50192 (Решение дифференциальных уравнений. Обзор), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Решение дифференциальных уравнений. Обзор", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "50192"
Текст 2 страницы из документа "50192"
набор точек в которых нужно найти решение;
само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде, который будет описан ниже.
Один из наиболее эффективных алгоритмов интегрирования ОДУ основан на численном методе Рунге-Кутты четвертого порядка. Функция, реализующая этот метод, имеет вид rkfixed (y,x1,x2, npoints,D)
Здесь:
y-вектор начальных условий размерности n, где n- порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);
x1, x2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия ,заданные в векторе y,- это значение решения в точке x1;
npoints- число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed;
D(x,y) – функция,возвращающая значение в виде вектора n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.
2.1 Метод Эйлера
Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.
Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши
y' = f(x, y), y(a) =y0
состоит в построении таблицы приближенных значений
y0, y1, ..., yi, ... yN
решения y(x) в узлах сетки
a=x0 < x1 < ... < xi < ...< xN=b, y(xi)@ yi.
Если xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точкеx0.
Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi+1 = yi + h f(xi , yi), i = 0, 1
Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши
Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите соответствующие параметры
Определим правую часть уравнения
Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид
x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 4.
Изобразим приближенное решение графически.
y' = sin x – cos y, y(0)=1.
Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 4
Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.
Определим начальное условие - решение в начальной точке
Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ ("точка с запятой")
Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования
Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator
Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки
Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения
Построим график найденного решения y(x)
Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки
Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат - обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.
2.2 Метод Эйлера с шагом h/2.
Метод Эйлера допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (xi,yi) интегральной кривой уравнения y'=f(x, y).
Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением
y = yi + f(xi , yi)(x-xi).
Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (xi+1 ,yi+1 ),
Где xi+1=xi+h, yi+1=yi + h f(xi , yi), лежит на этой касательной.
Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 и с шагом h=0.1 приближенное решение задачи Коши
y' = sin x – cos y, y(0)=1.
Изобразим приближенные решения графически.
Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид
x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 4
xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 9
Определим правую часть уравнения
Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.
Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 4 для вычислений с шагом h=0.2
Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ ("точка с запятой")
При решении задачи с шагом h=0.2 назовем шаг h1, аргумент - x1, а решение - y1.
Определим начальное условие
Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator
Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования
Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки
Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения
Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки
Построим график найденного решения y1(x1)
Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат - обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.
Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 9 для вычислений с шагом h=0.1
Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ ("точка с запятой")
При решении задачи с шагом h=0.1 назовем шаг h2, аргумент - x2, а решение - y2.
Определим начальное условие
Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator
Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования
Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки
Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения. Для сравнения рядом выведены значения решения, вычисленные с большим шагом
Построим график решения y2(x2)
Построим на одном графике оба приближенные решения
Для того чтобы одновременно построить графики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.
Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.
Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.
2.3 Метод Рунге – Кутты
Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+1 вычисляются по следующим формулам:
yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, ...
k1 = f(xi , yi),
k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2),
k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),
k4 = f(xi+h, yi+hk3).
Найдем на [0, 1] приближенное решение задачи Коши y' = sin x – cos y, y(0)=1методом Рунге-Кутты 4-го порядка с шагом h=0.2 и методом Эйлера с тем же шагом.Изобразим оба приближенные решения графически
Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed
Определим начальное условие - решение в начальной точке
Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator
Определим правую часть уравнения
Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.
Вычислим приближенное решение на отрезке [0,1], выполнив n=1/h=5 одинаковых шагов, методом Рунге-Кутты 4-го порядка; обозначим приближенное решение Y