49560 (Генерация матриц), страница 3

Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца j (j=1,2,…, n), для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула

(1.21)

называемая разложением этого определителя по j‑му столбцу.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для j = 1, т.е. установить формулу разложения по первому столбцу

, (1.22)

иначе если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого j=2,3,…, n достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1.1.

Формула (1.22) устанавливается по индукции.

При n = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при n = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид то при n = 2 правая часть (1.22) совпадает с правой частью (1.10)).

Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка n – 1 и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости этой формулы для определителя порядка n.

С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для определителя n – го порядка ∆ первое слагаемое , а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (n‑1) – го порядка по первому столбцу.

В результате формула (1.12) будет иметь вид

, (1.23)

где – некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления минор получается при разложении по первому столбцу только одного из миноров (n‑1) – го порядка, отвечающих первой строке, – минора . В разложении минора (при ) по первому столбцу записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент a_i1 минора (при ) стоит на пересечении (i‑1) – й строки и первого столбца этого минора, получается, что при

(1.24)

Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при , видно,

что коэффициент в формуле (1.23) имеет вид

(1.25)

Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для .

Для этого в правой части (1.22) выделяется первое слагаемое , а в каждом из остальных слагаемых раскладывается минор (n‑1) – го порядка по первой строке.

В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого и линейной комбинацией с некоторыми коэффициентами миноров (n‑2) – го порядка , т.е. в виде

, (1.26)

и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.25).

Для этого можно заметить, что минор получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров n – 1‑го порядка, отвечающих первому столбцу, – минора . В разложении минора (при ) по первой строке записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент минора стоит на пересечении первой строки и (j‑1) – го столбца этого минора, получается, что при

(1.27)

Вставляя (1.24) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при , следует, что в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (1.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана.

Выражение определителя непосредственно через его элементы. Установим формулу, выражающую определитель n‑го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).

Пусть каждое из чисел принимает одно из значений 1, 2, …, n, причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, n). Образуем из чисел все возможные пары и можно говорить, что пара образует беспорядок, если при i<j. Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел , обозначим символом .

С помощью метода индукции установим для определителя n‑го порядка (1.11) следующую формулу:

(1.28)

(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам чисел 1, 2, …, n; число этих перестановок, очевидно, равно n!).

В случае n =2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку N (1, 2)=0, N (2, 1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).

С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при n>2 справедлива для определителя порядка (n‑1).

Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу:

, (1.29)

можно, в силу предположения индукции, представить каждый минор (n‑1) – го порядка в виде

(1.30)

(суммирование идет по всем возможным перестановкам (n – 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до n, за исключением числа ).

Так как из чисел , кроме пар, образованных из чисел , можно образовать еще только следующие пары , и поскольку среди чисел , найдется ровно ( –1) чисел, меньших числа , то = + -1.

Отсюда вытекает, что и, вставляя (1.30) в (1.29), получается формула (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен.

Теорема Лапласа. В этом пункте устанавливается формула, обобщающая формулу разложения определителя n‑го порядка по какой-либо его строке.

С этой целью вводится в рассмотрение миноры матрицы n – го порядка (1.8) двух типов.

Пусть k – любой номер, меньший n, a и – произвольные номера, удовлетворяющие условиям , .

Миноры первого типа являются определителями порядка k, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении k строк с номерами и k столбцов с номерами .

Миноры второго типа являются определителями порядка n–k, соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания k строк с номерами и k столбцов с номерами .

Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.

Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере k, меньшем n, и при любых фиксированных номерах строк таких, что , для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула

, (1.31)

называемая разложением этого определителя по k строкам . Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов , удовлетворяющим условиям .

Доказательство. Прежде всего формула (1.31) является обобщением уже доказанной формулы разложения определителя n‑го порядка по одной его строке с номером i₁, в которую она переходит при k = 1 (при этом минор совпадает с элементом , а минор – это введенный выше минор элемента ).

Таким образом, при k = 1 формула (1.31) доказана. Доказательство этой формулы для любого k, удовлетворяющего неравенствам 1 < k < n, проводится по индукции, т.е. формула (1.31) справедлива для (k‑1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для k строк.

Итак, пусть 1 < k < n и фиксированы какие угодно k строк матрицы (1.8) с номерами , удовлетворяющими условию . Тогда по предположению для (k‑1) строк с номерами справедлива формула

(1.32)

(суммирование идет по всем возможным значениям индексов удовлетворяющим условиям .

Разложим в формуле (1.32) каждый минор по строке, имеющей в матрице (1.8) номер i_k. В результате весь определитель ∆ будет представлен в виде некоторой линейной комбинации миноров коэффициентами, которые мы обозначим через , т.е. для ∆ будет справедливо равенство

,

и остается вычислить коэффициенты и убедиться в том, что они равны

. (1.33)

С этой целью заметно, что минор (n–k) – го порядка получается в результате разложения по строке с номером i_k только следующих k миноров (n–k+1) – го порядка:

( ), (1.34)

ибо каждый из остальных содержащих строку i_s миноров (n–k+1) – го порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора .

В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером i_k выписывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент стоит на пересечении [i_k – (k‑1)] – й строки и [j_s – (s‑1)] – го столбца этого минора, получим

Теперь остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель

и после этого суммируется по всем s от 1 до k. Имея также в виду, что , получаем, что

.

Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора последней k‑й строке, в итоге получим для формулу (1.33). Теорема Лапласа доказана.

В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо k его столбцам.

Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n‑го порядка.

Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначаемая символом A'.

В дальнейшем мы договоримся символом |A|, |B|, |A'|… обозначать определители квадратных матриц A, B, A'… соответственно.

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. |А'|=|А|.

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя |A| по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя | A' | по первой строке).

Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строки быть уверенными в справедливости их и для столбцов.