49869 (Економічні задачі лінійного програмування і методи їх вирішення), страница 3

де X = (x₁, …, x_n) — вектор змінних,

C = (c₁, …., c_n), B = (b₁, …, b_m)^T,

A_j = (a_1j, …, a_mj)^T, j = 1, …, n — задані вектори,

T — знак транспонування, та

відмінні від нуля компоненти опорного плану, для полегшення пояснення розташовані на перших m місцях вектору X. Базис цього плану — . Тоді

, (1)

, (2)

де значення лінійної форми на даному плані. Так як вектор-стовпці матриці A лінійно незалежні, будь який із векторів умов A_j розкладається по них єдиним чином:

, (3)

, (4)

де x_ij коефіцієнт розкладання. Система умов

, (5)

z_k ≥ 0, x_j = 0, j = m + 1, …, n, j ≠ k (6)

при заданому k визначає в просторі змінних задачі промінь, який виходить із точки, яка відповідає опорному плану, що розглядається. Нехай значення змінної x_k при русі по цьому променю дорівнює θ, тоді значення базисних змінних дорівнюють x_i(θ). В цих позначеннях рівняння (5) можна представити в виді

. (7)

помноживши рівняння (3) на θ при j = k та віднявши від рівняння (1), отримаємо

. (8)

Із рівнянь (7-8) отримаємо

. (9)

Оскільки x_i(θ) при θ = 0 визначають план задачі, то найбільше θ, яке не порушує обмеження x_i (θ) ≥ 0, визначається із умови

. (10)

де I = {i | x_ik > 0}.

В силу невиродженості задачі мінімум досягається не більш ніж для одного i = J та θ > 0. Значення лінійної форми при θ = θ₀ визначається із рівнянь (9), (4), (2)

,

де Δ_k = z_k — c_k. Очевидно, Δ_j = 0 для j = 1, …, m.

Нехай — початковий базис із m одиничних векторів. Всі дані задачі записуються у вигляді симплекс-таблиці (першої ітерації обчислювального процесу). Симплекс-алгоритм розв'язання задачі лінійного програмування складається із наступних операцій:

1. знайти Δ_k = min_jΔ_j. Якщо Δ_k = 0, тоді план, який розглядається оптимізовано; якщо Δ_k < 0, вектор A_k вводиться в базис;

2. знайти θ₀ та l, для якого , із формули (10). Якщо I = Λ — порожня множина, лінійна форма необмежена зверху; якщо I ≠ Λ вектор A_l виводиться із базису;

3. за знайденими l, k обчислити нові значення елементів таблиці за формулами

(12)

,

де та перейти до виконання операції (1) з новими значеннями всіх x_ij = x'_ij.

Перетворення (12) замінює вектор коефіцієнтів X_k = (x_1k, …, x_mk) на одиничний вектор X_k з x_lk = 1. В силу монотонного збільшення x₀ повернення до вже пройденого плану неможливе, а із скінченності кількості опорних планів випливає скінченність алгоритму.

Початковий опорний план з одиничним базисом можна отримати, розв'язавши описаним алгоритмом допоміжну задачу

,

при обмеженнях

;

,

яка містить одиничний базис, який складається із векторів A_n+1, …, A_n+m. Цим векторам відповідають штучні змінні із значеннями , i = 1, …, m. Якщо в оптимальному розв'язку цієї задачі , вихідна задача не має розв'язку. Якщо ж та задача невироджена, оптимальний базис складається лише тільки із векторів вихідної задачі, які за формулами (12) перетворені в одиничну матрицю. Якщо задача має невироджені плани, значення z₀ може не збільшуватись на ряді ітерацій. Це відбувається через те, що значення відповідних дорівнює нулю та визначається неоднозначно. В таких випадках монотонність методу порушується і може трапитись зациклювання, тобто, повернення до вже пройденого базису. Невелика зміна вектора обмежень задачі, яка полягає в заміні величин b_i на b_i + ε_i, де ε_i достатньо малі, при вдалому виборі ε_i не змінюють множину векторів оптимального опорного плану вихідної задачі і робить її невиродженою.

Описаний вище алгоритм називається першим (або прямим) алгоритмом симплекс-методу. Також відомий другий алгоритм (алгоритм із оберненою матрицею). В ньому перетворюється лише матриця A^-1, обернена до базисної матриці.

3. Прикладний розділ

3.1 Вирішення задачі лінійного програмування симплекс-методом

Для розробки математичної моделі задачі позначимо:

x₁ – кількість продукту А;

x₂ – кількість продукту В;

Цільова функція буде мати вид:

Z=x₁+2x₂mах

Система обмежень:

3 x₁+3 x₂ <= 15 2 x₁+6 x₂ <= 18 4 x₁<= 16 x₁+2x₂ =0, j=1..2

Зведення задачі до канонічного виду: Zmax = x₁+2x₂ при умовах:

3x₁+3x₂+x₃ = 15 2x₁+6x₂+x₄ = 18 4x₁+x₅ = 16 x₁+2x₂+x₆ = 8 Xj>=0, j=1..6

Таблиця 5.

Таблиця 6.

Таблиця 7.

Відповідь: Zmax =7, Xопт =(3 ; 2 ; 0 ; 0 ; 4 ; 1).

Це свідчить про те, що максимальний прибуток підприємства буде дорівнювати 7 грн., а виробництво продукції А і В складає відповідно 3 і 2 одиниці.

3.2 Вирішення задачі лінійного програмування за допомогою «Пошуку рішень» у середовищі Microsoft Office Excel 2003

«Пошук рішень» – одна із сервісних можливостей пакету Microsoft Office Excel 2003. Він представляє собою спрощений варіант симплекс-методу.

«Пошук рішень» викликається за допомогою меню «Сервіс», далі вибираємо підменю «Надстройки» і натискаємо «Пошук рішень» [12].

Методика знаходження рішення задачі за допомогою «Пошуку рішень» в Excel полягає в тому, що користувач задає основні параметри завдання (цільову функцію, систему обмежень) і змінні клітинки, яким дають деякі довільні початкові значення (одиниці). Після цього «Пошук рішень» автоматично перебирає всі можливі значення змінюваних клітинок так, щоб вони задовольняли обмеженням, а цільова функція приймала задані значення. Таким чином, порядок виконання «Пошуку рішень» такий [3]:

1. На аркуші Excel формується масив, відповідний розширеній матриці системи обмежень задачі (блок клітинок В2:С5 та Е2:Е5).

2. Виділяються клітинки, відповідні змінним завдання, яким присвоюються початкові значення, які дорівнюють одиницям (В8:С8).

3. Виділяється клітинка, в якій обчислюється значення цільової функції, яка містить посилання на клітинки змінних (у клітинку В10 вводимо формулу =1*B8+2*C8).

4. Створюється масив, відповідний лівим і правим частинам системи обмежень. Для цього з посиланням на клітинки коефіцієнтів і змінних обчислюються складові лівих частин системи обмежень, і обчислюється сума (у клітинку В12 вводимо формулу =B2*B8, у клітинку В13 вводимо =B3*$B$8 і далі тягнемо мишкою вниз ще на дві клітинки; у клітинку С12 вводимо =C2*$C$8 і тягнемо вниз; відповідно у клітинках Е12-Е15 обчислимо суму построково). Це все проілюстровано на рисунку 1.

Рис. 1.

5. Після запуску «Пошуку рішень» задається адреса цільової клітинки, спрямованість цільової функції, адреса змінюваних клітинок, система обмежень, умова невід’ємності значень змінних. Вікно «Пошуку рішень» зображено на рисунку 2.

Рис. 2.

6. У параметрах виділяється лінійна і невід'ємна моделі. Дивись рисунок 3.

Рис. 3.

7. Проводиться запуск. У випадку, якщо необхідне рішення знайдено, воно зберігається. Це вікно зображене на рисунку 4.

Рис. 4.

Остаточні результати бачимо на рисунку 5. З нього видно, що x₁=3, тобто продукції виду А необхідно виготовляти у кількості 3-х одиниць, x₂=2, тобто продукції виду В необхідно виготовляти у кількості 2-х одиниць, при цьому максимальне значення цільової функції буде досягати 7, тобто прибуток підприємства буде складати 7 грн.

Рис. 5.

Висновки

1. В даній курсовій роботі розглянуто методи розв’язку задач лінійного програмування.

2. Задачі лінійного програмування досить поширені у повсякденному житті. Тому в даній роботі розглянуто рішення на окремій задачі, а також розглянуто, як їх можна розв’язувати вручну і за допомогою спеціального програмного продукту.

3. Було розроблено математичну модель поставленої задачі, тобто записана цільова функція і система обмежень, і програмне забезпечення.

4. Дана задача вирішується симплекс-методом, тому досліджується основний принцип метода, його особливості.

5. При розв’язку задачі як в ручну, так і за допомогою програми було отримано значення цільової функції та значення шуканих змінних. Тобто визначивши всі витрати часу на виробництво продукції, можна отримати максимальний прибуток підприємства.

6. Результатом виконання даної курсової роботи є розроблена програма у найпоширенішому програмного пакеті Excel, що вирішує задачу симплекс-методом та виводить результат.

7. Програму можна вважати універсальною при дослідженні інших задач із області математичного програмування і використовувати для розрахунку різних видів оптимізації: і не тільки витрат, а й інших коштів, що проходять через будь-яку організацію.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1986. –319с.

2. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и свіязь, 1989. – 176с.

3. Белобродский А.В., Гриценко М.А. Поиск решений с Excel 2000. –Воронеж, 2001.

4. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т.1. – М.: Издательство «Мир», 1972.

5. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Дрофа, 2004.

6. Енциклопедія кібернетики /За ред. В. Глушкова. – К.: «Українська радянська енциклопедія», 1973.

7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.: Вища шк., 1979.

8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: «Дело и Сервис» , 1999. – 368 с.

9. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2000. – 208с.

10. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций /Под общ. ред.. Н. П. Тихомирова. – М.: «Экзамен», 2003.

11. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984. – 391с.

12. Мур Дж., Уэдерфорд Л.Р. и др. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1024 с.

13. Таха, Хемди А. Введение в исследование операцій: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912с.

14. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. – М.: «Мир», 1975.

15. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 367с.

16. Юдин Д. Б., Гольдштейн Е. Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. – М.: Наука, 1969. – 424с.