48104 (Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів)
Описание файла
Документ из архива "Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "48104"
Текст из документа "48104"
Міністерство освіти і науки України
Курсова робота на тему:
"Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів"
Зміст
Вступ
Розділ І. Прямі методи сортування масивів
1.1 Сортування прямим включенням
1.2 Сортування бінарним включенням
1.3 Сортування прямим вибором
1.4 Сортування прямим обміном
Розділ ІІ. Швидкі методи сортування масивів
2.1 Сортування включенням із зменшуваними відстанями – алгоритм Шелла (1959)
2.2 Сортування обміном на великих відстанях – алгоритм Quick Sort
2.3 Сортування вибором при допомозі дерева – алгоритм Тree Sort
2.4 Сортування вибором при допомозі дерева – алгоритм Heap Sort
2.5 Порівняльна характеристика швидкодії деяких швидких алгоритмів сортування
Висновки
Література
Вступ
В наш час нові інформаційні технології посідають дуже важливе місце не лише в спеціалізованих, але й в повсякденних сферах життя. Комп’ютери застосовуються в бізнесі, менеджменті, торгівлі, навчанні та багатьох інших сферах діяльності людини.
Комп’ютерні технології дуже зручні для виконання різноманітних операцій, але в різних сферах застосування ці операції різні. Тому, кожна окрема галузь, яка використовує специфічні технічні засоби, потребує своїх власних програм, які забезпечують роботу комп’ютерів.
Розробкою програмного забезпечення займається така галузь науки, як програмування. Вона набуває все більшого й більшого значення останнім часом, адже з кожним днем комп’ютер стає все більш необхідним, все більш повсякденним явищем нашого життя. Адже обчислювальна техніка минулих років вже майже повністю вичерпала себе і не задовольняє тим потребам, що постають перед людством.
Таким чином, нові інформаційні технології дуже актуальні в наш час і потребують багато уваги для подальшої розробки та вдосконалення. Поряд з цим, велике значення має також і програмування, яке є одним із фундаментальних розділів інформатики і тому не може залишатись осторонь.
Програмування містить цілу низку важливих внутрішніх задач. Однією з найбільш важливих таких задач для програмування є задача сортування. Під сортуванням звичайно розуміють перестановки елементів будь-якої послідовності у визначеному порядку. Ця задача є однією з найважливіших тому, що її метою є полегшення подальшої обробки певних даних і, насамперед, задачі пошуку. Так, одним з ефективних алгоритмів пошуку є бінарний пошук. Він працює швидше ніж, наприклад, лінійний пошук, але його можливо застосовувати лише за умови, що послідовність вже упорядкована, тобто відсортована.
Взагалі, відомо, що в будь-якій сфері діяльності, що використовує комп’ютер для запису, обробки та збереження інформації, усі дані зберігаються в базах даних, які також потребують сортування. Певна впорядкованість для них дуже важлива, адже користувачеві набагато легше працювати з даними, що мають певний порядок. Так, можна розташувати всі товари по назві або відомості про співробітників чи студентів за прізвищем або роком народження, тощо.
Задача сортування в програмуванні не вирішена повністю. Адже, хоча й існує велика кількість алгоритмів сортування, все ж таки метою програмування є не лише розробка алгоритмів сортування елементів, але й розробка саме ефективних алгоритмів сортування. Ми знаємо, що одну й ту саму задачу можна вирішити за допомогою різних алгоритмів і кожен раз зміна алгоритму приводить до нових, більш або менш ефективних розв’язків задачі. Основними вимогами до ефективності алгоритмів сортування є перш за все ефективність за часом та економне використання пам’яті. Згідно цих вимог, прості алгоритми сортування (такі, як сортування вибором і сортування включенням) не є дуже ефективними.
Алгоритм сортування обмінами, хоча і завершує свою роботу (оскільки він використовує лише цикли з параметром і в тілі циклів параметри примусово не змінюються) і не використовує допоміжної пам’яті, але займає багато часу. Навіть, якщо внутрішній цикл не містить жодної перестановки, то дії будуть повторюватись до тих пір, поки не завершиться зовнішній цикл.
Алгоритм сортування вибором ефективніше сортування обмінами за критерієм М(n), тобто за кількістю пересилань, але також є не дуже ефективним. З цих причин було розроблено деякі нові алгоритми сортування, що отримали назву швидких алгоритмів сортування. Це такі алгоритми, як сортування деревом, пірамідальне сортування, швидке сортування Хоара та метод цифрового сортування.
Метою нашої дослідницької роботи є ознайомлення з цими швидкими алгоритмами сортування, спроба проаналізувати їх і висвітлити кожен з них і написати програму, яка б виконувала сортування деякої послідовності за допомогою різних швидких алгоритмів сортування.
Сортування варто розуміти, як процес перегрупування заданої множини об'єктів в деякому конкретному порядку. Мета сортування - полегшити наступний пошук елементів в такій відсортованій множині.
Вибір алгоритму залежить від структури даних, що обробляються. У випадку сортування ця залежність настільки велика, що відповідні методи навіть були розбиті на дві групи - сортування масивів і сортування файлів (послідовностей). Іноді їх називають внутрішнім і зовнішнім і сортуванням, оскільки масиви зберігаються в швидкій внутрішній пам’яті (оперативній) із довільним доступом, а файли розміщуються в менш швидкій, проте більш об'ємній зовнішній пам'яті.
Метод сортування називається стійким, якщо в процесі впорядкування відносне розміщення елементів з рівними значеннями не міняється. Стійкість сортування часто буває бажаною, якщо йде мова про елементи, що вже впорядковані по деяких вторинних ключах (тобто ознаках), які не впливають на основний ключ.
Нехай дано масив N елементів деякого абстрактного типу basetype:
a : array [1..N] of basetype.
Не обмежуючи загальності, зупинимося на впорядкуванні його компонентів по зростанню.
Основна умова: обраний метод сортування масивів повинен економно використовувати доступну пам’ять. Це означає, що перестановки, які приводять елементи в порядок, повинні виконуватися "на тому ж місці". Тобто методи, в яких елементи масиву a передаються в результуючий масив b, не мають практичної цінності.
Алгоритми сортування окрім критерію економії пам’яті будуть класифікуватися по швидкості, тобто по часу їх роботи. Оскільки на різних типах ЕОМ одні і ті ж методи показуватимуть відмінні результати, то в якості міри ефективності алгоритму можуть бути прийняті числа: C - кількість необхідних порівнянь ключів; M - кількість перестановок елементів. Очевидно, що ці числа є функціями від кількості елементів в масиві N. Згідно із введеними критеріями швидкодії алгоритми сортування поділяють на два типи - прямі та швидкі.
Прямі методи зручні для пояснення і розбору основних рис більшості сортувань, легко програмуються і відлагоджуються, а самі програми - короткі, що теж важливо для економії пам’яті. В основі їх лежить повторення N етапів обробки масиву із зменшенням на кожному з них кількості порівнюваних елементів. Ефективність даних алгоритмів є величиною порядку O(N2). Такі методи зручно використовувати на так званих "коротких" масивах.
Швидкі методи вимагають невеликої кількості етапів обробки, однак ці етапи досить складні. На кожному з них окрім переміщення чергового елемента на "своє" місце відбувається перегрупування решти відносно цього елемента. Звичайно виграш по ефективності для таких алгоритмів отримується на "довгих" масивах.
Методи сортування "на тому ж місці" у відповідності із визначаючими їх принципами розбиваються на три основні категорії :
- сортування включенням;
- сортування вибором;
- сортування обміном.
У курсовій роботі ми детально розглянемо швидкі алгоритми сортування елементів масиву, проведемо їх порівняльний аналіз. Крім цього, розглянемо і прямі методи сортування, їх позитиви і недоліки, що дасть змогу краще визначити ефективність і складність швидких алгоритмів сортування.
Розділ І. Прямі методи сортування масивів
1.1 Сортування прямим включенням
В основі розглядуваного методу лежить пошук для чергового елемента масиву відповідного місця у відсортованій частині із наступним включенням його в знайдену позицію. Таким чином елементи масиву умовно діляться на дві групи - вже "готову" послідовність a 1 , a 2 , ..., a i та вихідну послідовність. На кожному етапі, починаючи з i=2 та збільшуючи i кожен раз на 1, із вихідної послідовності вибирається один елемент і вставляється в потрібне місце у вже впорядковану послідовність. Очевидно, що початкова ліва послідовність буде "готовою", оскільки одноелементний масив завжди впорядкований. Цей алгоритм можна записати у вигляді послідовності команд :
for i:=2 to N do
begin
x:=a[i];
включення x на потрібне місце серед a[1], ..., a[i]
end;
Процес просіювання (пошуку потрібного місця для включення елемента x ) може припинитися при виконанні однієї із двох умов :
1) знайдено елемент a j з ключем, меншим ніж ключ у x ;
2) досягнутий лівий кінець "готової" послідовності.
Таким чином програмна реалізація методу прямого включення матиме вигляд процедури :
Procedure Straight_Insertion;
Var
i, j : integer; x : basetype;
Begin
for i:=2 to N do
begin
x:=a[i]; a[0]:=x; j:=i;
while x
begin
a[j]:=a[j-1];
j:=j-1
end;
a[j]:=x
end
End;
Використання додаткового елемента в масиві - "бар’єра" a[0]=x забезпечує гарантоване припинення процесу просіювання. Це дозволяє зменшити кількість логічних умов в заголовку цикла while до однієї, а кількість логічних операцій від 2i-1 до i на кожному етапі. Звичайно, при цьому необхідно попередньо розширити на один елемент масив a та діапазон допустимих значень індекса. На жаль, таке покращення ефективності по кількості порівнянь не зменшує об’єму перестановок елементів.
Аналіз прямого включення. Кількість порівнянь ключів Ci при i-ому просіюванні найбільше дорівнює i, найменше - 1, а середньоймовірна кількість - i/2. Кількість же перестановок (переприсвоєнь ключів), включаючи бар’єр, Mi=Ci+2. Тому для оцінки ефективності алгоритму у випадках початково впорядкованого, зворотньо впорядкованого та довільного масиву можна скористатися наступними співвідношеннями:
;
;
;
;
;
.
Очевидно, що розглянутий алгоритм описує процес стійкого сортування.
1.2 Сортування бінарним включенням
Алгоритм прямого включення можна значно покращити, якщо врахувати, що "готова" послідовність є вже впорядкованою. Тому можна скористатися бінарним пошуком точки включення в "готову" послідовність. Програмна реалізація такого модифікованого методу включення матиме вигляд процедури:
Procedure Binary_Insertion;
Var
i, j, m, L, R : integer; x : basetype;
Begin
for i:=2 to N do
begin
x:=a[i]; L:=1; R:=i;
while L
begin
m:=(L+R) div 2;
if a[m]<=x then L:=m+1 else R:=m
end;
for j:=i downto R+1 do
a[j]:=a[j-1];
a[R]:=x
end
End;
Аналіз бінарного включення. Зрозуміло, що кількість порівнянь у такому алгоритмі фактично не залежить від початкового порядку елементів. Місце включення знайдено, якщо L=R. Отже вкінці пошуку інтервал повинен бути одиничної довжини. Таким чином ділення його пополам на i-ому етапі здійснюється log(i) раз. Тому кількість операцій порівняння буде:
