50356 (Программирование системы уравнений)

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Программирование системы уравнений", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "50356"

Текст из документа "50356"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1 Постановка задачи

2 Решение системы уравнения методом Гаусса

3 Решение уравнения методами Ньютона, Хорд

4 Разработка блок схемы решения системы уравнения методом Гаусса

5 Разработка блок схемы решения уравнения методом Ньютона

6 Разработка блок схемы решения уравнения методом Хорд

7 Язык программирования Turbo Pascal

8 Разработка программы решения системы уравнения методом Гаусса при помощи Turbo Pascal

9 Разработка программы решения уравнения методом Ньютона при помощи Turbo Pascal

10 Разработка программы решения уравнения методом Хорд при помощи Turbo Pascal

Заключение

Список используемых источников

Введение

В основе того или иного языка программирования лежит некоторая руководящая идея, оказывающая существенное влияние на стиль соответствующих программ.

Исторически первой была идея структурирования программ, в соответствии с которой программист должен был решить, какие именно процедуры он будет использовать в своей программе, а затем выбрать наилучшие алгоритмы для реализации этих процедур. Появление этой идеи было следствием недостаточной изученности алгоритмической стороны вычислительных процессов, столь характерной для ранних программных разработок (сороковые — пятидесятые годы). Типичным примером процедурно-ориентированного языка является Фортран – первый и всё ещё один из наиболее популярных языков программирования. Последовательное использование идеи процедурного структурирования программ привело к созданию обширных библиотек программирования, содержащих множество сравнительно небольших процедур, из которых, как из кирпичиков, можно строить «здание» программы.

По мере прогресса в области вычислительной математики акцент в программировании стал смещаться с процедур в сторону организации данных. Оказалось, что эффективная разработка сложных программ нуждается в действенных способах контроля правильности использования данных. Контроль должен осуществляться как на стадии компиляции, так и при прогоне программ, в противном случае, как показала практика, резко возрастают трудности создания крупных программных проектов. Отчётливое осознание этой проблемы привело к созданию Ангола-60, а позже Паскаля, Модулы-2, Си и множества других языков программирования, имеющих более или менее развитые структуры типов данных. Логическим следствием развития этого направления стал модульный подход к разработке программ, характеризующийся стремлением «спрятать» данные и процедуры внутри модуля.

Начиная с языка Симула-67, в программировании наметился новый подход, который получил название объектно-ориентированного программирования (в дальнейшем ООП). Его руководящая идея заключается в стремлении связать данные с обрабатывающими эти данные процедурами в единое целое – объект. Характерной чертой объектов является инкапсуляция (объединение) данных и алгоритмов их обработки, в результате чего и данные, и процедуры во многом теряют самостоятельное значение.

1 Постановка задачи

Цель решения задачи курсовой работы – автоматизация решения системы уравнения методом Гаусса, а так же решения уравнения методами Хорд и Ньютона.

Выходная информация задачи выводиться на экран монитора.

Входная информация задачи поступает путем ввода пользователем данных для решения поставленной задачи

Прекращение решения задачи выполняется при выходе нового программного обеспечения, связанного с решением данной задачи или появление новой версии данного продукта.

2 Решение системы уравнения методом Гаусса

Метод Гаусса— классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к ступенчатому виду:

Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если , то рассматриваемая система несовместна.

Предположим, что .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):

,

где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (1).

Следствия:

1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности.

Упомянутое выше условие может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

1) На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

2) На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

  • Прямой ход:

3) Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

1) нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );

2) определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера—Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);

3) численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

x1 , x2, …, xn – неизвестные.

ai j - коэффициенты при неизвестных.

bi - свободные члены (или правые части)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:

1) перемена местами двух любых уравнений;

2) умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.

Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4144
Авторов
на СтудИзбе
666
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее