Определение и простейшие свойства измеримой функции

Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа - и + . Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами

- ,

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

+ ±a=+ , + +(+ )=+ , + -(- )=+ ,

- ±a=- , - +(- )=- , - -(+ )=- ,

½+ ½=½- ½=+ , + ×a=a×(+ )=+ ,

- ×a=a×(- )=- , если a>0,

+ ×a=a×(+ )=- ,

- ×a=a×(- )=+ , если a<0

0×(± )=(± )×0=0,

(+ )×(+ )=(- )×(- )=+ ,

(+ )×(- )=(- )×(+ )=- ,

=0.

Здесь a обозначает вещественное конечное число. Символы

+¥-(+¥), -¥-(-¥), +¥+(-¥), -¥+(+¥).

,

мы считаем лишенными смысла.

Имея дело с функцией f (x), заданной на множестве E, мы будем символом

E(f>a)

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(f³а), Е(f=а), Е(f£а), Е(а

и т.п. Если множество, на котором задана функция f(x), обозначено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы соответственно будем писать

А(f>а), В(f>а)

и т.п.

Определение 1. Функция f(x), заданная на множество Е, называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при любом конечном а измеримо множество

Е(f>а).

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Теорема 2. Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f(x), рассматриваемая только для xÎА, измерима.

Действительно, А(f>а) =А×Е (f>а).

Теорема 3. Пусть f(x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Е_k :

E= ×

Если f(x) измерима на каждом из множеств E_R., то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если

mE (f¹g)=0

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:

f (x) ~g(x).

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е₀ множества Е. Если mЕ₀ = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е₀ может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f(х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g(x) ~ f(x), то g(x) также измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f ¹ g), B = E – A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f(x) = c, то функция f(x) измерима.

Действительно,

E (f > a) =

Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с₀ = а< с₁<с₂<…<с_n = b

на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (с_k, c_{k + 1}) при k = 0, 1, …., n –1) функция f(x) постоянна. Легко понять, что из теоремы 5 вытекает

Следствие. Ступенчатая функция измерима.

Теорема 6. Если f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества

E (f ³ a), E (f = a), E (f £ a), E (f < a),

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

E (f ³ a) =

откуда следует измеримость множества E (f ³ a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

E (f = a) = E(f ³ a) – E(f > a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f ³ a).

Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств

E (f ³ a), E (f £ a), E (f < a)

оказывается измеримым при всяком а, то функция f(x) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества Е (f³а). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е (f>a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f(x) + k, 2) kf(x), 3) çf (x)ç, 4) f² (x), и если f(x) ¹0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x) + k вытекает из соотношения Е (f+ k >a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих k измеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

E (f² > a) =

вытекает измеримость функции f ² (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8. Функция f(x), заданная и непрерывная на сегменте Е= , измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f£ a)

замкнуто. Действительно, если x₀ есть предельная точка этого множества и x_n®x₀ (x _n ÎF ), то f(x_n) £a и, в силу непрерывности f(x), будет f(x₀ ) £a, т.е. x₀ ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция j_м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция j_M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (jм > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции j_М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f(х) и g(х), то множество Е (f >g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r_1, r₂, r₃, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > r_k) Е (g < r_k),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f(х) и g(х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f(х) – g(х), 2) f(х) + g (х), 3) f(х) ^. g(х), и если g(х) ¹ 0, то измерима также функция 4) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ - g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) ^.g(x) вытекает из тождества

f(x) ^.g(x)= {[f(x)+g(x)] -[f(x)-g(x)] }

и теоремы 7

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

=f(x) · .

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f₁(x), f₂(x), … Если в каждой точке х Е существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)= f_n(x),

то функция F(х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

А =Е(f > a + ), В = .

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) = .

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть х Е (F>a), тогда F (x₀) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x₀) > a + 1/m. Поскольку же f_k (x) F (x₀), то найдется такое n, что при k n будет

f_k(x₀) > a + .

Иначе говоря, х₀ А при всех k n, а тогда х₀ В и тем более х₀ . Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

E (F > a),

и теорема будет доказана.

Пусть х₀ . Тогда х₀ В при некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х₀ А для k n. Иначе говоря для k n будет f_k(x₀) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x₀)>a, т.е. x₀ ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f₁(x), f₂(x), … и некоторая функция F(x). Если соотношение

(a)

выполняется почти везде на Е, то F(x) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X Î Е, в которых соотношение (a) не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.

Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.

В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f – g| ³ s), Е (|f – g| < s), где f(x) и g(x) суть функции заданные не множестве Е, а s некоторое положительное число. При этом точки, в которых обе функции f(x) и g(x) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f(x) – g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (|f – g| ³ s). При таком соглашении очевидно

Е = Е (|f – g| ³ s) + Е (|f – g| < s)

и слагаемые правой части не пересекаются.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f₁(x), f₂(x), f₃(x), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f(x). Тогда, каково бы ни было s>0, будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.