48755 (Реализация алгоритма обратной трассировки лучей для моделей с большим числом полигонов), страница 2

Если объект прозрачный, то необходимо построить вторичный луч такой, чтобы при преломлении он давал исходный луч. Некоторые тела могут, обладать свойством диффузного преломления. При этом образуется не один, а множество преломленных лучей. Как и в случае отражения, я этим пренебрегаю.

Таким образом, первичный луч, найдя пересечение с объектом, делится в общем случае на два луча (отраженный и преломленный). Далее эти два луча делятся еще на два и так далее.

Рис 1.

Главной процедурой обратной трассировки лучей в моей программе является процедура Ray. Она имеет следующую структуру:

Если поколение луча равно максимальной глубине рекурсии, то возвращаем среднюю яркость по всем составляющим. Если нет, то идем дальше

Определяем ближайший треугольник, с которым пересекается луч.

Если такого треугольника нет, возвращаем цвет фона, если есть, идем дальше.

Если поверхность, с которой было найдено пересечение, отражает, то формируем отраженный луч и вызываем рекурсивно процедуру Ray с поколением луча, увеличенным на 1.

Если поверхность, с которой было найдено пересечение, преломляет, то формируем преломленный луч и вызываем рекурсивно процедуру Ray с поколением луча, увеличенным на 1.

Определяем итоговую освещенность пиксела, учитывая расположение источников, свойства материала, а так же интенсивности отраженного и преломленного луча.

Я уже рассмотрели ряд ограничений метода трассировки, когда говорили о диффузном преломлении и о неровном зеркале. Рассмотрим и некоторые другие.

Освещать сцену могут только специальные объекты - источники света. Они точечные и не могут поглощать, преломлять и отражать свет.

Свойства отражающей поверхности состоят из двух компонент - диффузной и зеркальной.

При диффузном отражении учитываются только лучи от источников света. Если источник освещает точку, через зеркало (зайчиком), то считается, что точка не освещена.

Зеркальность тоже делится на две составляющие.

reflection - учитывает отражение от других объектов (не источников света)

specular - учитывает блики от источников света

В трассировке не учитываются зависимости от длины волны света:

коэффициента преломления

коэффициента поглощения

коэффициента отражения

Так как я не моделирую диффузное отражение и преломление, то не смогу получить фоновую подсветку. Поэтому вводим минимальную фоновую освещенность. Часто она позволяет просто значительно улучшить качество изображения.

Алгоритм трассировки позволяет рисовать очень качественные тени. Это не потребует большой переделки алгоритма. В него придется кое-что добавить. При расчете освещенности точки необходимо пустить в каждый из источников света "Теневой фронт". "Теневой фронт" - это луч, с помощью которого проверяется, лежит ли что-нибудь между точкой и источником. Если между ними лежит непрозрачный объект, то точка находится в тени. Это значит, что данный источник, не делает свой вклад в итоговую освещенность точки. Если лежит прозрачный объект, то интенсивность источника уменьшается. Прорисовка теней является очень затратной по времени. Так что, в некоторых ситуациях их отключают.

В моей программе есть возможность включить сглаживание изображения. Сглаживание заключается в том, что для определения цвета пиксела. пускается не один луч, а четыре и определяется среднее значение цвета у этих лучей. Если необходимо найти цвет пиксела (i,j), то пускаются 4 луча в точки экранной плоскости с координатами (i-0.25,j-0.25), (i-0.25,j+0.25), (i+0.25,j-0.25), (i+0.25,j+0.25).

2.3.2 Математическая основа обратной трассировки лучей

Координаты всех объектов сцены определены в некой глобальной системе координат (в том числе и камеры). После формирования первичного луча создадим подсистему, у которой центр совпадает с точкой выхода луча и ось OZ направлена по лучу. Вычислим матрицу перехода из первой системы координат во вторую. Это позволит просто искать пересечения с треугольником, со сферой, векторы преломления и отражения. При необходимости переводим координаты нужных объектов в новую систему координат и работаем уже в ней. Если необходимо построить вторичный луч, создаем еще одну систему координат, связанную с вторичным лучом, и считаем матрицу для перехода из 2 системы в 3. Чтобы получить матрицу перехода из 1 в 3 необходимо умножить матрицу перехода из 2 в 3 умножить на матрицу перехода из 1 в 2. Таким образом, мы работаем все время в какой-то подсистеме. Нам не надо переводить никакие координаты обратно в глобальную систему. Поэтому не надо и составлять обратную матрицу.

2.3.3 Составление матрицы

Составление матрицы преобразования из текущей системы координат в систему координат, центр которой находится в точке (x, y, z) и ось OZ которой направлена по (dx, dy, dz). Для такого преобразования необходимо:

совершить сдвиг в точку (x, y, z)

совершить поворот вокруг OZ

совершить поворот вокруг OX

1. Матрица сдвига: .

2. Необходимо совершить поворот вокруг оси OZ по часовой стрелке на угол α.

.

Матрица поворота, таким образом, будет равна:

3. Необходимо совершить поворот вокруг оси OX по часовой стрелке на угол β.

.

Матрица поворота, таким образом, будет равна:

Умножив M₃ на M₂, а результат на M₁ получим искомую матрицу перехода:

2.3.4 Программная реализация

Во многих функциях и процедурах в программе в качестве входных и выходных параметров выступают матрицы. Поэтому в программе введен специальный тип:

TMatrix=Array [0. .11] of real

Это массив из 12 элементов типа real. Он представляет собой последовательно записанные три верхние строчки матрицы. Я не включил последнюю строчку, так как она одинаковая у всех матриц преобразования и равна (0, 0, 0,1).

Для операций над матрицами в программе предусмотрены следующие процедуры:

1. Procedure MatrixAB (var Res: TMatrix; const M1,M2: TMatrix)

Процедура умножает матрицу M1 на матрицу M2 и помещает результат в Res.

2. Procedure ShiftMatrix (var M: TMatrix; Z: real)

Создает матрицу перехода из текущей системы координат в систему координат, сдвинутую по оси OZ на z.

Процедура перемещает систему координат, задаваемую матрицей M, по оси OZ на z.

3. Procedure SetMatrix (var M: TMatrix; dx,dy,dz,x,y,z: real) overload

Создает матрицу перехода из текущей системы координат в систему координат, находящуюся в точке (x,y,z), ось OZ которой направлена по вектору (dx,dy,dz).

4. Procedure SetMatrix (var M: TMatrix; dx,dy,dz: real) overload

Создает матрицу перехода из текущей системы координат в систему координат, ось OZ которой направлена по вектору (dx,dy,dz).

Преобразование координат

Для преобразования координат точки из одной системы координат в другую необходимо умножить матрицу преобразования на столбец координат точки.

Для преобразования точки из одной системы координат в другую в программе существует процедура Trans (const M: TMatrix; var F: TPoint; const V: TPoint).

В V содержатся координаты точки, координаты которой надо преобразовать.

В F содержатся результат.

M - матрица преобразования.

В процедуру Ray передается только матрица перехода из глобальной системы координат в систему, связанную с лучом (M_i).

Процедура находит координаты вторичного луча в новой системе координат.

Составляет матрицу перехода из текущей системы в систему, связанную с лучом (L_i+1).

Умножает матрицы M_i+1=L_i+1M_i

Вызывает рекурсивно Ray с параметром M_i+1

2.3.5 Определение пересечения луча с треугольником

Преобразуем все вершины треугольника в локальную систему координат, связанную с лучом. Луч в этой системе координат имеет координаты (0, 0,1). После этого задача сводится плоской. Необходимо определить, лежит ли точка (0, 0) внутри треугольника в проекции на плоскость OXY.

Преобразуем координату x вершин треугольника в локальную систему координат.

Проверяем, лежат ли точки треугольника все справа от нуля или все слева. Если да, то пересечения с треугольником нет. Если нет, то:

Преобразуем координату у вершин треугольника в локальную систему координат.

Проверяем, лежат ли точки треугольника все сверху от нуля или все снизу. Если да, то пересечения с треугольником нет. Если нет, то:

Необходимо, чтобы при обходе треугольника по часовой стрелке точка (0,0) лежала справа от каждой стороны (либо наоборот). Это можно установить, проверив одного ли знака три векторных произведения:

, , .

Если не одного знака, то пересечения нет, Если одного, то:

Преобразуем координату z вершин треугольника в локальную систему координат.

Определяем нормаль к треугольнику, для этого умножим векторно два вектора

и

В случае если, NZ равно нулю, луч параллелен оси OZ и соответственно лучу. Значит, пересечения нет. В другом случае пересечение есть.

Находим координаты пересечения.

Составим уравнение плоскости, в которой находится треугольник:

,

подставим x=0 и y=0,

2.3.4 Формирование отраженного луча

Обозначим отраженный луч через R, вектор, направленный против падающего луча - S, вектор нормали - N. Рассмотрим единичные векторы этих векторов R₁, S₁, N₁. Так как все три вектора находятся в одной плоскости, то можно записать R₁+S₁=N^’. Длина вектора N^’ равна 2cosθ. Так как векторы N^’ и N₁ сонаправленные, то можно записать:

N’=N₁2cosθ.

Таким образом

.

Поставим условие, что падающий и отраженный лучи имеют одинаковую длину.

Так как падающий луч в локальной системе координат имеет координаты (0, 0,1). То вектор S будет иметь координаты (0, 0, - 1). Подставим его координаты в выражение для отраженного луча. Получим

2.3.5 Формирование преломленного луча

Обозначим преломленный луч, имеющий единичную длину, через T₁. Единичный вектор нормали - через N₁. А вектор, направленный противоположно падающему лучу - через S₁. Разложим вектор S₁ на A и N_s, а вектор T₁ на B и N_T. Вектор равен