49560 (Генерация матриц)

Курсовая работа

"Генерация матриц"

Введение

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т.д.

Целью курсовой работы является разработка алгоритма и написание на его основе программы, которая генерирует квадратную матрицу по ее введенному определителю, размерности и диапазона элементов матрицы.

Данная курсовая работа состоит двух глав, включающих в себя каждая несколько параграфов и подпунктов.

В первой главе приведена теоретическая часть по генерации матриц, включающая основные понятия и определения теории матриц, основные теоремы теории матриц, дающие научную основу для разработки алгоритма генерации матриц и написании на его основе программы. Здесь вводятся основные операции над матрицами и детально изучаются свойства определителей, являющихся основой числовой характеристикой квадратных матриц.

Во второй главе рассказывается об основных проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании программы, приводится алгоритм генерации матриц, описываются некоторые важные части программы, основывающейся на алгоритме, и приводится листинг программного продукта.

В заключении говорится о проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании на его основе программы, и о путях усовершенствования предложенного алгоритма и программы.

1. Матрицы и определители

1.1 Матрицы. Действия с матрицами

Все определения, теоремы, свойства, следствия и их доказательства, используемые в курсовой работе, взяты из книги В.А. Ильина, Э.Г. Позняка «Линейная алгебра».

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов (размера ).

Числа m и n называются порядками матрицы. Если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n – её порядком.

Для записи матрицы применяются либо сдвоенные черточки, либо круглые или квадратные скобки:

Для краткого обозначения матрицы часто используется либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ , либо .

Числа , входящие в состав данной матрицы, называются её элементами. В записи первый индекс означает номер строки, а второй индекс – номер столбца.

В случае квадратной матрицы

(1.1)

вводится понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ a₁₁ a ₂₂ … a_{n n}, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю матрицы называется диагональ a_n1 a_(n-1)2 … a_1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Прежде всего, будем считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдём к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц и одних и тех же порядков m и n называется матрица тех же порядков m и n, элементы c_{i j} которой равны

(1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C=A+B. Операция составления суммы матриц называется их сложением.

Итак, по определению

=

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что и операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1. переместительным свойством: A+B=B+A,

2. сочетательным свойством: (A+B)+C=A+(B+C).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на вещественное число λ называется матрица , элементы c_{i j} которой равны

(1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=λA или C=Aλ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Из формулы (1.3) видно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1. сочетательным свойством относительно числового множителя: (λμ) A = λ(μA);

2. распределительным свойством относительно суммы матриц: λ (A+B) = λA + λB;

3. распределительным свойством относительно суммы чисел: (λ+μ) A = λA + μA.

Замечание. Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков m и n естественно назвать такую матрицу C тех же порядков m и n, которая в сумме с матрицей B даёт матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Очень легко убедиться, что разность C двух матриц A и B может быть получена по правилу C = A + (– 1) B.

Перемножение матриц. Произведением матрицы , имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу , имеющую порядки, соответственно равные m и p, называется матрица , имеющая порядки, соответственно равные т и р, и элементы c_{i j,} определяемые формулой

. (1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

В частности, оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы и будут квадратными, но порядки их будут различными. Для того чтобы оба произведения и не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_ij стоящий на пересечении i‑й строки и j‑го столбца матрицы C = , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i‑й строки матрицы A и j‑го столбца матрицы B.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

.

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B:

1) сочетательное свойство: (AB) C = A(BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A+B) C=AC+BC или A (B+C)=AB+AC.

Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если , , , то элемент матрицы (AB) C в силу (1.4) равен , а элемент матрицы A(BC) равен , но тогда равенство = вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно j и k.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы A на матрицу B имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и B одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц A и B оба произведения AB и BA определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает перестановочным свойством. В самом деле, если положить , , то , а .

Здесь видны важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство. Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называются коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид

,

где – какие угодно числа. Если все эти числа равны между собой, т.е. , то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство AD=DA. Проверим это, обозначим символами и элементы, стоящие на пересечении i‑й строки и j‑го столбца матриц AD и DA соответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы D получим, что

, , (1.6)

т.е. = .

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d=l, называется единичной матрицей n‑го порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при d=0, называется нулевой матрицей n‑го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

, .

В силу доказанного выше AE = EA и AO = OA. Более того, из формул (1.6) видно, что

AE = EA = A, AO = OA = O. (1.7)

Первая из формул (1.7) характеризует особую роль единичной матрицы E, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы O, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

A + O = O + A = A.

Нулевой матрицей называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю.

Блочные матрицы. Пусть некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Тогда возникает возможность рассмотрения исходной матрицы A как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы , элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы обозначаются большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжены двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй – номер «блочного» столбца.