85920 (Нарисна геометрія), страница 2

Площини особливого положення поділяють на площини проеціювальні та площини рівня.

Якщо задана площина перпендикулярна до однієї з площин проекцій, то вона на неї проектується у вигляді відрізка. Такі площини називаються проеціювальними. Залежно від того, якій площині проекцій задані площини перпендикулярні, їх називають горизонтально – проеціювальними (рис. 1.19а), фронтально – проеціювальними (рис. 1.19б) та профільно-проеціювальними (рис. 1.19в).

а) б) в)

Рисунок 1.19 – Площини проеціювальні

Площини рівня – це площини, які перпендикулярні одночасно до двох площин проекцій, тобто паралельні третій площині проекцій, на яку вони проектуються у натуральну величину.

Залежно від того, якій площині проекцій задана площина паралельна, площини називають площинами горизонтального рівня (рис. 1.20а), фронтального рівня (рис. 1.20б) та профільного рівня (рис. 1.20в).

а) б) в)

Рисунок 1.20 – Площини рівня

3.3 Належність точки та прямої площині

1 Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, які їй належать (рис. 1.21а).

а) б)

Рисунок 1.21 – Належність прямої площині

2 Пряма належить площині, якщо вона проходить через точку, яка належить цій площині та паралельна прямій, яка знаходиться у площині (рис. 1.21б).

Точка належить площині, якщо вона знаходиться на прямій, належній площині. На рисунку 1.22а точка 1 належить площині трикутника АВС, оскільки точка належить стороні АВ трикутника АВС. На рисунку 1.22б точка 2 не належить площині трикутника АВС.

а) б)

Рисунок 1.22 – Належність точки прямій

3.4 Головні лінії площини

До прямих, які займають особливе положення, відносять горизонталі, фронталі, профільні прямі та прямі найбільшого нахилу до площин проекцій.

Горизонталями площини (h) називають прямі, які належать площині та паралельні горизонтальній площині проекцій. На рисунках 1.23а (площина задана прямою та точкою, яка не належить цій площині) та 1.23б (площина задана слідами) наведені приклади побудови горизонталей площин.

Побудову горизонталі починають з її фронтальної проекції (h₂), оскільки вона паралельна осі Х_12. Горизонтальну проекцію (h₁) визначають по лініях проеційного зв’язку.

а) б)

Рисунок 1.23 – Побудова горизонталі площини

Фронталями площини (f) називають прямі, які належать площині та паралельні фронтальній площині проекцій. На рисунку 1.24а та б наведені приклади проведення фронталей площин, які задані різними способами.

Побудову фронталі починають з її горизонтальної проекції (f₁), оскільки вона паралельна осі Х₁₂, її фронтальну проекцію (f₂) визначають по лініях проеційного зв’язку.

а) б)

Рисунок 1.24 – Побудова фронталі площини

Профільними прямими називають прямі, які належать площині та паралельні профільній площині проекцій.

Лініями найбільшого нахилу до площини проекцій називають прямі, які належать заданій площині та паралельні горизонталі, фронталі або профільній прямій. Лінії найбільшого нахилу до площин проекцій дають можливість визначати кути нахилу до відповідних площин проекцій.

4. Перетворення комплексного креслення

Аналізуючи положення прямих та площин стосовно площин проекцій зрозуміло що, лише у тому випадку, коли вони займають особливе положення (рисунки 1.8, 1.10, 1.20), на одній (або двох) площині проекцій матимемо натуральну величину. Якщо прямі чи площини займають загальне положення, натуральної величини бути не може. Для визначення натуральної величини розмірів площини чи відрізка існує кілька способів: заміна площин проекцій, обертання навколо проеціювальної осі, обертання навколо прямої рівня, плоскопаралельне переміщення.

Щоб визначити натуральну величину геометричного об’єкта, необхідно або змінити систему площин проекцій так, щоб об’єкт зайняв особливе положення, або розвернути сам об’єкт у просторі так, щоб він зайняв особливе положення стосовно існуючої системи площин проекцій.

4.1 Спосіб заміни площин проекцій

Суть способу полягає в тому, що положення геометричного об’єкта у просторі залишається незмінним, а одну з площин проекцій замінюють новою, яка створює з другою площиною проекцій нову систему взаємно перпендикулярних площин, відносно якої геометричний об’єкт займе особливе положення. Замін може бути декілька. Способом заміни площин можна розв’язувати багато позиційних та метричних задач нарисної геометрії.

Приклад 2 Визначити натуральну величину відрізка АВ.

Рисунок 1.25 – Визначення натуральної величини відрізка способом заміни площин проекцій

Для визначення натуральної величини відрізка необхідно ввести допоміжну площину проекцій П₄, яка перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій та паралельна відрізку АВ.

Площина П₄ вводиться на будь – якій відстані від відрізка АВ. На комплексному кресленні достатньо провести нову вісь Х₁₄ паралельно горизонтальній проекції відрізка АВ та з А₁ та В₁ провести лінії зв’язку, перпендикулярні до осі Х_14, на яких відкласти віддалення від горизонтальної площини проекцій, які вимірюються на площині П₂ (зроблені позначки однією та двома рисками). На рисунку 1.25 позначений кут нахилу (a) прямої АВ до горизонтальної площини проекцій – це буде кут між НВ прямої АВ та прямою паралельною осі Х₁₄.

Щоб визначити кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій, необхідно ввести площину, перпендикулярну до площини П₂ та паралельну відрізку АВ.

Приклад 3 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.26).

Рисунок 1.26 – Визначення натуральної величини трикутника способом заміни площин проекцій

Для розв’язання задачі двічі виконують заміну площин проекцій.

Перша заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у проеціювальну площину. Для цього необхідно нову вісь Х₁₄ провести перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі (h₁) – це ознака того, що трикутник перпендикулярний до нової площини проекцій (П₄), на яку він проектується у відрізок.

Друга заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у площину рівня. Для досягнення цього необхідно нову вісь Х₄₅ провести паралельно відрізку, в який спроектувався трикутник АВС.

Відстані, які необхідно виміряти та відкласти від нових осей, позначені відповідними лініями.

4.2 Спосіб обертання навколо проеціювальної осі

Суть способу полягає в тому, що система площин проекцій залишається незмінною, а геометричний елемент змінює своє положення у просторі, займаючи особливе положення відносно площин проекцій. Усі точки геометричного об’єкта обертаються у площинах, паралельних тій площині проекцій, відносно якої вісь обертання перпендикулярна. Якщо вісь обертання перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій, то на комплексному кресленні всі горизонтальні проекції точок геометричного об’єкта пересуваються по

колах, а фронтальні проекції – по прямих, паралельних осі Х.

Приклад 4 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.27).

Рисунок 1.27 – Визначення натуральної величини трикутника способом обертання навколо проеціювальної осі

Для визначення натуральної величини трикутника АВС необхідно провести горизонталь площини.

Першим обертанням трикутник переведено у проеціювальне положення. Обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку А, перпендикулярної до площини П₁.

Друге обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку В, перпендикулярно до площини П₂. Трикутник переведений у положення паралельності площині П₁, тому горизонтальна проекція трикутника – це його натуральна величина.

Основним недоліком способу обертання навколо проеціювальної осі є накладання одного зображення на інше. При розв’язанні задач способом плоскопаралельного переміщення цього недоліку немає.

4.3 Спосіб плоскопаралельного перенесення

Суть способу полягає в тому, що система площин залишається незмінною, а геометричний об’єкт займає особливе положення відносно площин проекцій, що дає можливість розв’язувати позиційні та метричні задачі. Цей спосіб вважають винятковим способом обертання навколо проеціювальної осі. На комплексному кресленні одна з проекцій геометричного об’єкта, не змінюючи своїх розмірів, змінює своє положення відносно осі Х₁₂. Тоді всі точки другої проекції пересуваються по прямих, паралельних осі Х₁₂.

Приклад 5 Визначити натуральну величину відрізка АВ.

Рисунок 1.28 – Визначення натуральної величини відрізка способом плоско паралельного переміщення

У даному прикладі для визначення натуральної величини відрізка способом плоскопаралельного переміщення горизонтальну проекцію відрізка (А₁ В₁) розміщують на вільному місці креслення паралельно осі Х₁₂. Фронтальна проекція відрізка АВ буде його натуральною величиною. Для її побудови необхідно з фронтальних проекцій точок А₂ та В₂ провести лінії, паралельні осі Х₁₂ до перетину з лініями проекційного зв’язку, проведених від горизонтальних проекцій цих точок.

Приклад 6 Визначити натуральну величину трикутника АВС.

Рисунок 1.29 – Визначення натуральної величини трикутника способом плоскопаралельного переміщення

Щоб визначити натуральну величину трикутника АВС, необхідно спочатку перетворити площину загального положення в площину проеціювальну (у наведеному прикладі – фронтально – проеціювальну), а потім у площину рівня (на рисунку 1.29 – це площина горизонтального рівня). Для виконання таких перетворень перш за все необхідно провести горизонталь площини трикутника.

Щоб перетворити площину загального положення у площину фронтально проеціювальну, необхідно горизонтальну проекцію трикутника розмістити так, щоб горизонталь його стала перпендикулярна до осі Х. У цьому разі всі фронтальні проекції вершин трикутника будуть пересуватися паралельно осі Х до перетину з лініями зв’язку, проведеними з горизонтальних проекцій вершин трикутника АВС. На фронтальну площину проекцій трикутник проектується у вигляді відрізка прямої лінії.

Щоб перетворити площину фронтально-проеціювальну у площину горизонтального рівня, необхідно фронтальну проекцію трикутника (відрізок прямої) розмістити паралельно осі Х – тоді горизонтальні проекції вершин трикутника будуть пересуватися паралельно осі Х до перетину з відповідними лініями зв’язку. Горизонтальна проекція трикутника – це натуральна величина його.

5. Поверхні

Світ поверхонь багатогранний та різноманітний. Із усього різноманіття найбільш поширеними є багатогранники та поверхні обертання.

Багатогранниками називають поверхні, які обмежені площинами (гранями). До багатогранників відносять призми та піраміди (рис. 1.30).

Рисунок 1.30 – Багатогранники

Залежно від того, яка геометрична фігура є основою багатогранника, їх називають тригранними, чотиригранними, п’ятигранними призмами чи пірамідами.

Поверхні обертання утворені обертанням твірної (прямої або кривої лінії) навколо нерухомої осі. До поверхонь обертання відносять конус, циліндр, сферу, тор. На рисунку 1.31 наведені комплексні креслення конуса, циліндра, сфери та тора.