85776 (Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях), страница 10
Описание файла
Документ из архива "Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85776"
Текст 10 страницы из документа "85776"
Математическую форму поставленной задачи изучим на следующем числовом примере (см. таблицу 2.5).
Таблица 2.5
| Виды сырья | Запасы сырья | Виды продукции | |||
| | | ||||
| | 19 | 2 | 3 | ||
| | 13 | 2 | 1 | ||
| | 15 | 0 | 3 | ||
| | 18 | 3 | 0 | ||
| Доход | 7 | 5 | |||
Допустим, что предприятие выпускает 
единиц продукции вида 
и 
единиц продукции вида 
. Для этого потребуется 
единиц сырья 
(на основании таблицы 2.5). Так как в наличии имеется всего 19 единиц сырья , то должно выполняться неравенство 
. Неравенство, а не точное равенство появляется в связи с тем, что максимальный доход может быть достигнут предприятием и в том случае, когда запасы сырья вида используются не полностью.
Аналогичные рассуждения, проведённые для остальных видов сырья, позволяют записать следующие неравенства:
(сырьё 
)
(сырьё 
)
(сырьё 
).
При этих условиях доход 
, получаемый предприятием, составит 
.
Таким образом, математически рассматриваемую экономическую ситуацию можно сформулировать так.
Дана система
четырёх линейных неравенств и линейная целевая функция
.
Требуется среди неотрицательных решений системы (4) выбрать такое, при котором целевая функция принимает наибольшее значение (максимизировать).
Рассмотрим на примере ещё несколько игр.
Игра Морро. Игроки показывают одновременно 1 или 2 пальца и в тоже время называют число. Если число, названное одним игроком, совпадает с общим числом пальцев, то игрок получит от своего противника выигрыш, равный этому числу. Если оба угадают верно, то чистый платёж будет равен нулю.
|
|
|
|
| |
|
| 0 | 2 | -3 | 0 |
|
| -2 | 0 | 0 | 3 |
|
| 3 | 0 | 0 | -4 |
|
| 0 | -3 | 4 | 0 |
Оборона города («Игра полковника Блотто»)
Полковник Блотто имеет m полков, а его противник – n полков. Противник защищает 2 позиции. Позиция будет защищена полковником, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам тре6уется распределить полки между двумя позициями. Если игрок 1 (полковник) имеет на позиции больше полков, то выигрыш равен числу полков противника плюс один (занимаемая позиция равносильна захвату одного полка). Если у противника (игрока 2) больше полков на позиции, то игрок 1 таким образом теряет свои полки на этой позиции и ещё единицу. Если обе стороны имеют одинаковое количество полков на позиции, то имеет место ничья. Посмотрим на стратегии игроков.
Игрок 1 имеет следующие стратегии:
- послать все полки на первую позицию
- послать 
полков на первую позицию, а 
полков – на вторую позицию и т.д.
- послать все полки на вторую позицию
Игрок 2 имеет такие стратегии:
- послать все полки на первую позицию
- послать 
полков на первую позицию, а полков – на вторую позицию и т.д.
- послать все полки на вторую позицию
Пусть m=4, n=3. Тогда рассмотрев всевозможные ситуации, получим матрицу выигрышей, для этой игры
| Игрок 1 Игрок 2 |
|
|
|
|
|
| 4 | 2 | 1 | 0 |
|
| 1 | 3 | 0 | -1 |
|
| -2 | 2 | 2 | -2 |
|
| -1 | 0 | 3 | 1 |
|
| 0 | 1 | 2 | 4 |
Основная задача линейного программирования.
Любую задачу линейного программирования можно свести к ОЗЛП (основной задаче линейного программирования). Основной принцип данной задачи таков: найти такие неотрицательные значения переменных 
, которые удовлетворяли условиям – равенствам
и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных: 
. Если функцию L требуется обратить в минимум, то для этого нужно изменить знак этой функции (т.е. максимизировать не L, а 
). Рассмотрим конкретный пример, объясняющий эту позицию.
Пример. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных 
, удовлетворяющих ограничениям – неравенствам 
и обращающие в максимум линейную функцию 
. Приведём условия в фигурной скобке к стандартному виду. Получим 
(1). А теперь обозначим левые части неравенств через y1 и y2 => 
(2). Из условий (1) и (2) следует что переменные y1 и y2 тоже должны быть неотрицательными.
