49435 (Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем), страница 2

Рис.4 График АЧХ заданной САУ

Рис.5 График ФЧХ заданной САУ

Рис.6 График АФЧХ заданной САУ

2.5 Дифференциальное уравнение заданной САУ

Получим ДУ заданной САУ:

2.6 Нормальная форма Коши, полученного ДУ 3-го порядка

Так как ДУ заданной САУ имеет высокий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:

. (9)

Так как ДУ заданной САУ имеет укороченную правую часть, то запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

. (10)

Приведём уравнение (12) к нормальной форме Коши:

(11)

или

,

где

2.7 Аналитическое решение ДУ

Пусть задано изображение выхода

или .

Тогда используя вторую теорему разложения Лапласа получим следующее аналитическое выражение для выходного сигнала:

реакция системы на единичное ступенчатое воздействие ( ) (12):

(12)

2.8 Решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка)

В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.

Для организации вычислительного процесса по интерполяционной формуле Адамса, имеющей точность решения (13):

необходимо заготовить начальные значения , используя метод Рунге-Кутта 5-его порядка.

Приведенные коэффициенты:

Проведём исследование решения ДУ в зависимости от шага:

Графики выходного сигнала, полученного в аналитическом виде , выходного сигнала, полученного решением ДУ и ошибки решения при шаге h=0.1 и h=0.01, h=0.001.

Рис.7. Графики выходного сигнала , полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

Рис.8. Графики выходного сигнала , полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

Рис.9. Графики выходного сигнала , полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

2.9 Анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: Чебышева 2 рода)

Спектральная форма представления сигналов и временных динамических характеристик систем и объектов основана на их разложении в заданной системе ортогональных функций

Если некоторый сигнал принадлежит пространству , т.е. для него справедливо положение

,

То он может быть представлен в виде ряда Фурье:

(14)

Если ввести векторы

то ряд (14) можно представить следующим образом

(15)

Совокупность коэффициентов Фурье разложения сигнала в ряд (14) называется спектральной характеристикой этого сигнала.

Коэффициенты Фурье определяются по формуле

(16)

Существенным и определяющим отличием спектрального описания дискретных сигналов от спектрального описания непрерывных сигналов на конечных интервалах является возможность их точного представления в виде рядов Фурье с конечным числом членов. Значит, если дискретный сигнал, а данный сигнал имеет место на входе ЭВМ после его аналого-цифрового преобразования (АЦП), задан на конечном множестве точек, например , в виде некоторой числовой последовательности , то его разложение по заданной системе ортогональных функций

определяется соотношением

(17)

Система - это система ортогональных, нормированных функций, удовлетворяющих условию

Коэффициенты Фурье определяются по формуле

(18)

Далее вводим полиномы Чебышева 2-го рода (19):

(19)

2.9.1 Алгоритм построения спектральной характеристики(СХ)

1. Исходные уравнение (20):

(20)

Вычислим ядра и (21):

(21)

3. Разложим в ряды Фурье по заданному базису (22):

(22)

4. Получим значение Сх из приведенных ниже преобразований (23):

(23)

5. Найдем матрицу А:

6. Получены значения ядер:

7. Воздействие:

8. Значение вектора Cх:

9. Матрица А:

А=

Рис.10 Переходная функция, построенная спектральным методом

Рис.11 График выходного сигнала, полученного аналитически, сигнала, полученного спектральным методом и ошибки.

3. СИНТЕЗ

Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 12.

Введем в систему последовательное корректирующее устройство. В качестве регулятора выберем ПИД-регулятор.

Его передаточная функция имеет вид:

(24)

Рис.12: Структурная схема заданной САУ с корректирующим устройством в прямой цепи.

3.1 Передаточная функция замкнутой цепи скорректированной САУ

Найдём передаточную функцию разомкнутой цепи, если известна передаточная функция объекта (25):

(25)

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (26):

(26)

Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора , структура которого заданна (формула 31), при которых реальный выходной сигнал , являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу .

В качестве эталонного выходного сигнала выберем следующий сигнал:

, (27)

где параметр находится по следующей зависимости:

. (28)

3.2 Функционал качества, подлежащий дальнейшей минимизации

Критерием близости выберем метрику пространства .

Тогда целевая функция, подлежащая минимизации по параметрам регулятора будет иметь следующий вид:

(29)

3.2.1 Поиск минимума функции методом Фибоначчи

Если начальный интервал имеет длину , то произведя вычислений функции, можно уменьшить начальный интервал неопределённости в раз по следующей формуле:

(30)

по сравнению с его начальной длинной (пренебрегая ).

Если определить последовательность чисел Фибоначчи следующим образом: для то можно найти положение первой точки, которая помещена на расстоянии от одного из концов начального интервала, причём не важно, от какого конца, поскольку вторая точка помещается согласно правилу симметрии на расстоянии от конца интервала:

. (31)

После того, как найдено положение первой точки, числа Фибоначчи больше не нужны. Используемое значение может определятся из практических соображений. Оно должно быть меньше , иначе будут иметь место лишние вычисления значений функции .

Таким образом, поиск методом Фибоначчи является итерационной процедурой.

В процессе поиска интервала с точкой , уже лежащей в этом интервале, следующая точка всегда выбирается такой, что .

Обозначим и , тогда можно рассмотреть четыре случая организации вычислительного процесса:

1. : новый интервал .

2. : новый интервал .

3. : новый интервал .

4. : новый интервал .

Оканчивать вычислительный процесс можно двумя способами. Либо выполнить намеченные ранее вычислений, либо, если в процессе вычислений интервал неопределённости станет меньше заданной величины.

3.2.2 Метод Хука-Дживса

В данном методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которым, в случае успеха, проводится поиск по образцу.

Процедура поиска следующая.

Выбрать начальную базисную точку и шаг длиной для каждой из переменных , .

Вычислить в базисной точке

с целью получения сведений о локальном поведении функции . Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции.

При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом.

Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшаться до заданного малого значения.

3.3 Дифференциальное уравнение скорректированной системы

Для минимизации целевой функции (37) необходимо реализовать вычисление реального выходного сигнала в каждый отдельный момент времени. Помимо этого, необходимо реализовать итерационный процесс и реализовать алгоритм вычисления параметра

Для вычисления перейдём от передаточной функции замкнутой цепи к дифференциальному уравнению, используя свойства преобразований Лапласа. Оно будет иметь следующий вид:

(32)

Запишем ДУ (32) в другом виде:

(33)

3.4 Нормальная форма Коши, полученного ДУ скорректированной системы

Для решения ДУ (33) с помощью численного метода решения дифференциальных уравнений, необходимо понизить его порядок, путём перехода от данного ДУ к нормальной форме Коши

Нормальная форма Коши для ДУ (33) будет иметь следующий вид:

где коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

Тогда ДУ (33) можно записать в следующем виде