48654 (608710)

Файл №608710 48654 (Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона)48654 (608710)2016-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Введение

В курсовой работе в соответствии с заданием на проектирование решается задача разработки программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.

В данной пояснительной записке проводится описание последовательности шагов по составлению программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Рассматриваются вопросы математической формулировки и алгоритмизации задачи, разработки блок-схемы алгоритма её решения, составления исходной Pascal-программы и реализации вычислений по составленной программе.

Выбор метода вычисления, обращение к справке по программе и выход из программы обеспечивается с помощью специального меню. Ввод исходных данных и вывод результатов вычисления выполняется в отдельном для каждого метода вычислений окне.

В пояснительной записке приводится также сравнения точности вычислений корней системы уравнений использованными методами.

1. Постановка задачи

Ставится задача составить программу решения системы дифференциальных уравнений:

(1)

Требуется найти решение системы дифференциальных уравнений (1) методом Рунге-Кутта и методом Рунге-Кутта-Мерсона. Выбор метода решения посредствам меню, при помощи клавиш управления курсором.

Таким образом, программа должна обеспечивать возможность:

выбора пользователем численного метода поиска решения системы дифференциальных уравнений;

предоставить пользователю возможность получить краткую справку о программе;

вывода результатов вычисления на дисплей в удобном для восприятия виде.

В результате сформулируем следующую задачу по созданию программы:

вид системы дифференциальных уравнений должен задаваться в подпрограмме – процедуре;

вид правой части уравнений должен задаваться в подпрограмме – функции;

программа после загрузки должна выводить на дисплей исходное окно-заставку, в которой отображаются общие сведения о статусе программы и её авторе;

после выполнения указанной в строке подсказки процедуры перехода должно выводиться вертикальное меню с пунктами: «Справка», «Метод Рунге-Кутта», «Метод Рунге-Кутта-Мерсона» и «Выход»

при выборе в меню пункта «Справка» должна выводиться краткая справка о назначении программы;

после выбора в меню варианта численного метода должно открываться отдельное окно, в котором будут вводиться начальные условия и выводиться результат поиска выбранным методом;

при выборе пункта меню «Выход» программы должна завершать работу.

2. Математическая формулировка задачи

Задача Коши заключается в решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (1) первого порядка, представляемых в виде:

(1.1)

Где j=1 N-номер каждой зависимой переменной yj, x-независимая переменная .

Решение системы (1.1) при заданных начальных условиях x=x0, y1(x0)=y10,…,y2(x0)=y20, yN(x0)=yN0 сводиться к нахождению зависимостей (интегральных кривых) y1(x),…,y2(x), yN(x), проходящих через точки (x0,y10), (x0,y20),…, (x0,yN0). Задача Коши сводиться к интегрированию дифференциальных уравнений. Порядок метода численного интегрирования при этом определяется и порядок метода решения (1).

2.1 Метод Рунге-Кутта

Этот метод является наиболее распространенным методом решения систем (1.1) при шаге h=const. Его достоинством является высокая точность-погрешность - и меньшая склонность к возникновению неустойчивости решения. Алгоритм реализации метода заключается в циклических вычислениях Yj(i+1) на каждом i+1 шаге по следующим формулам:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

При переходе от одной формулы к другой задаются или вычисляются соответствующие значения x и Yj и находятся по подпрограмме значения функции Fj(x,Yj).

2.2 Метод Рунге-Кутта-Мерсона

Автоматическое изменение шага в ходе решения систем дифференциальных уравнений необходимо, если решение требуется получить с заданной точностью. При высокой точности (погрешность ) и решении в виде кривых с сильно различающейся крутизной автоматическое изменение шага обеспечивает уменьшение общего числа шагов в несколько раз, резко уменьшается вероятность числовой неустойчивости, даёт более равномерное расположение точек графика кривых (решений) при их выводе на печать. Данный метод обеспечивает приближённую оценку погрешностей на каждом шаге интегрирования. Погрешность интегрирования имеет порядок h5. Этот метод реализуется следующим алгоритмом: Задаём число уравнений N, погрешность ε=E, начальный шаг интегрирования h=H и начальное значение y10,…,yN0. С помощью пяти циклов с управляющей переменной J=1,2,..,N вычисляем коэффициенты:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Находим (в последнем цикле) значение (12)

(12)

И погрешность

(13)

Проверяем выполнения условий

(14)

(15)

Если условие (14) не выполняется, то делим шаг h на 2 и повторяем вычисления. Если это условие выполняется и выполняется условие (15), значение xi+1=xi+h и Yj(i+1), то считаем, что решение системы дифференциальных уравнений найдено с заданной точностью. Если условие (15) не выполняется , шаг h увеличивается вдвое и вычисления повторяются.

3. Алгоритмизация задачи

В соответствии с постановленной в разделе 2 задачей целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим подпрограммам из головной программы.

Алгоритм работы головной программы следующий:

Скрыть курсор с использованием подпрограммы - процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения о назначении программы, исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы - процедуры заставки.

Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии любой клавиши с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора.

Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием строки-подсказки о возврате в меню.

Запустить подпрограмму-процедуру поиска решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта при выборе пункта меню «Метод Рунге-Кутта» с использованием включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.

Запустить подпрограмму-процедуру поиска решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона при выборе пункта меню «Метод Рунге-Кутта-Мерсона» с использованием включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.

Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».

Алгоритм поиска решения системы уравнения методом Рунге-Кутта в подпрограмме-процедуре runkut включает следующие шаги:

Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления.

Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой - процедурой.

Задать начальный шаг-h и начальные значение xо,y10,…,yN0 .

В подпрограмме-функции задаём вид правой части уравнений.

В подпрограмме-процедуре задаём вид системы дифференциальных уравнений.

Организовать цикл для поиска коэффициентов погрешности по формулам (2-5)

По формуле (6) найти решение системы дифференциальных уравнений.

Вывести результаты вычислений в том же окне.

Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.

Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии “Y” повторить ввод снова, при нажатии “N” перейти в окно с меню.

Алгоритм поиска решения системы уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона в подпрограмме процедуре rukutm включает:

Создание окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления.

Восстановления отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой - процедурой.

Задание начального шаг-h, начальных значений xо,y10,…,yN0 и точности вычисления- ε.

Подпрограмме-процедуре задаём вид системы дифференциальных уравнений

В подпрограмме-функции задаём вид правой части уравнений

С помощью пяти циклов с управляющей переменной J=1,N вычисляем коэффициенты по формулам (7)-(11).

В последнем цикле находим решение системы дифференциальных уравнений по формуле (12) и погрешность по формуле (13).

Проверка выполнение условий (14) и (15). Если первое условие не выполняется то h:=h/2 и переходим к п.5.

Если выполняются оба условия, то значение xi+1=xi+h и Yj(i+1) выводим на экран.

Если второе условие не выполняется, то h:=h+h и переходим к п.5.

Вывести результаты вычислений в том же окне.

Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.

Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии “Y” пoвторить ввод снова , при нажатии “N” перейти в окно с меню.

4. Идентификаторы программы

Для указания соответствия обозначений переменных в формулах математической формулировки и их идентификаторов в программе сведем их в таблицу 1:

Таблица 1

Обозначение параметров

Смысл параметра

В формулах

В программе

Y1…Yn

Y[1]…Y[n]

Начальные приближения

ε

E

Точность результата

h

H

Шаг интегрирования

Кij

K[j]

Коэффициенты погрешности

N

n

Количество уравнений

F[1]

Первое уравнение системы

F[2]

Второе уравнение системы

Остальные идентификаторы являются промежуточными или служебными.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6505
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее