46770 (Алгоритмы сортировки, поиска кратчайшего пути в графе и поиска покрытия, близкого к кратчайшему), страница 3

Графом (G, X) называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами (X = {Х₁,...,Х_n}), и множества связей в парах вершин, которые называются дугами, или ребрами ( (Х_i, Х_j) G ) в зависимости от наличия или отсутствия направленности связи.

Ребром называются две встречные дуги (Х_i, Х_j) и (Х_j, Х_i). На графе они изображаются одной линией без стрелки. Ребро, или дуга, конечные вершины которого совпадают, называется петлей.

Если на каждом ребре задается направление, то граф (G, Х) называется ориентированным. В противном случае граф называется неориентированным.

Две вершины, являющиеся конечными для некоторого ребра или некоторой дуги, называются смежными. Соответственно этот граф может быть представлен матрицей смежности либо матрицей инцидентности.

Матрицей инцидентности называется прямоугольная матрица с числом строк, равным числу вершин графа, и с числом столбцов, равным количеству ребер (дуг) графа. Элементы матрицы а задаются следующим образом: “1” ставится в случае если вершина v_i, инцидентна ребру u_j; “0” - в противном случае.

Вершина и ребро (дуга) называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра (дуги) концевой точкой.

Путь из начальной вершины х_н к конечной вершине х_к - последовательность дуг, начинающаяся в вершине х_н Х, заканчивающаяся в вершине х_к Х, и такая, что конец очередной дуги является началом следующей:

(х_н, х_i1)( х_i1, х_i2)( х_i2… х_ik)( х_ik, x_k) = (x_н, х_к).

Элементарный путь – путь, в котором вершины не повторяются.

Простой путь - путь, в котором дуги не повторяются.

Маршрут - последовательность ребер, составляющих, как и путь, цепочку.

Длина пути взвешенного графа определяется как сумма весов - его дуг. Если граф не взвешен, то можно считать веса дуг равными 1 .

Кратчайшим путем между выделенной парой вершин х_н и х_к называется путь, имеющий наименьшую длину среди всех возможных путей между этими вершинами.

Таким образом, нахождение кратчайшего пути – это поиск множества вершин, составляющих этот путь.

4.2 Словесное описание алгоритма и его работы

0. Инициализация кратчайших путей от вершины s до каждой вершины графа ∞, а все вершины 0, v=s.

1. Для каждой вершины u, смежной v, проверяем, отмечена ли она и какова длина пути между u и v. Если меньше, то запоминаем длину пути и текущую вершину u.

2. t= ∞, v=0. Для каждой вершины графа проверяем, отмечена ли она, и меньше ли путь от нее до s, чем t. Если так, то запоминаем её v=u, и её путь t=T[u] .

3. Если v=0, то пути нет, иначе если v=f, то путь найден и конец алгоритма.

4. Помечаем вершину v. Переход в п.1.

4.3 Выбор структур данных

Пусть p – количество вершин. Поскольку граф взвешен, то его представим в форме матрицы длин дуг:

С: array[1..p,1..p].

Используются следующие переменные и массивы:

s, f – вершины, между которыми следует найти кратчайший путь;

u, v – переменные циклов по вершинам;

T: array[1..p] of real – вектор, если вершина v лежит на кратчайшем пути от s к t, то T[v] – длина кратчайшего пути от s к v;

H: array[1..p] of 0..p – вектор, H[v] – вершина, непосредственно предшествующая v на кратчайшем пути;

X: array[1..p] of 0..1 – вектор меток вершин.

4.4 Описание схемы алгоритма

Блок-схема данного алгоритма изображена на рис. 4 в Приложении.

