48082 (Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса)

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "48082"

Текст из документа "48082"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

(ННГУ)

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра «Экономическая информатика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: “Информатика и

программирование”

на тему:

Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

(Программистским и математическим вариантом)

Выполнил(ла) студент(ка)II курса

725-2 группы, очного отделения

(ф.и.о.)

__________

подпись

Научный руководитель:

(ф.и.о.)

____________

подпись

Н.Новгород 2008

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Введение

  2. Постановка задачи

  3. Алгоритм решения.

  4. Исходный текст программы на С++.

  5. Тестирование программы

Вывод

Список литературы.

1.Ведение

Введение в объектно-ориентированное программирование.

Объектно-ориентированное программирование представляет собой чуть более автоматизированный способ программирования. Объектно-ориентированные программы – это не просто процедурные программы, переведенные на новый синтаксис. Они должны строится на новой философии разработки. Для них требуется новая стратегия программирования, которую часто бывает трудно освоить .

Основная идея ООП: программа состоит из группы объектов, часто связанных между собой. В С++ объекты описываются при помощи нового типа данных class. Класс включает в себя набор переменных (данных) и операций (методов или функций-членов), которые действуют на эти переменные. Полученными объектами можно управлять при помощи сообщений. В ООП объекты включают в себя не только данные (данные-члены), но и методы (функции-члены) воздействия на эти данные. Эти две части в сочетании образуют функциональную единицу программы. Другими словами, объекты содержат данные и методы работы с этими данными. Ниже приведены три основных преимущества объектно-ориентированных программ по сравнению с эквивалентными программами, разработанными сверху вниз.

Сопровождение программы. Программы проще читать и понимать, ООП позволяет управлять сложностью программы, оставляя видимыми программисту только существенные детали.

Модификация программы (добавление или исключение возможностей). Вы можете часто делать дополнения или исключения в программе, например при работе с базой данных, просто добавляя и исключая объекты. Новые объекты могут наследовать все свойства базовых объектов, необходимо только добавить или убрать отличающиеся свойства. Повторное использование. Можно сохранить грамотно разработанный объект в наборе полезных программ и затем вставить его в новую программу с небольшими изменениями или без изменений.

ООП полностью принадлежит к миру С++, поскольку в С нет основного ядра – абстрактного типа данных class Поэтому переписать процедурно-ориентированную программу как объектно-ориентированную гораздо сложнее, чем просто подставить вместо одного ключевого слова другое.

ООП представляет собой технику программирования, которая позволяет рассматривать основные идеи как множество объектов. Используя объекты, можно представить задачи, которые необходимо выполнить, их взаимодействие и любые заданные условия, которые должны быть соблюдены. Структура данных часто образует основы объектов; таким образом в С или С++ тип struct может образовывать элементарный объект. Связь с объектом можно организовать при помощи сообщений. Использование сообщений похоже на вызов функций в процедурно-ориентированной программе. Когда объект получает сообщение,вступают в действие методы, содержащиеся в объекте. Методы (их иногда называют фунциями-членами) аналогичны функциям процедурно-ориентированного программирования. Тем не менее метод является частью объекта, а не чем-то отдельным, как было бы в процедурном аналоге.

Основные термины и положения ООП.

Инкапсуляция данных.

Этот термин включает в себя логическое связывание данных с конкретной операцией. Она так же означает, что они являются не -глобальными доступными всей программе, а локальными – доступными только малой ее части. Инкапсуляция также автоматически подразумевает защиту данных. Именно для этого предназначена структура class в С++. В классе управление функциональными деталями объекта осуществляется при помощи спецификаторов private, public, protected.

Иерархия классов.

В общем случае можно представить себе иерархию классов как родословную в генеалогическом древе, где класс С++ представляет собой шаблон для создания классов-потомков. Объекты, полученные из описания класса, называют экземплярами этого класса. Можно создать иерархию классов с классом-родителем и несколькими классами-потомками. Основой для этого являются производные классы.

Наследование.

