Для цього на вільному місці креслення розмістити, наприклад, горизонтальні проекції бічних ребер так, щоб вони стали паралельні осі Х. Зважаючи на те, що кожне ребро має спільну точку – вершину S, зручніше накладати одне ребро на інше (рис. 1.42). Натуральну величину ребер одержують на фронтальній площині проекцій у перетині ліній проеційного зв’язку, які проведені з кінців кожного ребра, з лініями, які проведені паралельно осі з кінців фронтальних проекцій ребер (рис. 1.42).

Рисунок 1.42 – Визначення натуральної величини ребер піраміди

Розгортку піраміди будують способом тріангуляції. Для цього з довільно вибраної точки S провести промінь, на якому відкласти натуральну величину будь-якого ребра (рис. 1.43а), наприклад, SA (натуральну величину виміряють на фронтальній площині проекцій).

Для побудови грані, наприклад ASB, необхідно визначити положення точки В за двома заданими А та S (рис. 1.43б)). Точку В визначають у перетині дуг, які проведені із точок А та S та дорівнюють натуральним величинам відповідно до сторони основи АВ (виміряються на горизонтальній площині проекцій, оскільки основа паралельна горизонтальній площині проекцій) та бічного ребра ВS, натуральна величина якого визначена на фронтальній площині проекцій.

а) б)

Рисунок 1.43 – Побудова грані SAB способом тріангуляції

Інші дві грані (SBC таSCA) бічної поверхні піраміди будують так само, як грань ASB (рис. 1.44).

Рисунок 1.44 – Розгортка бічної поверхні піраміди

Для завершення побудови повної розгортки піраміди необхідно до будь-якої грані, наприклад до грані ASB, добудувати трикутник основи (рис. 1.45).

Рисунок 1.45 – Повна розгортка піраміди

6.2 Розгортка призми

Розгортка поверхні призми складається із розгортки бічної поверхні – це прямокутники, кількість яких залежить від форми основи призми, та двох основ (рис. 1.46).

Рисунок 1.46 – Розгортка призми

Кожний прямокутник має розміри сторін: висота призми, натуральна величина якої виміряється на фронтальній площині проекцій та відповідну сторону основи, натуральна величина якої виміряється на горизонтальній площині проекцій.

6.3 Розгортка циліндра

Розгортка циліндра складається з бічної поверхні, яка є прямокутником, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра, а інша – довжині кола основи циліндра (2πR), та двох основ циліндра – кола радіусом R (рис. 1.47).

Рисунок 1.47 – Розгортка циліндра

При виконанні розгортки циліндра її поверхню апроксимують призмою. Для цього коло основи поділяють на кілька рівних частин (наприклад, на вісім). Тоді при побудові прямокутника бічної поверхні на горизонтальній прямій відкладають хорду кола стільки разів, на скільки частин поділене коло (рис. 1.48).

Рисунок 1.48 – Побудова розгортки циліндра

6.4 Розгортка конуса

Розгортка конуса складається з бічної поверхні, що є сектором кола, радіус якого дорівнює твірній, а кут визначається за формулою α = 360⁰R/l, та основи конуса.

При побудові розгортки конуса її поверхню найчастіше апроксимують поверхнею піраміди. Для цього основу поділяють на кілька рівних частин (на рисунку 1.49а – на вісім).

Прямий конус має однакові твірні, натуральною величиною яких є твірні, що обмежують фронтальну проекцію конуса (рис. 1.49а).

Нахилений конус має різні твірні. Натуральну величину мають твірні, що обмежують фронтальну проекцію конуса. Натуральну величину всіх інших твірних визначають способом обертання навколо проеціювальної осі (рис. 1.49б).

а) б)