В блоке 1 происходит ввод графа в форме матрицы длин дуг, а также номеров вершин s и f. Далее организуется цикл по вершинам графа (блок 2). В нем инициализируются массив кратчайших путей и массив меток (блок 3): поскольку пути не известны, то они инициализируются бесконечностью, а метки – нулем. Далее отмечается вершина s, кратчайший путь от неё до неё же самой равен 0, и ей никто не предшествует; текущей вершиной v становится s (блок 5). Далее организовывается цикл по смежным с текущей вершинам (блок 6). В блоке 7 происходит проверка смежны ли вершины. В блоке 8 сравнивается уже имеющийся путь с путем между u и v. Если текущий меньше, то он и номер вершины запоминаются (блок 9).

В остальных блоках происходит поиск конца кратчайшего пути. Изначально его длина не известна (равна ∞), и вершина, оканчивающая его также не известна (блок 11). В блоке 12 организуется цикл по всем неотмеченным вершинам. В блоке 13 производиться сравнение уже имеющегося кратчайшего пути t с текущим T[u]. Если текущий меньше, то запоминаем его и вершину (блок 14). Далее производится анализ полученного конца пути. Если v=0 (блок 16), то не была найдена вершина конца кратчайшего пути, и, следовательно, нет такого пути (блок 17). Если же v=f (блок 18), то есть конец совпадает с заданной вершиной, то между ними существует кратчайший путь (блок 19). В обоих случаях конец алгоритма.

Если же не достигнута заданная вершина f, то текущая вершина v помечается (блок 20) и переход в блок 6.

Алгоритм работает, пока не будет вершина t либо пока не станет ясно, что пути из s в f нет.

4.5 Контрольный пример решения задачи с помощью алгоритма поиска кратчайшего пути

Пусть задан граф, изображенный на рис. 1. Рассмотрим на этом примере работу алгоритма.

0. for v=1..p

T[v]=∞;

X [v]=0;

H[s]=0;

T[s]=0;

X[s]=1;

v=s;

1. X2 € G(1) →

X[2]=0&(∞>0+4) →

T[2]=T[1]+C[1,2]=4;

H[2]=1;

X3 € G(1) →

X[3]=0&(∞>0+5) →

T[3]=T[1]+C[1,3]=5;

H[3]=1;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[2]=0&T[2]=4<∞ →

v=2; t=T[2]=4;

X[3]=0&T[3]=5!< ∞

3. v=2≠0;

v=2≠f=6;

4. X[2]=1 → п.1;

1. X4 € G(2) →

X[4]=0&(∞>0+2) →

T[4]=T[2]+C[2,4]=6;

H[4]=2;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[4]=0&T[4]=6<∞ →

v=4; t=T[4]=6;

3. v=4≠0;

v=4≠f=6;

4. X[4]=1 → п.1;

1. X3 € G(4) →

X[3]=0&(5!>6+3)

X5 € G(4) →

X[5]=0&(∞>0+7) →

T[5]=T[4]+C[4,5]=13;

H[5]=4;

X6 € G(4) →

X[6]=0&(∞>0+1) →

T[6]=T[4]+C[4,6]=7;

H[6]=4;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[3]=0&T[3]=5<∞ →

v=3; t=T[3]=5;

X[5]=0&T[5]=13!< 5

X[6]=0&T[6]=1<5 →

v=5; t=T[5]=7;

3. v=6≠0;

v=6=f=6; → конец алгоритма.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе разработаны алгоритмы сортировки, поиска кратчайшего пути в графе и поиска покрытия, близкого к кратчайшему. Алгоритмы исполнены с нужной степенью детализации, необходимой для понимания их работы. Рассмотрены пути улучшения эффективности каждого алгоритма учитывая требования конкретной задачи.

Большое внимание уделено сравнению возможного использования нескольких структур данных, проведён анализ эффективности работы алгоритма в зависимости от используемой структуры.

Рассмотрена сложность каждого алгоритма, её зависимость от условий данной задачи, методы упрощения и облегчения понимания алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. – С.-П.: Невский диалект, 2001. – 350 с.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – С.-П.: Питер, 2003.–292 с.

3. Шендрик Е.В. Конспект лекций по дисциплине «Теория алгоритмов». – Одесса, 2003.