Выводы
-
Представлены основные понятия теории игр и исследования операций.
-
Приведены примеры игр в чистой и смешанной стратегиях (задача Борьба двух предприятий за рынок продукции региона»).
-
Представлена основная теорема Теории игр (с доказательством) и использован принцип сведения теоретико-игровой модели к ЗЛП (задаче линейного программирования)
-
В работе приведена серия задач, связанных с теорией игр и исследованием операций (в частности – основная задача линейного программирования).
-
Раскрыто современное понятие «Принятие решений» на основе математических методов и моделей Теории игр
ЛИТЕРАТУРА
-
Борисова С.П., Власова И.А., Коваленко А.Г. Теория игр и исследование операций – Издательство «Самарский университет», 2006.
-
Берж Л. Общая теория игр нескольких лиц – М.: ГИФМЛ, 1961. 327.стр.
-
Барсов А.С. Линейное программирование в технико-экономических задачах. М.: Наука, 1964. – 278 с.
-
Воробьёв Н.Н. Матричные игры – М.: Физматгиз, 1961.
-
Власов Д.А., Монахов Н.В., Монахов В.М. Математические модели и методы внутримодельных исследований – Издательство «Альфа», 2007.
-
Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология – М.: Дрофа, 2006. 208 страниц.
-
Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения) – М., 1961.
-
Гамецкий А.Ф., Слободенюк В.А., Спиридонова Г.В. Теория игр, исследование операций – Издательство КГУ, 1987.
-
Громенко Г.Н. Теория игр – М.: Издательство МГОУ, 2005. 198 стр.
-
Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр – М.: Наука, 1989. 310 стр.
12. Давыдов Э.Г. Исследование операций: учебное пособие – М., 1990.
13. Зайченко Ю.П. Исследование операций – Киев, 1979. 278 стр.
14. Краснов М.Л., Киселёв А.И. Высшая математика, том 5 – М.: Издательство ЛКИ, 2007. 300 стр.
15. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике - СПб.: Издательство СПбГУ. 394 стр.
16. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике – М., 1964. 400 стр.
17. Льюис Р.Д., Райфа Г. Игры и решения. – М.: ИЛ, 1961 285 стр.
18. Лагунов В.Н. Игры преследования и введение в теорию игр. Т., 1993
19. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. – М.: Физматгиз, 1960.
20. Малыхин В.И.. Статкус А.В. Теория принятия решений. МИУ, М., 1989. 382 стр.
21. Мулен Э Теория игр с примерами из математической экономики - М.: Мир 1985.
-
Нейман Дж. Фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение – М.: Издательство «Наука», 2007. 420 стр.
23. Нестеров Е.П. Транспортные задачи линейного программирования – М.: Транспорт 1971. 216 стр.
24. Оуэн Г. Теория игр - М.: Издательство ЛКИ, 2007. 232 стр.
25. Петросян Л.А. Теория игр – М.: Издательство «Высшая школа», 1998.
26. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций – М.: Издательство «Гелиос» АРВ, 2006. 368 страниц.
27. Парфёнов Г.Н. Принципы теории игр – Издательство СПбГУ, 2001.
28. Секацкий В.В., Худякова Г.И. Элементы теории матричных игр в курсе математики.// Ярославский педагогический вестник. 2000, №1(23).
29. Терехов Л.Л. Применение математических методов в экономике – М.: Статистика, 1968. 188 стр.
30. Таха Х. Введение в исследование операций – М.: издательство «Вильямс», 2001.
31. Фатхутдинов Р.А. Управленческие решения – М.: нфра 2007.
32. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ – М.: Мир, 1989. 427 стр.
33. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике – М.: издательство БЕК, 2002. 144 стр.
34. Шикин Е.В. От игр к играм – М.: УРСС, 1997. 149 стр.
35. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы, приложения – М.: «Наука», 1969. 364 стр.
36. Яновская Е.Б. Антагонистические игры // Проблемы кибернетики. – М.: Наука, 1978. С. 221 – 246.