Наследование в ООП позволяет классу получать свойства другого класса объектов. Родительский класс служит шаблоном для производного класса; этот шаблон можно менять различными способами. Наследование является важным положением, поскольку оно позволяет повторно использовать определение класса без значительных изменений в коде.

Полиморфизм.

Строится на описанной выше концепции наследования. Программа посылает одно и тоже сообщение как объекту родительского класса, так и всем объектам производных классов. И родительский класс, и классы-потомки ответят на сообщение соответствующим образом. Полиморфизм дает возможность дополнять уже существующие части программы.

Виртуальные функции.

Виртуальные функции определяются в родительском классе, а в производных классах происходит доопределение этих функций и для них создаются новые реализации. При работе с виртуальными функциями сообщения передаются как указатели, которые указывают на объект вместо прямой передачи объекту. Виртуальные функции используют таблицу для адресной информации. Эта таблица инициализируется во время выполнения при помощи конструктора. Конструктор вызывается каждый раз, когда создается объект его класса. Задача конструктора в данном случае состоит в связывании виртуальной функции с таблицей адресной информации. Во время компиляции адрес виртуальной функции неизвестен; вместо этого ей отводится позиция в таблице адресов.

2.Постановка задачи

С++ -язык предметно-ориентированного программирования. Язык С++ поддерживает процедурную и объектно-ориентированную парадигмы программирования.

Объектно-ориентированное программирование – это новый способ подхода к программированию. Такое программирование, взяв лучшие черты структурного программирования, дополняет его новыми идеями, которые переводят в новое качество подход к созданию программ.

Наиболее важное понятие языков объектно-ориентированного программирования – это понятие объекта (object). Объект – это логическая единица, которая содержит данные и правила (методы) обработки этих данных. В языке С++ в качестве таких правил обработки выступают функции, т. е. объект в Borland C++ объединяет в себе данные и функции, обрабатывающие эти данные. Одним из самых главных понятий языка С++ является понятие класса. В языке С++ для того, чтобы определить объект, надо сначала определить его форму с помощью ключевого слова Ближайшей аналогией класса является структура. Память выделяется объекту только тогда, когда класс используется для его создания. Любой объект языка С++ имеет одинаковые атрибуты и функциональность с другими объектами того же класса. За создание своих классов и поведение объектов этих классов полную ответственность несет сам программист. Работая в некоторой среде, программист получает доступ к обширным библиотекам стандартных классов. Обычно, объект находится в некотором уникальном состоянии, определяемом текущими значениями его атрибутов. Функциональность объектного класса определяется возможными операциями над экземпляром этого класса.

Метод Гаусса для решения СЛАУ.

Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса - один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры (теория и вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, вычисление ранга матрицы и обратной матрицы, теория базисов конечномерных векторных пространств и т.д.).

Задача поиска решений системы линейных уравнений имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач. Основные методы решения СЛУ:

- метод Гаусса;

- метод обращения матрицы;

- итерационные методы.

Матрица A с элементами aij называется ступенчатой, если она обладает следующими двумя свойствами:

  1. если в матрице есть нулевая строка, то все строки ниже нее также нулевые;

  2. пусть aij не равное 0 -- первый ненулевой элемент в строке с индексом i, т.е. элементы ail = 0 при l < j. Тогда все элементы в j-м столбце ниже элемента aij равны нулю, и все элементы левее и ниже aij также равны нулю: akl = 0 при k > i и l =< j.

Ступенчатая матрица выглядит так:

Здесь тёмными квадратиками отмечены первые ненулевые элементы строк матрицы. Белым цветом изображаются нулевые элементы, серым цветом - произвольные элементы.

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

  • Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

  • Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк (рангом по определению называется размерность линейной оболочки строк матрицы).

Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

  1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

  2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .

  3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

Программистский вариант метода Гаусса имеет три отличия от математического:

  1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;

  2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа aij следует сравнивать его абсолютную величину ij с очень маленьким числом ε (например, ε = 0.00000001). Если ij=< ε, то следует считать элемент aij нулевым;

  3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент r = -akj/aij :

Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -akj/aij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит ε, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.

Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали –нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.

Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:

 

Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1. dij = aijai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4098
Авторов
на СтудИзбе
673
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее