49560 (Генерация матриц), страница 2

Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу

,

элементами которой служат следующие блоки:

, ,

, .

Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица является блочной и имеет блочные элементы , то при том же разбиении на блоки матрице отвечают блочные элементы . При этом блочные элементы сами вычисляются по правилу умножения матрицы на число λ.

Столь же элементарно проверяется, что если матрицы A и B имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц A и B отвечает блочная матрица с элементами = + (здесь и – блочные элементы матриц A и B).

Пусть A и B – две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока равно числу строк блока (так что при любых α, β и γ определено произведение матриц ). Тогда произведение C = AB представляет собой матрицу с элементами , определяемыми формулой

.

Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц A и B.

В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц.

1.2 Определители

Целью этого параграфа является построение теории определителей любого порядка п.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка n:

. (1.8)

С каждой такой матрицей связана определенная численная характеристика, называемая определителем, соответствующим этой матрице.

Если порядок n матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента a₁₁ и определителем первого порядка соответствующим такой матрице, называется величиной этого элемента.

Если далее порядок n матрицы (1.8) равен двум, т.е. если эта матрица имеет вид

, (1.9)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, есть число, равное a₁₁a₂₂ – a₁₂ a₂₁ и обозначаемое одним из символов

.

Итак, по определению

. (1.10)

Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка n, где . Понятие такого определителя выводится индуктивно, считая, что понятие определителя порядка n‑1 уже введено, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка n‑1.

Договоримся называть минором любого элемента матрицы n‑го порядка (1.8) определитель порядка n‑1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i‑й строки и j‑го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, а черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.

Определителем порядка n, соответствующим матрице (1.8), назовем число, равное и обозначаемое символом

. (1.11)

Итак, по определению

. (1.12)

Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка n по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов первой строки, являющимся определителями порядка n‑1.

Если n=2, то правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид: , .

Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной i‑й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.

Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2… n), для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула

, (1.13)

называемая разложением этого определителя по i‑й строке.

В этой формуле показатель степени, в которую возводится число (–1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a_{i j}.

Доказательство теоремы 1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров i = 2, 3,…, n. При n = 2 (т.е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера i = 2, т.е. при n = 2 нужно доказать лишь формулу

Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при n = 2 теорема доказана.

Доказательство формулы (1.13) для произвольного n > 2 производится по индукции, т.е. для определителя порядка n – 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка n.

При доказательстве понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка n – 2. Определитель порядка n‑2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами и двух столбцов с номерами , называется минором (n‑2) – го порядка и обозначается символом .

Определитель n‑го порядка ∆ вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор является определителем порядка n‑1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.

Фиксировав любой номер i (i=2,3… n), разложим в формуле (1.12) каждый минор по i – й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре эта строка будет (i‑1) – й).

В результате весь определитель ∆ окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации миноров (n‑2) – го порядка с несовпадающими номерами j и k, т.е. в виде

(1.14)

Для вычисления множителей заметим, что минор получается в результате разложения по (i‑1) – й строке только следующих двух миноров (n – 1) – го порядка, отвечающих элементам первой строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат все столбцы минора ).

В разложениях миноров и по указанной (i – 1) – й строке выписываются только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент a_jk минора стоит на пересечении (i – 1) – й строки и (k – 1) – го столбца этого минора, а элемент a_ij минора стоит на пересечении (i – 1) – й строки и j‑го столбца этого минора, в итоге получается

(1.15)

(1.16)

Вставляя (1.15)_ и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэффициент при , мы получим, что множитель в равенстве (1.14) имеет вид

(1 17)

Для завершения доказательства теоремы видно, что и правая часть (1.13) равна сумме, стоящей в правой части (1.14), с теми же самыми значениями (1.17) для .

Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (n‑1) – го порядка по первой строке. В результате вся правая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некоторыми коэффициентами тех же самых миноров

(1.18)

и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.17).

Для этого заметно, что минор получается в результате разложения по первой строке только следующих двух миноров (n – 1) – го порядка, отвечающих элементам i‑й строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов i‑й строки содержат все столбцы минора ).

В разложениях миноров и по первой строке выписывается только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент a_ik минора стоит на пересечении первой строки и (k‑1) – го столбца этого минора, а элемент a_ij минора стоит на пересечении первой строки и j‑го столбца этого минора, получается

(1.19)

(1.20)

Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при , получается, что в сумме (1.18) определяется той же самой формулой (1.17), что и в равенстве (1.14).

Теорема 1.1 доказана.

Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя n‑го порядка по любой его строке. Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя n – го порядка по любому его столбцу. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.