48856 (Розподіл Пуасона), страница 2

Величина - середня зважена квадратів відхилень емпіричних і теоретичних частот‚ при цьому вагою є величини‚ обернені теоретичним частотам. Статистика є випадковою величиною‚ яка сама має свій закон розподілу. Пірсон показав‚ що не залежить ні від функції розподілу‚ ні від обсягу вибірки‚ а залежить лише від параметра - числа степенів свободи і дорівнює різниці між числом частот ‚ які порівнюються і числом зв'язків‚ які на ці частоти накладено. При застосуванні критерію Пірсона вважають‚ що сума теоретичних частот дорівнює сумі емпіричних‚ а теоретичні середня і дисперсія дорівнюють вибірковій середній і вибірковій дисперсії. Тому число степенів вільності (свободи) становить .

Критерій Пірсона застосовують за таким алгоритмом.

1. Формулюють гіпотезу H₀ - емпіричний розподіл відповідає розподілу Пуассона і альтернативну гіпотезу - емпіричний розподіл не відповідає розподілу Пуассона.

2. Задають рівень значущості .

3. Розглядають вибірку обсягом незалежних спостережень і емпіричний розподіл представляють у вигляді інтервального варіаційного ряду.

4. Обчислюють вибіркові характеристики і S. Їх використовують замість генерального параметра розподілу Пуассона‚ з яким порівнюватимемо емпіричний розподіл.

5. Обчислюють значення теоретичних частот для кожнго з інтервалів групування. Для цього використовується формула

Якщо буде встановлено‚ що обчислені частоти деяких інтервалів групування менше п'яти‚ то сусідні інтервали об'єднуються так‚ щоб сума обчислених теоретичних частот була не меншою п'яти. Частоти об'єднаних інтервалів при цьому додають.

1. Обчислюють значення критерію за формулою (6).

2. Знаходять табличне критичне значення для заданого рівня значущості і числа ступенів свободи .

3. Якщо ‚ то емпіричний розподіл не відповідає розподілу Пуассона при заданому рівні значущості . Якщо ‚ то це дає право стверджувати‚ що гіпотеза H₀ допустима‚ тобто припущення про те‚ що в генеральній розподіл не суперечить дослідним даним.

В розділі 2 описано програму визначення ступеня згоди емпіричного розподілу з теоретичним розподілом Пуассона.

2. практична частина

1. Архітектура програми

Для реалізації поставленої задачі розроблено програму PUASSON (лістінг програми представлено в додатку 4).

Програма складається з головного блоку, трьох процедур:

• VVID;

• OBCHYSL;

• VYVID_REZ

т функції FAKT.

Запуск програми здійснити таким чином:

• з середовища операційної оболонки Norton Commander шляхом запуску PUASSON.EXE (попередньо програма повинна буди відкомпільована з опцією Destination To Memory).

• з головного меню інтегрованого середовища Turbo Pascal шляхом вибору опції Run (попередньо програма повинна бути завантажена в ОП - F10, File, Open, PUASSON.PAS);

Програма виводить на дисплей головного меню, котре пропонує користувачеві вибір однієї з опцій:

• ВВІД ДАНИХ

• РОЗРАХУНОК

• РЕЗУЛЬТАТ

• ВИХІД.

При виборі певної опції активізується відповідна процедура. Завершення роботи програми і повернення в середовище системи програмування Turbo Pascal здійснюється при натисканні клавіші Esc, що відповідає вибору опції «ВИХІД». Програма здійснює побудову теоретичного варіаційного ряду та перевіряє гіпотезу про розподіл Пуассона генеральної сукупності за критерієм згоди Пірсона‚ виводить результати обчислень та висновок щодо гіпотези на екран дисплею.

Опишемо процедури програми PUASSONS.PAS.

Процедура VVID. Призначення - ввід емпіричного варіаційного ряду‚ впорядкування емпіричного ряду за зростанням. Процедура викликається з головного меню програми при виборі пункту «ВВІД» шляхом натискання функціональної клавіші F2.

Після впорядкування емпіричного масиву даних процедура припиняє роботу і повертає керування в програму. Процес виконання процедури представлено екранною копією (див. додаток 1).

Процедура OBCHYSL. Призначення - групування емпіричних даних в інтервали‚ підрахунок емпіричних частот‚ обчислення вибіркових характеристик - середньої‚ вибіркової дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Процедура викликається з головного меню програми при виборі пункту «РОЗРАХУНОК» (функціональна клавіша F3). Після обчислення вибіркових статистик та виводу їх на дисплей процедура передає керування головному блокові програми.

Блок схема процедури представлена в додатку 3.

Процедура VYVID. Призначення - обчислення значення критерію за формулою (6)‚ вивід результату обчислень на екран на дисплею‚ перевірка гіпотези про розподіл Пуассона емпіричного варіаційного ряду. Процедура викликається з головного меню програми при виборі пункту «ВИВІД» (функціональна клавіша F4). Результат роботи процедури представлено не екранній копії (див. додаток 5). Для отримання друкованого результату потрібно натиснути клавішу PrtScr (при роботі в режимі MS DOS) або комбінацію клавіш Shift+PrtScr (при роботі з ОС Windows 3.xx, Windows 9x).

Функція FAKT використовується для обчислення значення n!.

Головний блок програми реалізовано у вигляді горизонтального меню з використанням функціональних клавіш. Вибір опції меню здійснюється за допомогою натискання відповідної функціональної клавіші‚ вихід з меню (а тим самим і з програми) здійснюється при натисканні клавіші Esc. Блок-схема головного блоку програми подано в додатку 2.

1. Опис програми

Програма складена‚ відкомпільована і відлагоджена в середовищі Turbo Pascal 6.0.

Оператори програми мають таке призначення:

001 Заголовок програми

002 Підключення зовнішніх модулів Crt та Printer

003 Опис типованої змінної для збереження емпіричних даних

004 Опис робочих змінних програми

005 Процедура CLEAN - очистка вікна екрану починаючи з 7 і закінчуючи 20 стрічкою

006-012 Процедура FAKT - обчислення значення n!

013 Заголовок процедури VVID

014 Початок процедури

015-018 Ввід обсягу вибірки

021-027 Ввід елементів емпіричного ряду та їх частот

028 Підрахунок обсягу вибірки

030 Кінець процедури VVID

031 Заголовок процедури OBCHYSL

032 Початок процедури

033-035 Присвоєння початкових значень для обчислення вибіркової середньої та вибіркової дисперсії

036-040 Обчислення середньої зваженої та вибіркової дисперсії

042 Обчислення згладженої вибіркової дисперсії

043 Обчислення середньої емпіричного ряду

044 Обчислення середнього квадратичного відхилення

045 Кінець процедури OBCHYSL

046 Заголовок процедури VYVID

047 Початок процедури

048 Очистка вікна виводу (виклик процедури CLEAN)

049 Присвоєння початкового значення для обчислення характеристики

050-062 Вивід екранної форми для виведення результатів роботи процедури

063 Визначення емпіричного значення параметра

064 Початок циклу розрахунку теоретичних варіант

065-067 Обчислення значень варіант теоретичного розподілу

068 Обчислення сумарної характеристики

069-071 Вивід результатів обчислень на екран дисплею

072 Кінець циклу розрахунку теоретичних варіант та характеристики емпіричного розподілу

073-077 Ввід критичного значення та числа ступенів свободи

078 Ввід критичного значення характеристики

079-080 Перевірка умови і вивід повідомлення про прийнятність чи неприйнятність гіпотези про розподіл Пуассона емпіричного ряду

081 Організація паузи в роботі програми для збереження результатів обчислень на екрані

082 Кінець процедури VYVID

083 Початок головного блоку програми

084 Початок циклу виводу головного меню програми

085-086 Встановлення основного та фонового кольорів

088-111 Вивід головного меню та інформаційної стрічки програми

112 Сканування клавіатури і присвоєння коду натиснутої клавіші змінній vybir

113-114 Зміна основного та фонового кольорів (для виводу результатів)

115 Заголовок оператора вибору

116 Аналіз коду натиснутої клавіші і виклик процедури VVID при натисканні клавіші F2

117 Аналіз коду натиснутої клавіші і виклик процедури OBCHYSL при натисканні клавіші F3

118 Аналіз коду натиснутої клавіші і виклик процедури VYVID при натисканні клавіші F4

119 Аналіз коду натиснутої клавіші‚ завершення роботи програми при натисканні клавіші ESC

120 Кінець оператора вибору

121 Кінець оператора циклу виводу меню

122 Кінець програми

Лістінг програми представлено в додатку 4‚ блок-схему головного блоку програми наведено в додатку 2‚ блок-схему процедури OBCHYSL - в додатку 3.

1. Контрольний приклад та аналіз результатів машинного експерименту

Випробування будь-якої системи є найбільш відповідальним і пов’язаний з найбільшими труднощами і найбільшими втратами часу. Відладка і тестування - найважливіші етапи життєвого циклу програм. Не можна робити висновок про правильність програми лише на тій підставі, що програма повністю протрансльована (відкомпільована) і видала числові результати. Все, чого досягнуто в даному випадку - це отримання деякої вихідної інформації, необов’язково правильної. В програмі все ще можуть міститись логічні помилки. Тому необхідно здійснювати «ручну» перевірку результатів‚ отриманих внаслідок машинного експерименту.

Існує кілька способів перевірки правильності машинних результатів: обчислення результатів вручну; отримання результатів з довідкової літератури, документації або сукупності таблиць; отримання результату з допомогою іншої програми.

Контрольний приклад для перевірки правильності розробленої програми виконано вручну з використанням статистичних таблиць розподілу Пірсона. Для перевірки роботи програми розв'яжемо наступну задачу.

Досліджено 79 телефонних автоматів на протязі певного часу на предмет виявлення відмов. За цей час було спостерігалась така кількість відмов:

Жодної відмови - 4 автомати;

1 відмова - 13 автоматів;

2 відмови - 14 автоматів;

3 відмови - 24 автомати;

4 відмови - 16 автоматів;

5 і більше відмов - 8 автоматів.

З рівнем значущості перевіримо гіпотезу про розподіл Пуассона генеральної сукупності числа відмов телефонних автоматів.

Висловлюємо гіпотезу H₀: емпіричний ряд відмов телефонних автоматів розподілений за законом Пуассона. Для перевірки гіпотези використовуємо критерій згоди (критерій Пірсона). Розрахунки подаємо в таблиці (табл.1).

Таблиця 1.

Обчислене значення критерію =6,6721/ Число ступенів вільності становить . Критичне значення для вибираємо з таблиць розподілу Пірсона. Оскільки , то зроблена нами гіпотеза про те‚ що емпіричний ряд розподілений за законом Пуассона приймається з 5% рівнем значущості.